2022年安徽高考高中数学基础知识归纳及常用公式及结论.docx

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1、安徽高考高中数学基础学问归纳第一部分集合1. 懂得集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？仍是因变量的取值？仍是曲线上的点？2 . 数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具, 将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决3. 1元素与集合的关系：xAxCU A ,xCU AxA .（ 2）德摩根公式：（ 3）CU A IBCU A U CU B; CU A U BCU A ICU B .AI BAA U BBABCU BCU AA I CU BCU A U BR（ 4）集合 a1 ,a2,L留意

2、 ：争论的时候不要遗忘了A的情形 .nnn, an 的子集个数共有 2个；真子集有 2 1 个；非空子集有2 1 个；非空真子集有 2n 2 个.4. 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.其次部分函数与导数1. 映射： 留意:第一个集合中的元素必需有象；一对一或多对一.abab2a2b222. 函数值域的求法： 分析法；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性；换元法 ；利用均值不等式； 利用数形结合或几何意义（斜率、距离、肯定值的意义等） ；利用函数有界性（a 、 sinx 、 cos x 等）；平方法；导数法x3. 复合函数的有关问题 :（ 1）复合函数定义域求法： 如 fx的定义域为

3、a, b , 就复合函数 fgx的定义域由不等式 a gx b解出 如 fgx的定义域为 a,b,求 fx的定义域,相当于 xa,b 时,求 gx 的值域.（ 2）复合函数单调性的判定：第一将原函数 yf g x 分解为基本函数：内函数ug x 与外函数 yf u分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性依据“同性就增,异性就减”来判定原函数在其定义域内的单调性. 4分段函数： 值域（最值）、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论；5. 函数的奇偶性 :函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 f x 是奇函数f xf x ；f x是偶函数f xf x .奇函数f x在 0 处有定义

4、,就f 00在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性如所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判定其奇偶性6. 函数的单调性 :单调性的定义： f x 在区间 M 上是增函数x1, x2M , 当 x1x2 时有f x1f x2 ； f x 在区间 M 上是减函数x1, x2M , 当 x1x2 时有f x1f x2 ；单调性的判定：定义法：一般要将式子f x1 f x2 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判定符号；导数法（见导数部分） ；复合函数法；图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法；7. 函数的周期性：1 周期性的定义：对定义域内的任意x ,如有f

5、xT f x（其中 T 为非零常数）,就称函数 f x 为周期函数, T 为它的一个周期；全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有特殊说明,遇到的周期都指最小正周期；（ 2）三角函数的周期：ysin x : T2； ycos x : T2； ytan x : T； yA sinx, yAcosx : T2； y|tanx : T|(3) 与周期有关的结论：f xaf xa) 或f x2af x a0f x的周期为 2a8. 基本初等函数的图像与性质：. 指数函数：ya x a0, a1) ；对数函数 : ylog axa0, a1 ；幂函数： yx（R ；正弦函数 :ysin x ；余弦

6、函数：ycosx ；（6）正切函数： ytan x；一元二次函数：ax2bxc0 （a 0）；其它常用函数：ka 正比例函数： ykx k0 ；反比例函数：y k0 ；函数xyxa0 xm. 分数指数幂：a nm n am ； a n1m （以上 aa n0, m, nN ,且 n1 ） . a bNMlog a Nb ； log a MNnlog a Mnlog a N ； log aNlog a Mlog a N ； log am bloga b .m. 对数的换底公式 :9. 二次函数：log a Nlog m N log m a. 对数恒等式 :aloga NN .解析式：一般式：f

7、xax 2bxc ；顶点式：f xa xh 2k , h, k 为顶点；零点式：f xa xx1 xx2 （a 0）.二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号；bb4acb2二次函数 yax2bxc 的图象的对称轴方程是x,顶点坐标是2a,；2a4a10. 函数图象：图象作法 ：描点法 （特殊留意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换： 平移变换： yf xyf xa , a0 左“ +”右“”； yf xyf xk, k0 上“ +”下“”； 对称变换： yf x0, 0yf x ； yf xy 0yf x ；yf xx 0yf x ； y

8、f xy xxf y ； 翻折变换： yf xyf | x | （去左翻右） y 轴右不动, 右向左翻（f x在 y 左侧图象去掉） ； yf xy| f x | （留上翻下） x 轴上不动, 下向上翻（ |f x| 在 x 下面无图象） ；11. 函数图象（曲线）对称性的证明：1 证明函数 yf x 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（ 2）证明函数 yf x 与 yg x图象的对称性,即证明yf x 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在yg x 的图象上,反之亦然；注：曲线 C1 :fx,y=0关于原点（ 0,0 ）的对称曲线 C2 方程为：

9、 f x, y=0;曲线 C1 :fx,y=0关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为： f x, y=0;曲线 C1 :fx,y=0关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为： fx, y=0;曲线 C1 :fx,y=0关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为： fy, x=0fa+x=fb x（xR）y=fx图像关于直线 x=ab对称；2特殊地： fa+x=fax（xR）y=fx图像关于直线x=a 对称. yfx的图象关于点 a,b 对称f axf ax2b .特殊地：yf x的图象关于点 a,0 对称f axf ax .函数yf xa 与函数yf ax 的图象关于直线 xa 对称;函

10、数 yf ax 与函数yf ax 的图象关于直线 x0对称；12. 函数零点的求法：直接法（求f x0 的根）；图象法；二分法 .(4) 零点定理：如 y=fx在a,b上满意 fa fb07. 圆的方程的求法： 待定系数法；几何法；8. 点、直线与圆的位置关系： （主要把握几何法）点与圆的位置关系： （ d 表示点到圆心的距离） dR点在圆上； dR点在圆内； dR点在圆外；直线与圆的位置关系： （ d 表示圆心到直线的距离） dR相切； dR相交； dR相离；圆与圆的位置关系： （ d 表示圆心距,R, r表示两圆半径,且Rr ） dRr相离； dRr外切； RrdRr相交； dRr内切；

11、0dRr内含；9. 直线与圆相交所得弦长| AB |2r 2d2第六部分圆锥曲线1. 定义： 椭圆：| MF1 | MF 2 |2a, 2a| F1F2| ；双曲线：| MF1 | MF 2 |2 a, 2a| F1F 2| ； 抛物线： |MF|=d2. 结论：直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 如弦端点为 A x1 , y1 , B x2 ,y2 , 就AB xx 2 yy 2,或ABxx1k 2,或121212ABy11y212 .k2b 2注：抛物线： AB x 1+x2+p；通径（最短弦） ：）椭圆、双曲线：；）抛物线： 2p.a过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny 21（ m

12、, n同时大于 0 时表示椭圆；mn0 时表示双曲线） ；当点 P 与椭圆短轴顶点重合时F1PF2 最大；双曲线中的结论：x 2y 2x 2y 22222双曲线1（ a0,b0 ）的渐近线：0 ；abab2bx2y共渐进线 yx 的双曲线标准方程可设为为参数, 0 ）；22aab双曲线为等轴双曲线e2渐近线相互垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解；3. 直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解；留意以下问题：联立的关于“x ”仍是关于“ y ”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（点差法-代点作

13、差法）： -处理弦中点问题y1y2步骤如下：设点 Ax 1 ,y 1 、Bx 2,y 2 ；作差得k AB；解决问题；x1x24. 求轨迹的常用方法： （ 1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（ 2）直接法（列等式） ；（ 3）代入法（又称相关点法或坐标转移法）；待定系数法； （5）消参法；（6）交轨法；（7）几何法；第七部分平面对量1. 平面上两点间的距离公式 : dxx 2 yy 2,其中 Ax , y , Bx , y .A, B212111222. 向量的平行与垂直：设 a = x1 , y1 , b = x2 , y2 ,且 b0 ,就： a bb = ax 1 y2x2 y10 ； a

14、b a0 a b =0x 1x2y1 y20 .3. ab=| a| b|cos= x 1 x 2+y1y 2；注：|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影； | b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ab的几何意义： ab等于 | a| 与| b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积；a b4. cos=；| a | b |5. 三点共线的充要条件： P, A, B 三点共线uuuruuuruuurOPxOAyOB且xy1 ；第八部分数列1. 定义：21等差数列anan 1andd为常数, nN ）anan 1dn22anan 1an 1 n2, nN*anknbSnAnBn

15、等比数列 an an 1anqq02anan -1an 1 n2, nN 2. 等差、等比数列性质：n1等差数列等比数列通项公式ana1n1dana1q前 n 项和 Snna12an na1nn21 d1.q2.q1时, Sn1时, Snna1 ;na1 1q 1qa11n-m性质an=am+ n md,a n=amq;anq qm+n=p+q时 am+an=ap+aqm+n=p+q时 aman=apaq Sk , S2kSk , S3kS2 k ,成 AP Sk , S2kSk , S3kS2k ,成 GP ak , akm , ak2 m ,成 AP, dmd ak , akm , ak2

16、m ,成 GP, qqm3. 常见数列通项的求法：定义法（利用 AP,GP的定义）；累加法（S1n=1an 1ancn 型）；公式法：an 1an=Sn Sn-1n 2累乘法（ancn 型）；待定系数法（an 1kanb 型）转化为an 1xk anx（ 6）间接法（例如：an 1an4 anan 111anan 14 ）；（ 7）（理科） 数学归纳法；4. 前 n 项和的求法： 分组求和法；错位相减法；裂项法；5. 等差数列前n 项和最值的求法： Sn 最大值anan 10或Sn 最小值0an0an 10；利用二次函数的图象与性质；第九部分不等式221. 均值不等式：abab 2aba,b0

17、 2留意：一正二定三相等；变形：ab ab) 2222aba, b2R ；2. 极值定理： 已知x, y都是正数,就有：(1) 假如积 xy 是定值 p ,那么当 xy 时和 xy 有最小值 2p ；(2) 假如和 xy 是定值 s ,那么当 xy 时积 xy 有最大值1 s2 .43. 解一元二次不等式ax2bxc0或0 : 如 a0 , 就对于解集不是全集或空集时, 对应的解集为“大两边,小中间”. 如: 当 x1x2 ,xx1xx20x1xx2 ；xx1xx20xx2或xx1 .4. 含有肯定值的不等式： 当 a0 时,有：xax2a2axa ；22 xaxaxa 或 xa .5. 分式

18、不等式：（ 1） f x0g xfxg x0 ；（2） fx0g xfxg x0 ；f x（ 3）0g xfxg xg x00f x； （ 4）0g xfxg x0.g x06. 指数不等式与对数不等式f x0(1) 当 a1 时,a f x a g xf xg x ； log af xlogag xg x0.(2) 当 0a 1时,a f xa g xf xg x ；f xg xlog af xlogag xf x0g x0f xg x3不等式的性质： abb a ； ab,bcac ； abacbc ； ab, cdacbd ； ab, c0acbd ； ab,c0acbc ；ab0, c

19、d0acbd ; ab0a nb n0nN ; ab0n anb nN第十部分复数21. 概念：z=a+bi Rb=0 a,b Rz= zz 0 ；z=a+bi 是虚数b 0a,b R；z=a+ bi 是纯虚数a=0 且 b 0a,b Rz z 0（z 0 ）z2 0；a+bi=c+dia=c 且 c=da,b,c,dR；2. 复数的代数形式及其运算：设 z1= a + bi , z2 = c + di a,b,c,dR,就：（1） z1 z 2 = a + b c + di； z 1 .z 2 = a+bic+di （ ac-bd ）+ ad+bci； z1 = a z2cbi cdi cdi di acbd22cdbcad i22cdz 2 0 ;3. 几个重要的结论：21 z1z22z1z222 z122z2; 2 z zzz 2 ； 1i 22i ； 1i4n1ii; 1ii;1i4n i 性质： T=4； i1,i 4n 1i ,i 4n 21,i 4 n 3i ； ii 4n 1i 4 2i 4n 30;4. 模的性质： | z1 z2 | z1| z2| ； | z1 | z1 |nn； | z| z | ；5. 实系数一元二次方程ax2bxcz20 的解：| z2 |如b24 ac0,就x1,2bb22a4ac;如b 24ac0,就bx1x2;2a如b