2022年导数题型方法总结绝对经典.docx

《2022年导数题型方法总结绝对经典.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年导数题型方法总结绝对经典.docx（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、导数题型方法总结肯定经典一、导数的概念第一章 导数及其应用1、已知f x1 , 就limf 2xf 2 的值就是 xx01A、4x1B 、 2C 、4D、 2变式 1: 设 f34, 就limf3h0hf32 h为 A. . 2C. 3D.1变式 2: 设fx在x 可导,就 limfx0xfx03 x 等于0A. 2 fx0x0B. fx0xC. 3 fx0D. 4 fx0导数各种题型方法总结请同学们高度重视 :第一,关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法 :1、分别变量 ;2 变更主元 ;3 根分布;4 判别式法5、二次函数区间最值求法 :1 对称轴重视单调区间 与定义域的关系2端点处与顶点

2、就是最值所在其次,分析每种题型的本质 ,您会发觉大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ,创建不等关系求出取值范畴；最终,同学们在瞧例题时 ,请留意查找关键的等价变形与回来的基础一、基础题型 :函数的单调区间、极值、最值; 不等式恒成立 ;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步 :令f x0 得到两个根 ;其次步 :画两图或列表 ;第三步 :由图表可知 ;其中 不等式恒成立问题的实质就是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种:第一种: 分别变量求最值 - 用分别变量时要特殊留意就是否需分类争论0,=0,0其次种: 变更主元 即关于某字母的一次函数 - 已知谁的范

3、畴就把谁作为主元; 请同学们参瞧 2022 省统测 2例 1: 设函数yf x 在区间 D 上的导数为f x , f x 在区间 D 上的导数为g x ,如在区间 D 上, g x0 恒成立 ,就称函数 yf x 在区间 D 上为“凸函数”,已知实数 m 就是常数 ,f xx4mx33x2(1) 如 yf x在区间 0,3 上为“凸函数”,求 m 的取值范畴 ;1262(2) 如对满意 m2 的任何一个实数 m ,函数f x 在区间a, b 上都为“凸函数” ,求 ba 的最大值、43232解:由函数 f xxmx3x得 f xxmx1261yf x 在区间0,3 上为“凸函数” ,就gxx2

4、mx30 在区间 0,3 上恒成立解法一 : 从二次函数的区间最值 入手 :等价于 gmax x03xg x0m2x2mx33m30232g 003g 309解法二 :分别变量法 : 当 x0 时,g x2xmx330 恒成立 ,当 0x3 时,g x2xmx30 恒成立等价于x233mxxx的最大值 0x3 恒成立 ,而 hx3x 0x x3 就是增函数 ,就 hmaxxh 322 当m2m2 时f x 在区间a, b 上都为“凸函数”就等价于当 m2 时 g x2xmx30恒成立变更主元法再等价于F m2mxx30 在 m2 恒成立 视为关于 m 的一次函数最值问题 F 202 xx230

5、F 202xx2301x1ba2例 2: 设函数f-2 x1 x3322ax23a 2 xb0a1,bR 求函数 fx的单调区间与极值 ; 如对任意的 xa1, a2, 不等式f xa 恒成立 ,求 a 的取值范畴、二次函数区间最值的例子 解: f xx24ax3a2x3axa0a1af x3aa3a令 f x0, 得f x的单调递增区间为 a,3a令 f x0, 得f x的单调递减区间为 ,a与3a,+当 x=a 时,f x微小值 =3 a 3b;4当 x= 3a 时,f x极大值 =b、 由| f(x) | a,得: 对任意的 x a1, a2,ax24 ax3a 2a 恒成立gmax x

6、a22就等价于gx这个二次函数gmin xag xx4 ax3a 的对称轴 x2a0a1,a1aa2a 放缩法 即定义域在对称轴的右边, g x 这个二次函数的最值问题: 单调增函数的最值问题；22g xx4 ax3a 在 a1,a2 上就是增函数、a1,a2x2agxmaxgxming aga22a1.14a4.于就是 ,对任意 x a1,a2 ,不等式恒成立 ,等价于g a24a4a,4解得a1.g a12a1a5又 0a41, 5a1.点评: 重视二次函数区间最值求法 : 对称轴重视单调区间 与定义域的关系第三种: 构造函数求最值题型特点 :f xg x恒成立h xf xg x0 恒成立

7、 ;从而转化为 第一、二种题型例 3; 已知函数f xx3ax2 图象上一点P1,b处的切线斜率为3 ,g xx3t6 x22t1 x3t0 求a, b 的值 ; 当 x1,4 时,求f x 的值域 ; 当 x1,4时,不等式f xgx 恒成立 ,求实数 t 的取值范畴；解: f/ x3x22ax f / 13a3,解得b1ab2 由 知, f x 在 1,0 上单调递增 , 在 0, 2 上单调递减 , 在2, 4 上单调递减又 f 14,f 00,f 24,f 416 f x 的值域就是 4,16t2 令h xf xg xxt21x3x1,4思路 1: 要使f xg x 恒成立 ,只需hx

8、0 ,即 t x22 x2x6 分别变量思路 2: 二次函数区间最值二、题型一 : 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范畴解法 1:转化为f x0或f x0 在给定区间上恒成立 , 回来基础题型解法 2:利用子区间 即子集思想 ;第一求出函数的单调增或减区间 ,然后让所给区间就是求的增或减区间的子集 ;做题时肯定要瞧清晰“在 m,n 上就是减函数”与“函数的单调减区间就是a,b” ,要弄清晰两句话的区分:前者就是后者的子集例 4: 已知 aR,函数f x1 x 312a1 x 22 4a1 x . 假如函数gxf x就是偶函数 ,求f x的极大值与微小值 ; 假如函数f x 就是 , 上的单

9、调函数 ,求 a 的取值范畴 .解: fx1 x24 a1 x 4a1 、1312 f x 就是偶函数 , a1、此时f xx123x , f xx3 ,4令 f x0 ,解得 : x23 、列表如下 :x , 23 23 23 ,23 2323 ,+ f x+00+f x递增极大值递减微小值递增可知:f x的极大值为f 23 43 ,f x的微小值为f 23 43 、 函数f x 就是 ,12 上的单调函数 , f xx 4a1x4a10 ,在给定区间 R 上恒成立 判别式法212就a144a1a42a0,解得: 0a2 、综上 , a 的取值范畴就是 a 0a2 、例 5、已知函数f x1

10、 x31 2a) x21axa0.(I) 求32f x 的单调区间 ;(II) 如f x在0,1 上单调递增 ,求 a 的取值范畴； 子集思想(I) f x2x2a x1ax1x1a.1、 当a0时, f x x120恒成立 ,当且仅当 x1 时取“ =”号 ,f x在, 单调递增；2、 当a0时,由f x0, 得x11, x2a1,且x1x2 ,f x单调增区间 : ,1, a1,单调增区间 : 1,a1-1a-1(II) 当f x在0,1 上单调递增 ,就 0,1 就是上述增区间的子集:1、 a0 时,f x在, 单调递增 符合题意2、 0,1a1,a10a1综上 ,a 的取值范畴就是 0

11、,1 ；三、题型二 : 根的个数问题题 1 函数fx 与 gx 或与 x 轴的交点= 即方程根的个数问题解题步骤第一步 :画出两个图像即“穿线图”即解导数不等式 与“趋势图”即三次函数的大致趋势“就是先增后减再增”仍就是“先减后增再减”;其次步 :由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组 ;主要瞧极大值与微小值与 0 的关系;第三步 :解不等式 组即可 ;例 6、已知函数f x1 x33k12x2 , g x1kx ,且3f x 在区间2, 上为增函数 .（ 1） 求实数 k 的取值范畴 ;（ 2） 如函数f x 与 gx的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范畴 .解:1由题意f xx2

12、k1 x f x 在区间2, 上为增函数 , f xx 2k1 x0 在区间2, 上恒成立 分别变量法 即 k1x 恒成立 , 又 x2 , k1x3k2 , 故 k11 k 的取值范畴为 k112 设 h xf xg x3x2kx,232h xx k1 xk xk x1令 h x0 得 xk 或 x1 由1 知 k1 ,当 k1 时,h xx1 20 , h x 在 R 上递增 , 明显不合题意当 k1 时,h x ,h x 随 x 的变化情形如下表:x, kkk,111,h x00h x极大值微小值k 3k 21k16232由于 k120 , 欲使f x 与g x的图象有三个不同的交点,

13、即方程h x0 有三个不同的实根, 故需k 3k 210 , 即 k1 k 2k12k20 , 解得 k13623k 22k20综上 , 所求 k 的取值范畴为k13根的个数知道 , 部分根可求或已知；例 7、已知函数f xax31 x222xc(1) 如 x1 就是f x的极值点且f x的图像过原点 , 求f x的极值 ;(2) 如g x1 bx2xd , 在1 的条件下 , 就是否存在实数 b , 使得函数2g x 的图像与函数f x的图像恒有含x1 的三个不同交点？如存在, 求出实数 b 的取值范畴 ; 否就说明理由；解:1 f x的图像过原点 , 就f 00c0f x3ax 2x2 ,

14、又 x1就是f x的极值点 , 就 f13a120a1f xf x3x2x23x32 x10222f极大值 xf 12f 微小值 xf 37-1232设函数g x 的图像与函数f x的图像恒存在含 x1 的三个不同交点 ,1312等价于121f xgx 有含 x1的三个根 , 即:f 1g 1db12xx2 xbxxb1 整理得 :222即: x31 b1x2x1 b10 恒有含 x1的三个不等实根22运算难点来了 : h xx31 b1x2x1 b10 有含 x1 的根 ,22就 h x 必可分解为 x1二次式0 , 故用 添项配凑法因式分解 ,x3x2x21 b1x2x1 b10222x

15、x11b21xx1b1022x2 x11 b21x22 xb10十字相乘法分解 :x2 x11 b21xb1x10x1x21 b1x1 b10x31 b1x2x1 b10 恒有含 x221 的三个不等实根22等价于x21 b1x1 b10 有两个不等于 -1 的不等实根；221 b1241 b1042b,1 1,33, 121 b11 b1022题 2:切线的条数问题 = 以切点x0 为未知数的方程的根的个数例 7、已知函数f xax3bx2cx 在点x0 处取得微小值 4,使其导数f x0 的 x 的取值范畴为 1,3 ,求:1f x 的解析式 ;2 如过点P 1,m 可作曲线yf x 的三

16、条切线 ,求实数 m 的取值范畴 .(1) 由题意得 : f2x3ax2bxc3a x1 x3, a0在 ,1 上f x0 ; 在 1,3 上f x0 ; 在 3, 上f x0因此 f x 在x01 处取得微小值4 abc4 , fa13a12bc0 , f327a6bc0 由联立得 :bc6,9f x32x6 x9 x(2) 设切点 Q t ,f t , yftf ,t xt 2y3t12t329 xt t6t9t3t 212t9 xt3t 212t9t t 26t93t2m3t 212t 12t9 xt2t 2912t 36t 过 1,m 6t 2g t 2t 32t 212t9m0令 g

17、 t6t26t126t 2t20 ,求得 : t1,t2 ,方程g t 0 有三个根；g 10需:g2023129m01612249m0m16m11故:11m16 ; 因此所求实数 m 的范畴为 : 11,16题 3:已知f x在给定区间上的极值点个数 就有导函数=0 的根的个数解法:根分布或判别式法例 8、解: 函数的定义域为 R 当 m 4 时,f x 1x3 72 10x,x32f x x2 7x 10,令 f x0, 解得 x5, 或 x2、令 f x0 , 解得 2x5可知函数 f x的单调递增区间为 ,2 与5, ,单调递减区间为2,5 . f x x2 m 3x m 6,要使函数

18、 y f x在1, 有两个极值点 ,f x x 2 m 3x m 6=0 的根在 1, 根分布问题 :1 m324m60;就f 11m3m60; , 解得 m 3m31.2例 9、已知函数f xa x331 x 2 , a2R, a0 1 求f x 的单调区间 ;2令 gx 14x 4 fxx R有且仅有 3 个极值点 ,求 a 的取值范畴 .解:1f xax2xxax1当 a0 时,令f x0 解得 x1 或x0 ,令af x0 解得1x0 ,a所以 f x的递增区间为 ,1 a0, ,递减区间为 1 ,0 、a当 a0时,同理可得f x 的递增区间为0,1 ,递减区间为 a,01 , 、a

19、14a3122gxx 4xx 有且仅有 3 个极值点32g xx3ax2xx x2ax1 =0 有 3 个根 ,就 x0 或 x2ax10 , a2方程 x2ax10 有两个非零实根 ,所以a 240,a2 或 a2而当 a2或 a2 时可证函数yg x 有且仅有 3 个极值点其它例题 :1、 最值问题与主元变更法的例子 、已知定义在R 上的函数2,1 上的最大值就是 5, 最小值就是 11、f x32ax2axb（ a0）在区间 求函数f x 的解析式 ; 如 t1,1 时,f x） tx0 恒成立 , 求实数 x 的取值范畴、解: f xax32ax2b,f4 x3ax24axax3 x4

20、令 f x =0, 得 x10, x232,1由于 a0 , 所以可得下表 :x2,000,1f xf x+0-极大因此 f0 必为最大值 , f（0）5因此 b5 ,f 216a5,f 1a 5,f 1f 2,即 f 216a511, a1 , f x） x32 x25. fx3 x 24 x , fx） tx0 等价于3 x 24xtx0 ,令 gt xt3 x24 x , 就问题就就是gt0 在 t1,1 上恒成立时 , 求实数 x 的取值范畴 ,为此只需g 10, 即g（103x25x0,x2x0解得 0x1, 所以所求实数 x 的取值范畴就是 0,1、2、 根分布与线性规划例子 (1

21、) 已知函数f x232xax3bxc 如函数f x 在 x1时有极值且在函数图象上的点0,1 处的切线与直线 3xy0 平行 , 求f x 的解析式 ; 当f x 在 x0,1 取得极大值且在 x1,2 取得微小值时 , 设点M b2,a 1 所在平面区域为 S,经过原点的直线 L 将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程、解: 、 由 f x2 x22 axb, 函数f x 在 x1时有极值 , 2ab20 f 01c1又 f x在 0,1 处的切线与直线 3 xy0 平行, f 0b 3故a122312 f xxx 323x1、 7 分 解法一 : 由 f x2 x

22、22axb 及f x 在 x0,1 取得极大值且在 x1,2 取得微小值 ,f 00b0即2ab20令M x,y ,就4ab80f 10f 20x b2y a12 yx20故点M所在平面区域 S 为如图 ABC,4 yx60a y1b x2x20易得 A 2,0 ,B2,1 ,C 2,2 ,1D 0,1 ,E0,3 ,S2ABC2同时 DE 为 ABC 的中位线 ,S DECS四边形 ABED3所求一条直线 L 的方程为 :x0另一种情形设不垂直于x 轴的直线 L 也将 S 分为面积比为 1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为 ykx ,它与 AC,BC分别交于 F、G,就 k0 ,S四边形

23、 DEGF1ykx由2 yx20得点 F 的横坐标为 :xF22k1ykx由4 yx60得点 G 的横坐标为 :xG64 k1 S四边形 DEGFS OGES OFD136224k111222k11即 16k22k50解得 :k1或2k5舍去 故这时直线方程为 :y1 x 82综上 ,所求直线方程为 :x0 或 y1 x、 、 、12 分2 解法二 :由 f x2 x22axb 及f x 在 x0,1 取得极大值且在 x1,2 取得微小值 ,f 00f 10f 20x b2b0即2ab20令 M x,y ,就4ab80y a12 yx20故点 M所在平面区域S 为如图ABC,4 yx60a y

24、1b x2x20易得 A 2,0 ,B2,1 ,C 2,2 ,1D 0,1 ,E0,3 ,S2ABC2同时 DE 为 ABC 的中位线 ,S DECS四边形 ABED3所求一条直线 L 的方程为 :x0另一种情形由于直线BO 方程为 :y1 x , 设直线 BO 与 AC 交于 H ,2y1 x由2得直线 L 与 AC 交点为 :H 1,1 2 yx2021111111 S ABC2 ,S DEC2 ,SABHS ABOS AOH2122222222 所求直线方程为 :x0 或 y1 x 23、根的个数问题 已知函数fxax3bx 2c3a2bxda0 的图象如下列图； 求 c、d 的值 ;

25、如函数 fx 的图象在点 2,f2处的切线方程为 3xy110 ,求函数 f x 的解析式 ; 如 x05, 方程 fx8a 有三个不同的根 ,求实数 a 的取值范畴；解: 由题知 : f x3ax 22bx+c-3a-2b 由图可知 函数 f x 的图像过点 0 , 3 , 且 f1 = 0d3得3a2bd3c 3a2b0c0 依题意f2 = 3 且 f 2 = 512a 8a4b3a4b6a2b34b35解得 a = 1 , b = 6所以 f x = x3 6x 2 + 9 x + 3 依题意f x = ax3 + bx2 3a + 2 b x + 3 a 0 fx = 3 ax2 +

26、2 bx 3a 2b由 f5 = 0b = 9a如方程 f x = 8 a 有三个不同的根 ,当且仅当满意 f 5 8a f 1 由 得 25a + 3 8a 7a + 31 a 311x2 2,11所以 当1 a 3 时,方程 f x = 8 a 有三个不同的根；1211x9分4、根的个数问题 已知函数f x1 x3ax2x1aRx8aa2(1) 如函数f x 在3xx1 , xx2 处取得极值 , 且 x1x22 , 求a 的值及 f x 的单调区间 ;1125(2) 如 a, 争论曲线 f x 与 gxx2a1x 2x1 的交点个数 .226解:1f xx22ax1x1x22a, x1x

27、21xxxx 24x x4a24212121 2a0 2 分f xx22ax1x21令 f x0 得 x1,或x1令 f x0 得 1x1 f x 的单调递增区间为 ,1 , 1, , 单调递减区间为 1,1 5 分2 由题f xg x 得1 x3axx11 x22 a1x52326即 1 x3a1 x22ax10326令 x1 x3a1 x22ax1 2x1 6 分326 xx22 a1x2a x2a x1令 x0 得 x2a 或 x1 7 分a12当 2a2 即 a1时此时 ,8a920 , a0,有一个交点 ; 9 分当 2a2 即1a1 时,2x2 2,2 a2a2 a,11 x0 x8a92 a2 32a1a236221a 32 a0 ,36当 8a9290 即1a9时,有一个交点 ;169当8a20,且 a0 即16a0 时,有两个交点 ;当 0a19时,8a220 ,有一个交点 . 13 分综上可知 , 当 a9 或 0a161时, 有一个交点 ;2当9a160 时,有两个交点 .14 分5 、 简洁切 线问 题 已 知 函 数3bxf x