2022年浅谈小学数学教材中“数学广角”.docx

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1、精品学习资源1 引言“数学广角” 是人教版学校数学教材中特有的单元；是教材的一个亮点， 也是一种新的尝试； 它的出现是为了进一步集中向同学浸透数学思维方法；那么如何把握 “数学广角”这一事物所显现的全新的教学内容、教学目标、教学方法？已经成为对每一个数学老师的应战， 事实上在实践教学中很多老师也的确产生了不少的困惑：目标如何定位， 如何创设数学活动让同学体验数学思想方法，教材的编排特点能给我们什么启示；本论文通过对“数学广角”的教学目标、 教学内容进行梳理， 试图结合一些教学实践对这一内容的编排体系与同学智力进展的关系进行分析；2“数学广角”学问的教学目标数学课程标准在教材编写建议中明确提出：

2、“依据同学已有体会、心理进展规律以 及所学内容的特点， 一些重要的数学概念与数学思想应采纳逐步渗透、深化、 螺旋上升的方式编排；”基于这样的指导意义，人教版教材对于“数学广角”单元的编排思绪，主要是经过一些比较简洁的事例渗透一些重要的数学思想方法，让同学在解决问题的过程中主动尝试数学广角是面对全体同学渗透数学思想方法的，意图是让每一个同学受到数学思维训练的同时，逐步形成探究数学问题的爱好与欲望，发觉、观赏数学美的意识；数学广角的教学定位于通过猜想、试验、观看、操作、推理等数学活动，让同学感受数学的思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法，进展思维才能，促进同学数学素

3、养的提升； 数学思想方法是数学学问的重要组成部分，也是数学素养的基本内容； 因此，使每位同学能初步感受一些基本的数学思想方法是“数学广角” 的主要教学目标之一； 数学学问和技能是同学进一步学习的基础，同时更是同学思维进展和终身学习的重要基础；从数学的角度寻求解决问题的策略，经受猜想、试验、推理等数学探究活动的过程，逐步增加同学解决实际问题的体会和才能，体会一些重要的数学思想方法；要让同学在获得数学学问的同时，明白学问的来龙去脉， 把握解决问题的基本方法，形成基本的数学思想方法； 使同学感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来 解决实际生活中的简洁问题，初步培育同学的应用意识和解决实

4、际问题的才能；培育同学团结协作的精神及动手操作的才能；指导同学精细地观看事物，增长学问，培育观看力， 启示雪上摸索问题，加强思维训练，逐步进展思维力；3“数学广角”的内容体系数学课程标准中指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐级递进、螺旋上升； ”教欢迎下载精品学习资源材在“数学广角”内容的编排上留意表达了这一要求，系统而有步骤地渗透数学思想方法；尝试把重要的数学思想方法通过同学可以懂得的简洁形式，采纳生动好玩的事例出现出来；第一学段， 数学广角显现了简洁的排列组合、简洁的推理、 集合思想、 等量代换等内容，让同学通过观看、操作、试验、推测、推理与沟通等活动，初步感受数学思想方法的神奇与作用，

5、受到数学思维的训练，逐步形成有次序、全面摸索问题的意识，同时培育他们探究数学问题的爱好与欲望，发觉、观赏数学美的意识，进而到达数学课程标准第一学段的要求：使同学“在解决问题的过程中，能进行简洁的、有条理的摸索”；其次学段渗透了优化思想、计策论、解决由植树引发出来的问题、数字编码、假设法、抽屉原理等数学思想方法，一方面连续让同学感悟数学思想方法，感受数学的魅力， 培育学生分析、 推理的才能， 逐步形成探究数学问题的爱好与欲望，另一方面加强了综合运用学问解决问题和解决问题策略多样化的教学，使同学逐步提高数学思维才能和解决问题的才能；3.1 “数学广角”案例解析3.1.1 四年级上册 ”优化问题 ”

6、本单元主要是通过日常生活中的一些简洁事例，让同学尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中查找最优的方案， 初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及计策论方法在解决问题中的运用； 在日常生活中， 解决问题的方法同学很简洁找到，而且会找到解决问题的不同的策略，这里的关键是让同学懂得优化的思想，形成从多种方案中查找最优方案的意识， 提高同学的解决问题的才能；例 1 争论烙饼时怎样操作最省时间，让同学体会在解决问题中优化思想的应用；教材第一给出一幅生动好玩的情境图，让同学探究发觉：3 张饼的烙法，最好的方法是先烙1， 2 号饼的正面，接着烙1 号饼的反面和 3 号饼的正面，最终烙2，3 号饼的反面，这种方

7、法只需 9 分钟；然后仍可以让同学在试验的基础上独立完成：假如要烙的是4 张饼，5 张饼 10张饼，怎样支配最节约时间？再通过小组争论沟通发觉：假如要烙的饼的张数是双数，2 张2 张的烙就可以了，假如要烙的饼的张数是单数，可以先2 个 2 个的烙，最终 3 张饼按上面的最优方法烙，最节约时间；例 2 分析家里来客人需要沏茶时，怎样支配各种事情能让客人尽快喝上茶；连续争论如何用优化的思想挑选合理、快捷的解决问题的方法； 教材在情境图下给出了沏茶所要做的各种工序， 以及做每件事情所需的时间；然后出现同学们争论怎样支配的场面；在这些内容中包含明白决这一问题的摸索方法：欢迎下载精品学习资源第一要明确沏

8、茶的大致次序，也就是说哪些事情要先做，然后再考虑仍有哪些事情可以同时做，能同时做的事尽量同时做，这样才能节约时间；教材仍提示可以用流程图的方式表示解决问题的次序或方案，教给同学设计方案的详细方法；同学可以运算出每种方案中三艘货船的等候时间的总和各是多少，从而找出最优的卸货次序； 然后引导同学摸索发觉： 依次从等候时间较少的船开头卸货，就能使总的等候时间最少；例 4 出现了“田忌赛马”的故事；这个故事同学可能已经明白，但是并不是从数学的角度去懂得的； 在这里， 通过这个故事让同学体会计策论方法在实际中的应用；教材第一引导同学回忆这个故事，并让同学把田忌在赛马中使用的方法通过表格的形式列出来，例

9、3 支配的是在码头卸货时， 依据怎样的次序卸货能让三艘船总的等候时间最少； 让同学从中体会运筹思想在解决问题中的作用； 教材没有给出答案， 而是让同学自己来解决； 这里卸货次序的种数是一个排列问题，一共有 6 种不同的方案，案方卸货次序船 1 的等候时间时船 2 的等候时间时船 3 的等候时间时等 候 时 间的总和时1船 1船 2船388+48+4+1332船 1船 3船288+1+48+1303船 2船 1船34+844+8+1294船 2船 3船14+1+844+1225船 3船 1船21+81+8+41236船 3船 2船11+4+81+4119齐王田忌本场胜者第一场上等马下等马齐王其次

10、场中等马上等马田忌第三场下等马中等马田忌通过比较让同学看到： 虽然在同等级的马中， 田忌的马都不如齐王的马；假如拿同等级的马进行竞赛田忌肯定会输，但是田忌所采纳的策略却让他赢了；从而让同学体会到计策论的方法在这场竞赛中的重要性；接下来让同学摸索： 田忌所用的这种策略是不是唯独能赢齐欢迎下载精品学习资源王的方法？并让同学把田忌全部可以采纳的策略列出来，通过对比来找到答案；田忌可以采纳的策略一共有 6 种，但只有一种也就是他所使用的方法是唯独可以获胜的；第一场其次场第三场获胜方齐王上等马中等马下等马齐王田忌 1上等马中等马下等马齐王田忌 2上等马下等马中等马齐王田忌 3中等马上等马下等马齐王田忌

11、4中等马下等马上等马齐王田忌 5下等马上等马中等马田忌田忌 6下等马中等马上等马齐王田忌 1 代表他的第一种策略最终， 教材让同学说一说田忌的这种策略在生活中仍有哪些应用，让同学体会计策论方法在生活中的应用； 比方乒乓球团体竞赛教学目标1. 使同学通过简洁的事例， 初步体会运筹思想和计策论方法在解决实际问题中的应用；2. 使同学熟悉到解决问题策略的多样性，形成查找解决问题最优方案的意识；3. 让同学感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简洁问题，初步培育同学的应用意识和解决实际问题的才能；4. 使同学逐步养成合理支配时间的良好习惯；建议： 运筹思想和计策方论的理论

12、都是比较系统、 抽象的数学思想方法， 在这里只是让同学通过简洁的事例， 初步体会运筹思想和计策方法在解决实际问题中的应用， 初步培育同学的应用意识， 提高解决实际问题的才能； 同学只要能从解决问题的多种方案中查找出最优的方案， 初步体会优化思想的应用就可以了， 并不要求同学一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案；另外老师在教学中也不要使用运筹、优化和计策等数学化的语言进行描述；3.1.2 四年级下册 “鸡兔同笼问题 ”由于“鸡兔同笼”原题的数据较大，不便于同学进行探究，所以教材以化繁为简的思想 为指导， 先在例 1 中支配一道数据较小的“鸡兔同笼”问题让同学探究解决的方法；在分析解答部分，教

13、材第一出现了同学最“朴实”的想法推测；分别推测鸡、兔各有多少只，然后验证脚的只数是否对应，通过这种不断地推测、 尝试最终找到答案， 例 1 的表格可帮忙欢迎下载精品学习资源同学按次序查找答案， 虽然也可以解决问题， 但当数据较大时过程颇为繁琐；因此引导同学摸索更具有规律性和一般性的解法，教材中主要出现了最典型的“假设法”和列方程的解法；“假设法”是一种算术方法，但有其特殊的特点，是一个假设运算推理解答的过程；例 1 中就是通过假设笼子里都是鸡，然后通过运算实际与假设情形下总脚数之差， 进而推理出鸡、 兔的只数； 实际上“假设法”可以有很多奇妙的思路，“阅读资料”中介绍的“抬腿法”也是其中之一；

14、列方程就是一种代数解法，通过假设鸡或兔任何一个量为x， 然后依据只数与脚数之间的数量关系列出方程并求解即可；在日常生活中， “鸡兔同笼”问题有很多的变式， 教材在“做一做”中支配的日本民间流传的“龟鹤问题”以及租船、植树等实际问题均与“鸡兔同笼”本质相同；教学目标1. 明白“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性；2. 尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题排列的方法、假设的方法、列方程的方法，并使同学体会代数方法的一般性；3. 在解决问题的过程中培育同学的规律推理才能；建议 1.留意渗透化繁为简的思想；教材先编排了例1，通过化繁为简的思想，帮忙同学先探究出解决该类问题的一般方法后，再解决孙子

15、算经中数据较大的原题；教学时，老师应留意使同学体会这一点；2.适当把握教学要求；解决“鸡兔同笼”问题时，教材展现了同学逐步解决问题的过程，即推测、列表假设或方程解；其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法；“假设法”有利于培育同学的规律推理才能，列方程解就有助于同学体会代数方法的一般性；因此在解决“鸡兔同笼”问题时，同学选用哪种方法均可，不强求用某一种方法；四下数学广角“ * 植树问题”例 1 是探讨关于一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情形，让同学先通过画线段图来发觉： 在一条路上植树， 假如两端都要栽的话， 栽树的棵树都比平均分的份数也就是间隔数多 1, 正好与间隔点的个数相同，再用发

16、觉的规律解决实际问题；例 2 是在例 1 的基础上连续探讨关于一条线段的植树问题的另一种情形；教材给出动物园里绿化队在大象馆和猩猩馆之间的小路两旁栽树的问题，依据实际情形在这条小路的两端 都不栽树；通过探究让同学发觉：当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少1；例 2 争论的是两端都不栽树的情形；五年级下册 “植树问题 ”例 3 是植树问题的另一种情形关于一个封闭图形的植树问题；这里借助围棋盘的最欢迎下载精品学习资源外层每边都能放 19 个棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少个棋子的问题，介绍如何解决类似的植树问题； 教材用直观图的形式展现了两个同学解决问题的方法；一种方法是： 先看上下两个边，每

17、边是19 个棋子，然后再看左右两边，由于上下两边已经包括了两个端点，所以左右两边每边都少了2 个棋子，只有 17 个，把四边上的棋子加起来就可得到最外层总共的棋子数，即19+19+17+17=72；另一种想法是：每边都只算一个端点，这样每边正好都是 18 个棋子， 184=72 得出结果；教材这里没有给出解决关于封闭图形植树问题的规律，而是用这种直观的方式来解决问题，表达了不同的同学在数学学习上有不同的进展；假如学生可以接受的话， 也可以让他们自主探究这种植树问题中包含的规律，即栽树的棵数正好等于间隔数； 例如， 围棋盘最外层摆放的棋子数等于最外层每两个棋子间的间隔数，最外层每边有 18 个间

18、隔，最外层总共摆放的棋子数是184=72；教学目标：1. 使同学通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法；2. 初步培育同学从实际问题中探究规律、找出解决问题的有效方法的才能；3. 让同学感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简洁问题，培育同学的应用意识和解决实际问题的才能；建议： 本单元就是让同学通过生活中的简洁事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用，教学时，应从实际问题入手，引导同学在解决问题的分析、思考过程中， 逐步发觉隐含于不同的情形中的规律， 经受抽取出数学模型的过程， 体验数学思想方法在解决实际问题中的应用； 但是， 也要

19、留意不要对例题进行过多的变式、 提高问题的难度，造成教学要求过高；3.2 “数学广角”学问的编排特点在渗透排列和组合的数学思想方法时，试验教材先在二年级上册教材中，支配同学初步接触一点排列与组合学问，让同学通过观看、 推测以及试验的方法可以找出最简洁的事物的排列数和组合数； 如用两个数字卡片组成两位数的排列数，三个小伴侣两两握手的组合数等；而在三年级上册教材中又连续学习排列与组合的内容；但目标定位为在同学已有学问和体会的基础上， 连续让同学通过观看、推测、试验等活动找出事物的排列数和组合数；如两件上装和三件下装有多少种不同的搭配等数学问题；与二年级上册教材相比， 三年级教材的内容就更加系统和全

20、面，分别介绍排列以及组合；欢迎下载精品学习资源综观整个十二册教材中的“数学广角”，从简洁的分类思想到较为抽象的运筹思想、计策论以及最终一册更为复杂的抽屉原理，无不表达了思维层次是从低到高，从详细到抽象，逐级递进、螺旋上升，向同学逐步渗透这些数学思想方法，以符合数学认知规律；它们各个内容之间又存有肯定的联系，精确把握各册教材的联结点有助于解读教材；譬如，第七册的运筹问题、第十册的找次品问题以及第十二册的抽屉原理，解决问题时都要考虑“至少”的问题， 都在多种解决策略中查找最正确最优的策略，都要运用推理才能和渗透 优化思想； 学习“数字编码”的时候，自然地要同“找规律”这一个学问点进行嫁接；解决“封

21、闭方阵中的植树问题”时需要用“重叠问题”来诠释； 植树问题和鸡兔同笼问题都很留意数学模型的构建， 一般都得经受“问题模型构建模型说明应用模型”的学习过程；为了便于争论， 本论文把全套人教版教材中 “数学广角” 教学内容及渗透的数学思想方法整理出来， 出现为如下表格， 以便于优化教学过程， 抓住教材中的数学思想方法的渗透点， 在教学中加以提升，用足、用好，以提高课堂教学效率和同学的数学素养；册数单元内容数学思想方法欢迎下载精品学习资源二上第八单元简洁的排列： 1， 2 能组成几个两位数.排列组合思想方法欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二下第九单元简洁的规律推理： 猜一猜他们拿的是什么书

22、.规律推理思想方法欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三上第九单元1. 重叠问题： 参与跳绳、 踢毽竞赛的同学名单 .集合的思想方法欢迎下载精品学习资源1. 简洁的组合 : 有几种不同的穿欢迎下载精品学习资源三下第八单元法.踢几场球 .2. 简洁的排列 :3 个数字能摆成几个三位数 .排列组合思想欢迎下载精品学习资源四上第八单元1. 运筹问题： 烙饼、 沏茶、 码头卸货等问题2. 计策问题：田忌赛马；运筹思想、计策论方法、优化思想欢迎下载精品学习资源四下第九单元鸡兔同笼问题假设法思想方法欢迎下载精品学习资源植树问题的思想方法植树问题：两端都种、两端都不种、五上第七单元化归的思想方法封闭方阵

23、 中种树等；数学建模思想五下第八单元找次品： 5 件、 9 件物品中找次品优化思想方法1.数与形：图形和算式的关系数形结合思想六上第八单元2.找规律有序思维1. 抽屉原理： 4 支铅笔放入 3 个文具抽屉原理六下第五单元盒、 5 本书放入 2 个抽屉数学建模思想2. 鸽巢问题： 5 只鸽子飞进 3 个笼子梳理了整套教材， 让我们更深化地去精确把握体系中各个学问点之间的联系点，我们也不难发觉教材编排的特点是从留意形象详细思维逐步过渡到留意抽象思维，很多数学思想方法也是螺旋上升， 逐步深化的； 它们各个内容之间又存有肯定的联系，精确把握各册教材的联结点有助于解读教材；我们不难发觉“数学广角”在每一

24、个学段都有不同的要求；在第一学段要求以“操作实践”为主题，考虑到这一阶段同学储备的数学学问比较零碎，已有的生活体会不够丰富，因此引导同学通过 “操作实践” 的活动来绽开探究， 使他们体验到现实生活中隐含着数学学问， 同时初步培育他们观看、操作及归纳推理的才能；其次学段要求以“抽象建模”为主题，考虑到同学经过第一阶段的学习，已有了肯定的数学学问和解决简洁问题的体会；也有了肯定的规律思维才能，因此在连续强调实践与体会的基础上，增强“抽象建模”的要求；这样，不仅使同学懂得并初步把握一些数学思想与模型，而且提高了他们用数学学问解决实际问题的才能，逐步形成有序、严密抽象摸索问题的意识和习惯；从对数学广角

25、内容的梳理中我们可以看出两点：每一个数学广角的内容认知目标相当明确；数学思想方法的渗透是与解决问题紧密联系的； 数学广角立足数学思想方法的渗透，应当明确三点：数学思想是我们进行数学广角教学的指导思想；不能只满意于数学问题的解决，仍要有数学思想的飞跃和制造；数学思想不行能像数学学问那样一步到位，它需要有一个不断渗透、循序渐进、 由浅入深的过程；欢迎下载精品学习资源4“数学广角”教学策略4.1 精确定位教学目标和要求“数学广角”是人教版教材中的一个亮点，也是一种新的尝试； 因此它的教学目标的定位上与我们的数学常规课和数学实践活动有所不同，它更重视通过观看、 操作、 试验、推测、推理与沟通等活动，

26、感受数学思想方法的神奇与作用，学会运用数学思想方法解决问题的策略、方法； 所以在教学“数学广角”时，我们老师应当精确定位教学目标和要求，切不行走入下面两种误区；误区一： 一味地提高要求， 不当心把“数学广角”上成奥数培训课，特殊是有些公开课时，上课老师一味追求教学深度，却让不少同学“淹死”其中；误区二： 一味地追求解决问题的结果，甚至一节课下来只停留在直观的试验操作，而无视了从直观上升上抽象的过程，从而也就无视了数学思想方法的感悟，显现了目标定位偏低；例如教学搭配问题， 有的老师出示的内容 如两件上衣和两件下装有几种搭配都是让同学画一画来解答， 从课的开头到课的终止，解决问题的策略都是停留在直

27、观状态；这样做，只有直观，没有抽象，就缺少数学思想方法的渗透；策略三：体验感悟，经受抽象；数学思想方法其特点是呈隐藏形式，它比数学学问更抽象；而“数学广角”的内容都是把这些抽象的数学思想方法以同学可以懂得的直观形式，采纳生动好玩的事例出现出来；所以“数学广角”的教学难点在于如何让同学从直观的解决问题去感悟其中抽象的数学思想方法；解决这个难点的关键就是让同学主动参与，由于没有主动参与就不行能对数学学问、数学思想方法产生体验；没有了体验， 那数学思想方法的渗透只能是一句空话；因此在课堂上必需充分暴露思维过程，让同学参与教学实践活动，充分发挥他们的主体作用；在动脑、动手、 动口的过程中领会体验数学思

28、想方法的形成，揭示其中隐含的数学思想方法，并逐步把握运用；4.2 提升数学老师自身的数学素养有人说，要给同学一杯水，老师必需有一桶水；有人说，要给同学一杯水，老师必需有长流不息的小溪水； 做一名有较高数学素养的老师，是时代的要求， 也是促进每一个同学进展的迫切需求；因此要想能通过有效的教学“数学广角”，把这些数学思想方法渗透好，第一数学老师就应把握这些基本的数学思想方法；数学， 绝不是解决几个数学问题；数学教学，也不是仅仅教同学学会解题；数学教学的价值表达在对人的思维才能的进展上，也即表欢迎下载精品学习资源达在分析和解决问题的思想方法上；老师只有把握了肯定的数学思想方法，在教学中才能游刃有余，

29、否就就会导致教学活动停留在外表而缺乏数学思想方法的渗透和表达；4.3 培育同学的主动应用意识从数学思想方法的特点和形成过程来说，对同学数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能 见到同学数学才能提高的，而是需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程；而这一过程， 需要老师做一个“过程”的加强者，不断用数学思想“敲打”同学的思维、让同学在一次次的“敲打”过程中，不断的反思、不断的积存、不断的感悟、不断的明朗，直到最终能主动应用； 因此在教学“数学广角”时，不管在课堂上仍是课外都应当留意培育同学应用 数学思想方法解决问题的策略，更应当在问题解决之后进行“反思”，在此过程中体会数学思想方法的应用价值；如四

30、年级下册中在让同学感受了植树问题的解决策略后，可设计由植树问题变式的问题，如装路灯问题、 上楼梯问题、 锯木头问题、 排队问题等， 让同学进一步运用“化归思想” 迁移解决类似植树问题，在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法；又如在让同学从身份证号中感悟了数字编码的思想后，又用课件展现一组生活中常见的、房牌号、公交站牌、车牌号、银联卡、积分卡等编码，在详细的情境中用编码的思想去解读这些信息， 引导反思这些编码的特点，体会在生活各个方面中编码思想的应用价值； 仍可设计“给自己编个性学号”，“给宾馆房间编号”，“巧用身份证号破案”等情境来动 手设计编码， 在反复实践应用中感受数字编码的思想方法和实践应用价值，以及以后遇到类似问题能主动应用编码思想的意识；5 结论“数学广角” 虽然在整个学校数学教学中所占的比例不是很大，但它对同学数学才能的提高与后续进展中的作用不容无视；我们只有通过不断研读新教材、实践新理念， 才能把握住课程改革的脉搏，才能有效地实现教学相长，真正让课堂焕发诞生命的光荣；欢迎下载