2022年对Lagrange中值定理应用研究报告.docx

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1、精品学习资源个人资料整理 仅限学习使用目 录1 引言 12LAGRANG中E值定理 1欢迎下载精品学习资源2.1 L AGRANG中E2.2 L AGRANG中E2.3 L AGRANG中E值定理 1值定理的几何意义 1值定理的等价表示形式 3欢迎下载精品学习资源3 判定方程根的存在性34 争论函数在区间上的性态 45 证明不等式 66 证明恒等式 也包括函数为常数函数的证明）87 证明重要定理 108 求极限 129 总结 13参考文献 14致谢 15欢迎下载精品学习资源对 Lagrange 中值定理的应用争论数学系本 15 班 高林丽指导老师：王芳摘 要 ： 本 文根 据 Lagrange

2、 中 值定 理 的特 点， 通过 实例 来说明白Lagrange 中值定理在判定方程根的存在性、函数在区间上的性态、证明等式和不等式、证明重要定理、求函数的极限等方面的应用，克服了用常规方法求极限、证明不等式的局限性，且相对简便；关键词： Lagrange 中值定理，根的存在性，区间，等式，不等式，微积分基本公式， LHosPital 法就，极限；Lagrange mean value theorem of the Applied ResearchGao LinliClasses 15, Mathematics Department Tutor: Wang FangAbstract：In th

3、is paper, Lagrange mean value theorem in accordancewith the characteristics of clear examples for the Lagrange mean value theorem in the determination of the existence of the root equation, function in the range of the state, proof of identity and inequality, and the limit function to prove importan

4、t theorems, etc. applications, to overcome the limits of conventional methods of seeking to prove that the limitations of inequality, and relatively simple.Key words:Lagrange mean value theorem； the existence of the root ；interval；equation；inequality ；the basic formula for calculus ；LHosPital rules

5、；limit.欢迎下载精品学习资源1 引言Lagrange 中值定理是微分学中最重要的定理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁是应用函数的局部性争论函数整体性的重要数学工具，也是微分学 的理论基础 Lagrange 中值定理是微分学中的重要内容，在判定根的存在性、函数在区间上的性态、不等式和等式的证明、证明重要定理、求函数的极限等方 面做些争论；为了能够更深刻的懂得它的内涵，我们就通过大量的实例来争论Lagrange中值定理在微分学中的一些常见的应用；2Lagrange中值定理函数在某一点的导数反映函数局部的性质，但却经常需要争论函数在整体的性质，特别需要从函数的导数所给出的局部性质推出其整体

6、的性质；已学过的微分，是通过自变量的转变量与始点处的导数值来表达函数转变量的近似值的：但这仅仅是个近似等式一般说来，其误差只在时才趋向零），而且只在邻近可用，因而不适用于解决所提出的问题；但却可以得到这样的准确等式，只要把上式中始点出的导数值用与之间某点处的导数值来代替，即其理论依据就是 Lagrange中值定理 ：2.1 Lagrange 中值定理如函数满意以下条件：1） 在闭区间上连续；2） 在开区间内可导；就至少存在一点，使得:2.2 Lagrange 中值定理的几何意义欢迎下载精品学习资源yBAPxab图 拉格朗日中值定理的几何图形如上图 ， 拉 格朗 日中值定 理是 从几何意义出 发

7、， 先求出与的割线斜率，又曲线在是一条连续曲线，每一点都存在切线，就曲线上至少存在一点，过点的切线平行于割线；构造帮助函数满意罗尔定理的条件，从而可证；这个方法的关键是在构造帮助函数上，此帮助函数不是很简洁就能想到的，下面将给出更易懂得、更简洁的证明以供大家参考；分析： 首先由定 理结 论 知就 可求从而可构造帮助函数证明：先构造帮助函数由题设可知，在连续，在可导，且欢迎下载精品学习资源由罗尔定理知，在连续，在内可导，且， 就至少存在一点，使，从而可证得：2.3 Lagrange 中值定理的等价表示形式Lagrange中值定理也称微分中值定理，它的另一种表示形式为：Lagrange 中值定理主

8、要表达的是函数在区间上的增量与函数该区间上某点处的导数之间的关系，所以又称有限增量定理；因此在争论函数增量与导数的关系时，都可试用 Lagrange中值定理；所以它在微分中有着较广泛的应用；现举例说明 Lagrange中值定理在以下几个方面的应用；3 判定方程根的存在性从 Lagrange 中值定理的内容来说，它的特别情形就是罗尔定理，所以罗尔定理是 Lagrange 中值定理的一个特例；例 1：证明：如是常数，就方程在内至少有一个实根；证明：考虑函数当时，有当时，有依据罗尔定理，使即方程在内至少有一个实根例 2、设函数在上连续，且时，欢迎下载精品学习资源证明当时，方程在内有且仅有一个实根；证

9、明：由 所以在区间应用拉格朗日中值定理：其中又由于，由知又， 但， 由 零 点 定 理 知 ， 使又，故在上严格增加，所以方程在内有且仅有一个实根；4 争论函数在区间上的性态拉格朗日中值定理从理论上支持了用函数的一阶导数判定函数在某一区间的增减性，使导数的应用得以扩大，也说明中值定理起到了用导数的局部性来争论函数全局性的作用；例 3、设 在 上一阶可微，且 ， 在 单调递减， 求证 在 内也单调递减；证明：由于依据 Lagrange中值定理的条件，有，其中欢迎下载精品学习资源所以可以得出：即，将它代入式得： 故在内也单调递减；例 4、证明是 的严格递增函数，而是的严格递减函数；证明：设，就有令

10、，函数在区间上应用了 拉格朗日中值定理，由此可得 :于是在上严格递增，这样，也是 的严格递增函数；同理可证是 的严格递减函数；设就有:，欢迎下载精品学习资源其中最终等式是对函数在区间上应用了 拉格朗日中值定理由此可得 :于是在 上严格递减，这样，也是的严格递减函数同理可证是 的严格递减函数；5 证明不等式如 函 数满 足Lagrange中 值 定 理 的 条 件 ， 就 可 得，由，可得到的一个取值范畴 , 从而就有一个取值范畴，相应地得到不等式，这就是利用Lagrange 中值定理证明不等式的依据；在使用 Lagrange 中值定理证明不等式时，第一应进行不等式的变形，使不等式的一边成为某个

11、函数是某个区间上的函数增量与自变量增量之比，然后， 对该函数在该区间上使用 Lagrange中值定理；例 5、证明当时，证明：设，就在区间上满意 Lagrange中值定理的条件， 因此， 使得:即而当时，有，所以欢迎下载精品学习资源代入式即得：例 6、证明：如、都可微，且当时，就当时，证明：第一观看结论即分别证明左右两个不等式即可；我们先证左不等式即看起来上述不等式中只有函数，但题设条件中已经给出了导数关系，这仍旧是函数与导数关系的证明，下面就利用Lagrange中值定理来证明；先构造帮助函数假设在连续，在内可导，由 Lagrange 中值定理，在区间内至少存在一点，使又当时，有，同时在内，即

12、亦即从而又， 即，由于欢迎下载精品学习资源即当时，明显上述不等式中的等号成立，从而证明白不等式中的左面部分；同理，可设帮助函数，证明不等式的右面部分；假设在连续，在内可导，由 Lagrange 中值定理，在区间内至少存在一点，使又当时，, 同时在内， 有即亦即从而又，即当时，明显上述不等式中的等号成立，从而证明白不等式中的右部分；综上所述，可得结论；由以上两例可知，要用 Lagrange 中值定理证明不等式分两步，第一分析不欢迎下载精品学习资源等式，即对所给不等式变形，选取适当的函数和区间，再用Lagrange 中值定理，得到一个的等式；然后对等式进行适当的放大和缩小，去掉含有的值；6 证明恒

13、等式 也包括函数为常数函数的证明）利用 Lagrange中值定理的推论：如函数在区间内的导数恒等于0 ，即，就可以去证明一些恒等式；例 7、如，求证分析 在三角函数部分解题中见到过这种题型，应用公式解得，的值可能为证明：设，就即又由于所以即故例 8 、如 函数是上 连续 ， 在内 二阶 可导 ， 就 存在，使得：分析：此题先构造帮助函数，然后再用Lagrange中值定理来证明；证明：作帮助函数于是欢迎下载精品学习资源在上对应用拉格朗日中值定理，故存在，使得：再在上对应用拉格朗日中值定理，使得：7 证明重要定理例 9、用 Lagrange中值定理，证明 LHosPital 法就：设 1）2） 在

14、点 的某一领域内 点本身可以除外），及都存在，且3） 存在、2知， 在闭区间 或 ）上连续，在开区间 或 ）内可导，且， 由罗尔定理知，在区间 或 内至少存在一点 ，使 ）即欢迎下载精品学习资源又在或）上满意 Lagrange中值定理的条件 ,就，介于与之间） ,又由于， 所以由式得：令上式两端取极限 ,且当时,由条件 3）可得出： 因即例10 、用Lagrange中值定理 ,证明微积分基本公式；如是的一个原函数,即，且在区间上连续,那么 ，证明：用分点，将区间分成, 这个小区间 , 每个小区间的长度是. 因是的一个原函数 ,且在上连续, 所以在上连续 ,在内可导,依据Lagrange中值定理

15、在每个小区 间上肯定存在一点,使得：那么,=欢迎下载精品学习资源=从而所以8 求极限例 11、如函数在上可导，且有，是常数，就证明：任意一点，有其中已知，依据两边夹法就，有例 12、求极限解：令函数在上对变量运用 Lagrange 中值定理得：所以欢迎下载精品学习资源9 总结在开篇，我们就说过 Lagrange中值定理是微分学中最主要的定理之一，为了能够更深刻的懂得它的内涵，在开篇就给出了Lagrange中值定理的定义、几何意义及其它的等价表示形式，随后我们就通过大量的实例来争论Lagrange中值定理在微分学中的一些常见的应用；从以上内容中可知，Lagrange中值定理在微分中有着特别广泛的

16、应用；欢迎下载精品学习资源参考文献1 李荣冻. 数学分析习题集 M. 北京:北京训练出版社 , 2003.2 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 M. 北京:高等训练出版社 , 2003.3 刘玉莲,傅沛仁. 数学分析讲义 :39-42.6 毕永青 . 拉格朗日中值定理的简洁证明与应用J. 河南训练学院学报 自然科学版, 2002, 03 :13-14.7 李占波. 应用拉格朗日中值定懂得题方法探讨 J. 渤海高校学报 自然科学版 , 2004, 04 :365-366.欢迎下载精品学习资源致谢时间如梭，短暂而有意义的高校生活即将终止，此时看着毕业设计摆在面前，我感叹万千；它不仅承载了我几年

17、来的学习收成，更让我学会了如何求 学、如何进行科学争论甚至如何做人；回想起我的学习生活，有太多的人给我以帮忙与勉励，教导与沟通；在此我将对我的恩师们，仍有全部的同学们表示我的谢意！第一，诚心感谢我的指导老师王芳老师对我的尽心教导和指导！在跟随王老师的这段时间里，我不仅跟王老师学到了很多专业学问，同时也学习到了她严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生；在此我对王老师的训练和培育表示诚心的感谢！同时，我仍仍要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关怀和帮忙，思想上的勉励和启示，以及为我供应了良好的学习环境；感谢你们！最终，我要感谢我的家人在这些年来赐予我的大力支持，特别要感谢我的好伴侣正是她为我认真检查该文，使得本文更加流畅、干净；欢迎下载