2022年定积分计算方法.docx

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1、精品学习资源定积分的运算方法摘要定积分是积分学中的一个基本问题，运算方法有许多，常用的运算方法有四种：（1）定义法、（ 2）牛顿莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法；以及其他特殊方法和技巧；本论文通过经典例题分析探讨定积分运算方法，并在系统总结中简化运算方法！并留意在解题中用的方法和技巧；关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calc

2、ulation method is a lot of, 1definition method, 2Newton - Leibniz formula, 3integral subsection integral method, 4 substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method. And pay attention to

3、 problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目录目录 11 绪论 21.1 定积分的定义 21.2 定积分的性质 3 2 常用运算方法 42.1 定义法 4欢迎下载精品学习资源2.2 牛顿 -莱布尼茨公式52.3 定积分的分部积分法62.4 定积分的换元积分法73 简化运算方法 错误！未定义书签；3.1 含参变量的积分 错误！未定义书签；3.2 有理积分和可化为有理积分的积分错误！未定义书签；

4、4 总结 8致谢 8参考文献 91 绪论1.1 定积分的定义定积分就是求函数fX 在区间 a,b 中图线下包围的面积，如图1.1 所示；即由y=0,x=a,x=b,y=fX所围成图形的面积1 ；这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形；设函数 fx 在区间 a,b 上连续，将区间a,b 分成 n 个子区间 x 0,x1, x 1,x2, x 2,x3, ,x n-1,xn ，其中 x0=a， xn=b；可知各区间的长度依次是： x 1=x 1-x 0, x2=x 2-x 1, xn=xn -xn-1；在每个子区间x i-1 ,xi 中任取一点i（ 1,2,.,n），作和式设 =max x 1,

5、x2 ,xn （即 是最大的区间长度），就当0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数fx 在区间 a,b 的定积分 2 ，记为欢迎下载精品学习资源其中： a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，区间 a, b 叫做积分区间，函数fx 叫做被积函数， x 叫做积分变量， fxdx 叫做被积表达式，叫做积分号；之所以称其为定积分，是由于它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数；依据上述定义，如函数fx 在区间 a,b 上可积分，就有 n 等分的特殊分法：特殊留意，依据上述表达式有，当a,b 区间恰好为 0,1 区间时，就 0,1 区间积分表达式为：1.2 定积分的性质欢迎下载精品学

6、习资源性质 1b f x ag xdxbf xdxabgx adx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源性质 2bkfx adxk b f axdx, k为常数 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源性质 3 假设 abcbf xdxacf xdxabf xdxc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源性质 4假如在区间 a, b 上，恒有f xg x , 就bf x dxabgxdxa欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源性质 5假如在区间 a, b 上，f x0 , 就bf xdxa0 .ab欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源性质 6设 M 及 m 分别是函数f x在区间 a,

7、b 上的最大值及最小值，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就mba；3b f xdx aM ba , a b 此性质可用于估量积分值的大致范畴欢迎下载精品学习资源性质 7如 fx在a,b上可积，就 fx在a,b上也可积，欢迎下载精品学习资源b且f x dx abf x dxa欢迎下载精品学习资源性质 8（积分第一中值定理）设函数 fx在a,b上连续， gx 在a,b上可积，且在 a,b上不变号，就在 a,b上至少存在一点 ，使得：欢迎下载精品学习资源bf xg x dxaf bg x dxa欢迎下载精品学习资源2 常用运算方法2.1 定义法定积分的定义法运算是运用极限的思想, 简洁的来说

8、就是分割求和取极限；以baIf xdx 为例：任意分割 , 任意选取k 作积分和再取极限；任意分割任意取k 所运算出的 I 值假如全部相同的话，就定积分存在；假如在某种分法或者某种k 的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k 的取法下运算出来的值不相同，那么就说定积分不存在；假如在不知道定积分是否存在的情形下用定义法运算定积分是相当困难的，涉及到怎样才4是任意分割任意取k ；但是假如依据上述三类可积函数判定出被积函数可积，那么就可以欢迎下载精品学习资源依据积分和的极限唯独性可作a, b 的特殊分法，选取特殊的k ，运算出定积分；欢迎下载精品学习资源第一步：分割 .欢迎下载精品学习资源将区间a

9、, b 分成 n 个小区间，一般情形下实行等分的形式；bah，那么分割点n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的坐标为a,0 ，ah,0 ， a2h,0.an1h,0， b,0， k 在xk 1, xk欢迎下载精品学习资源任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k ，即左端点，右端点或者中点；经过分割将曲边梯形分成n 个小曲边梯形；我们近似的看作是n 个小长方形；其次步：求和 .欢迎下载精品学习资源运算 n 个小长方形的面积之和，也就是nfkh ；k 1欢迎下载精品学习资源第三步：取极限 .nn欢迎下载精品学习资源Ilimfkhhlimfk， h0 即 n，也就是说分的越细，欢迎下载精品

10、学习资源h0h0k 1k 1那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n 趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值；欢迎下载精品学习资源例 1、用定义法求定积分1xdx；0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由于f xx 在 0,1 连续欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 f xx 在 0,1 可积欢迎下载精品学习资源令 h101nn欢迎下载精品学习资源将 0,1 等分成 n 个小区间，分点的坐标依次为0h2h.nh1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源取 k 是小区间 k1h, kh 的右端点，即kkh 于是211欢迎

11、下载精品学习资源1xdxlimkhhlimnn11limnn1limn1欢迎下载精品学习资源0所以，nn11xdx022nn2n2n22欢迎下载精品学习资源2.2 牛顿-莱布尼茨公式牛顿 - 莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起；利用此公式，可以依据不欢迎下载精品学习资源定积分的运算运算出定积分；这个公式要求函数f x 在区间a, b 内必需连续；求连续函欢迎下载精品学习资源数 f x 的定积分只需求出f x 的一个原函数，再依据公式运算即可；欢迎下载精品学习资源定理：如函数f x 在区间a, b 连续，且F x 是f x 的原函数，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bf x

12、dxF baF a ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：由于F x 是f x 的原函数，即xa, b 有 F xf x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源积分上限函数xf t dt 也是af x 的原函数欢迎下载精品学习资源x所以fat dtfx欢迎下载精品学习资源x所以f t dtF xCa欢迎下载精品学习资源令 xa 有af t dtF aaC 即 CF a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再令 xb 有bf xdxF baF a欢迎下载精品学习资源我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的；但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这不仅

13、给定积分的运算带来极大的便利，在理论上把微分学与积分学沟通起来，这是数学分析的杰出成果，有着重大的意义；欢迎下载精品学习资源例 1、用牛顿莱布尼茨公式运算定积分1xdx；0欢迎下载精品学习资源1解：原式 = 1 x21202同样的一道题目，用牛顿- 莱布尼茨公式明显比定义法简洁，简洁运算；2.3 定积分的分部积分法欢迎下载精品学习资源公式：函数u x， v x 在a, b 有连续导数就欢迎下载精品学习资源bu xdv xabu xv x abv xdu xa欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明：由于u x， v x 在a, b 有连续导函数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以

14、uxvxu xv xv xu x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源b所以uxv xabu xvx abuxv xav xu xbdxuxv x a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即b u xv xdxu xvx b aab v xu xdxa欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源b或u xdv xabau xvxbv xdu xa欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 1、求定积分2ln xdx；1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2解： 1 ln2xdxx ln x 12xd ln x122ln 20x 12ln 21欢迎下载精品学习资源2.4 定积分的换元积分法应

15、用牛顿 - 莱布尼茨公式求定积分，第一求被积函数的原函数，其次再按公式运算；一般情形下，把这两步截然分开是比较麻烦的，通常在应用换元积分法求原函数的过程中也 相应交换积分的上下限，这样可以简化运算；公式：如函数 f x 在区间a, b 连续，且函数xt 在,有连续导数，当t时，有 at b 就：baf x dxft t dtft dtb证明：af xdxF xbaF bF aft t dtFtFFF bb即af x dxft t dt这个公式有两种用法：b（1）、如运算af xdx1 、选取合适的变换xt ，由 a,b 通过 bt ， at 分别解出积分限与；2 、把 xt 代入baf xdx

16、 得到ft t dt ；3 、运算 .例1、a运算定积分0a2x2 dx ；解：设 xa sin t 有 dxa costdtx0 时， t0 ； xa 时， t2a0a2x2 dxa 202 cos2 tdta 2t2sin 2t22a 204（2）、运算gtdt ，其中 gt ft t F a欢迎下载精品学习资源1 、把g t 凑成 ft t 的形式；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 、检查 xt 是否连续；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3 、依据与通过 x4 、运算 .t 求出左边的积分限a,b ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1例2、运算定积分11dt ；

17、54t欢迎下载精品学习资源5x21欢迎下载精品学习资源解：令54tx ，就t， dtxdx欢迎下载精品学习资源42欢迎下载精品学习资源当 t1 时， x3 ；当 t1 时， x1欢迎下载精品学习资源所以原式 =1 1 11 xdx11欢迎下载精品学习资源3 x22 34 总结定积分运算中最常用的四种方法，本文通过举例分析定积分的几种运算方法，来表达定积分的运算；定积分的运算类型许多，要娴熟地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟识和把握；其实，在实际运算中，遇到的题目不一样，用的运算方法也不一样；定义法一般不常用，运算起来比较困难，所以一般不会用定义法运算；常用的就是其他三种，即牛

18、顿 - 莱布尼茨公式，分部积分法和换元积分法；致谢在老师的尽心指导下我完成了这篇关于定积分的运算方法的论文，感谢老师以以其严谨求实的教案态度、高度的敬业精神和孜孜以求的工作作风对我产生重大影响；在此想对理学院的老师表示真诚的感谢，感谢您们给我这次机会，感谢您们知道与教导；也感谢在学习过程中陪伴我帮忙我的同学们，感谢你们；欢迎下载精品学习资源参考文献1 华东师范高校数学系编 数学分析 M ，北京：高等训练出版社，20022 姚允龙 编高等数学与数学分析方法导引M ， 上海：复旦高校出版社，19823 钱吉林 编数学分析题解精粹M ，武汉：崇文书局， 20034 中国科学技术高校高等数学教研室编高等数学导论 M ，合肥：中国科学技术高校出版社， 1995欢迎下载