2022年浅谈韦达定理的应用.docx

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1、精品学习资源浅谈韦达定理的应用摘 要: 韦达定理是由十六世纪闻名的杰出数学家韦达发觉的，它描述了一元二次方程的根与系数之间的关系；韦达定理的内容具有敏捷性、应用广泛性、条件放缩性等特点，在一元二次方程中和圆锥曲线中都是一个重点；它能培育同学规律思维才能、敏捷解决问题才能等；关键词 ：一元二次方程圆锥曲线、韦达定理引言韦达定理是中学阶段的重要内容，平常的教学过程中，老师们常常会遇到一些需要运用韦达定理的相关题目时有很大的困难，同学懂得起来也会有很多的困惑之处；比方前段时间，在初三的一次辅导中， 同学遇到了一题考查一元二次不等式的题目，题意如下：欢迎下载精品学习资源已 知 不 等 式ax 2bxc

2、0 的 解 集 为 x 2x4 ， 就 不 等 式cx 2bxa0 的 解 集 为欢迎下载精品学习资源 ；此题主要考查同学一元二次不等式与一元二次方程的转化，以及整体思想和转换思想的才能；同学要是按照平常的方程解法去做，解题难度会比较大， 即使才能强的同学也要花上很长时间才能将解题过程写完整；但是， 假如同学能懂得并且应用韦达定理的话，此题的解题思路就会显而易见，并能简化解题过程； 所以， 我认为借助几种典型的题型来讲解和归纳韦达定理的重要性，是很有必要与意义的同时，韦达定理也是解决圆锥曲线的问题重要手段，同时也是简化运算从而快速得到运算结果的有效途径；由于它的敏捷性在解析几何中有广泛应用；特

3、殊对于一些圆锥曲线问题，假如和韦达定理相结合，使用设而不求的方法，可很大程度上的简化运算，同时解题的思路也特殊清楚；如直线与曲线椭圆、双曲线、抛物线相交，求截得的弧长；正文欢迎下载精品学习资源2任给一个一元二次方程 axbxc0 a0 ，设他的两根为x1, x2 ，利用求根公欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源式xbb24ac 2ab得到根和系数的关系： x1x2，a欢迎下载精品学习资源x1x2c 这就是闻名的韦达定理；它描述了方程的根和系数之间的关系，是一元二次a欢迎下载精品学习资源方程解法的补充； 在求圆锥曲线问题时用它更会问题简洁化；接下来，我们来归纳一下韦达定理在一元二次方程中应用

4、和在圆锥曲线中的应用；1 在一元二次方程中的应用1 已知方程的一根，求另一根欢迎下载精品学习资源例 1.已知关于 x 的方程2 x2kx50 的一根为 x1111 ，求另一根2x2 和k 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解析：由韦达定理可知x1x25 ，所以 x225111 ， xxx11222k1 ，所以2欢迎下载精品学习资源k2 ；【注释】此题要是依据平常的做法，先将x1带入方程中，求出 k 值，再用求根公式去求另外一个解，虽然也能得到正确的答案；但是由于方程的根带有根号，运算时难度会加大，而且欢迎下载精品学习资源同学的出错率也会随之增加；但该题由韦达定理求解，明显能削减同学

5、运算量，也能提高正确性；2 对复杂系数的一元二次方程求解欢迎下载精品学习资源例 2. 已知方程 x 22a1 xa a10 的两个解为x1 , x2，恳求出 x1x2 的值？欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 析 ： 根 据 韦 达 定 理 可 得 x1x22a1 ，x1 x2a a1， 所 以 学 生 很 容 易 得 出欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1a, x2a 1，所以 x1x21aa1欢迎下载精品学习资源【注释】：在此题中显现了另一个字母a，部分同学可能比较迷茫，不知道怎么求解；假设同学直接采纳求根公式进行求解，运算量会很大，而且显现了字母a，可能导致部分同学无法简

6、化根的形式而出错；但是，此题采纳韦达定理求解，就能跳过繁琐的运算，直接求出答案；3 已知两根，构造新的一元二次方程欢迎下载精品学习资源例 3. 已知某一元二次方程的两根为 2达式；5,35 ，二次项系数为 2，请确定该方程的表欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解析：设所求方程为2 x 2bxc0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由韦达定理可得 25355b ， 2 25 35 15c ；2欢迎下载精品学习资源解得 b10.c25 ，欢迎下载精品学习资源所以所求一元二次方程为2x210x250 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 4. 已知方程根大 2.x2x20 ，求

7、一个一元二次方程，使它的根分别比第一个方程的两欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解析：设所求方程的两个根为m1 ,m2 ，且 m1x12, m2x22，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由韦达定理可得 x1x21, x1x22 ，就欢迎下载精品学习资源m1m23m1m222欢迎下载精品学习资源所以 m2m1m2 mm1m20 ；欢迎下载精品学习资源【注释】：上面两题题型考查同学如何构造方程，需要同学有较强的懂得和抽象思维才能；但是，中学同学的抽象才能与构造才能很薄弱，很难找到此题的切入点；倘假设同学能采纳韦达定理，其解题思路是很明显的，而且讲解时同学也很简洁懂得，能很大程度上降低了

8、难度；4 利用整体思想求代数式的值欢迎下载精品学习资源例 5. 已 知 关 于 x 的 一 元二 次 方 程 x 2mx2m10 的 两 个 实 数 根x1 , x2 满 足欢迎下载精品学习资源22x1x27 ，求实数 2m1的值；欢迎下载精品学习资源222解析：由于， x1x27欢迎下载精品学习资源2所以 x12x1x2x22x1 x27欢迎下载精品学习资源2即 x1x22x1 x27 ；欢迎下载精品学习资源x1x2m, x1x22m1依据韦达定理可知；欢迎下载精品学习资源所以 m22 2m17 ；解得 m11, m25检验: 当 m=5时，0 ，舍去所以 m1,2 m11；欢迎下载精品学习

9、资源例 6. 假设x , x是方程2x 23x40 的两个实数根，求1x1 xx1x21 的值2欢迎下载精品学习资源1212的值.12x2x1欢迎下载精品学习资源解析： 1由韦达定理可知 x1x23 , x x 22 ，就欢迎下载精品学习资源x11x21x1x29x1x21；2欢迎下载精品学习资源（ 2） x1x222x1x12x1x22 x1x225欢迎下载精品学习资源x2x1x1 x2x1x28欢迎下载精品学习资源【注释】：上面两题型主要考查了同学韦达定理和整体代入的数学思想，这样就能简化代数式，便利运算；要是同学先将方程的根求出来的话，再代入代数式求值的话，这个过程运算会比较烦，特殊是例

10、 5 中海含有另外一个字母，会降低同学学习的爱好；5 在一元二次不等式中的求解欢迎下载精品学习资源例 7. 已知不等式ax2bxc0 的解集为 x 2x4 ，就不等式cx2bxa0 的解集为欢迎下载精品学习资源解析：由韦达定理可得 a0 ，b 6c8a， a，欢迎下载精品学习资源b从而推导得出 c0 ， c3a14， c8欢迎下载精品学习资源2ba231欢迎下载精品学习资源2所以 cxbxax0 可化为x0xx0c c，即48欢迎下载精品学习资源x1 或 x1解为24【注释】：此题由于是一挑选题，利用数学中的特殊值法很简洁得出答案，但要是能完整写出解题过程的话难度较大，一般的同学很难找到头绪；

11、但是，利用韦达定理进行求解的话， 能帮忙同学简洁找到解题的思路和头绪，并且运算过程也能优化；欢迎下载精品学习资源6 在等式证明中的应用欢迎下载精品学习资源例 8. 设实数x, y, z 满意 xyz1111 ，xyz欢迎下载精品学习资源求证： x, y, z中至少有一个数为 1.欢迎下载精品学习资源解析：不妨设 z1 ，就由题意可得 xy1z, xyz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以由韦达定理可知，x, y 为方程 t 21z tz0 的解；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1y1xyxy1z1z10欢迎下载精品学习资源所以 x, y 中至少有一个数为 1，从条件易知 x,

12、 y, z 具有对称性所以 x, y, z 中至少有一个为 1.【注释】：韦达定理除了应用在一元二次方程中，也在很多证明中有很大的表达；比方该题， 虽然有很强的对称性，但是想要证明得到结论并非易事；采纳韦达定理能帮忙解题者理清思 路，明确目标，帮忙解决问题；2、在解析几何中的应用1) 求弦长中的应用欢迎下载精品学习资源例 1： 已知直线 L 的斜率为 2，且过抛物线 y2长；2 px 的焦点，求直线 L 被抛物线所截得弦欢迎下载精品学习资源解：易知直线的方程为y2xp2 ，联立方程组y22 px 和 y2xp 消去 x 得到2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y2pyp 20.5 p 2

13、0 ， 直线与抛物线有两个不同的交点；由韦达定理可知：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y1y2p, y1y2p 2 ，故：弦长 d5 p .2欢迎下载精品学习资源【注释】：韦达定理除了应用在一元二次方程中，也可以应用在解析几何中；让复杂的问题简洁化，使人很简洁解出答案，；2) 判定曲线交点的个数欢迎下载精品学习资源例 2： 曲线 yax2 a0 与曲线 y23x 24 y 交点的个数有多少个？欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 ： 分 析 ： 联 立 方 程 组yax2 a0与 y 23x24 y， 消 去 x得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y21y30 a0ya4a

14、x2欢迎下载精品学习资源21120 a0a41y1y2a0a4y1 y23欢迎下载精品学习资源所以，方程有两个不等的正实根；由数有 4 个；yax 2 得出，有四个不等的 x 解，故两条曲线的交点个欢迎下载精品学习资源【注释】：在这道题中明显我们把解析几何问题通过转化成了一元二次方程求解问题，简化明白题过程，降低明白题难度，使同学更易接受；欢迎下载精品学习资源3 求曲线方程例 3： 抛物线x 2y与过点 M的直线 L 相交于 A、B 两点， O为坐标原点，假设直线 OA2欢迎下载精品学习资源与 OB的斜率之和为 1，求直线 L 的方程；x22欢迎下载精品学习资源解：设 Ax1 , y1B x2

15、 , y2，直线 L 的方程为 y=kx-1 和y消去 y 得 x 22 kx20. 由韦欢迎下载精品学习资源达定理得 x1x22k, x1x22又 1y1y2kx11kx212kx1x2kx1x2x1x2x1 x2直线 L 的 方程 y=x-1.【注释】：韦达定理的应用明显降低了难度；结论以上就是韦达定理在一元二次方程和圆锥曲线中的应用；从上述各例中我们可以看出：韦达定理的应用广泛，且相当敏捷；要很好的把握它，需仔细分析题目；可能一些题目一眼看不出来，但对其进行适当变形，就可以转化成一元二次方程，从而用韦达定理来解决；简化了问题激发同学的学习积极性；参考文献：1吴志翔 . 中学数学教学参考书证明不等式M .1982 年 02 月第 1 版.2唐耀庭 . 一元二次方程的特殊解法J . 中同学数理化中学版，2007 年 Z1 期.3杨茜 ，郑建平 . 谈韦达定理的应用 J . 成都训练学院学报， 2002 年 01 期.4 J. 期望月报， 2021 年 07 期5叶钟国；利用韦达定理求弦长J . 襄樊职业技术学院学报，2007 年 11 期6 M.2 版. 中心民族高校出版社，2021.欢迎下载