2022年清华大学杨顶辉数值分析第6次作业.docx

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1、精品学习资源1112x1122 x12142x139.令T x*nT 2 xn1, x0,1，试证T x*n是在0,1上带权 x1xx2的正交多项式，并求T x, T x, T x, T x*0123.证明：11 xT xT xdx*1nmT 2 xn1T 2 xm1dx0令 t10xx22x1，就 xT xT xdx*nm01211T tT tdt1t12 t1 2nm21111T tT tdtt2nm由切比雪夫多项式 T x关于权函数1n的正交性，可得1x20mn11 xT xT xdx*nm112T t T t dt=nm12mn001tmn0所以 T x*n是在0,1上带权 x1x的正

2、交多项式x2T x*0T 2x0T x*1T 2 x1T x*2T 2x218x2T x*3T 2 x38x32x132x348x218x114.已知试验数据如下：xi1925313844yi用最小二乘法求形如 yabx2 的体会公式，并求均方误差解：法方程为欢迎下载精品学习资源1,11,x2a x2 ,1 x2, x2 b1, yx2, y欢迎下载精品学习资源即55327a271.453277277699b369321.5解得a0.972579b0.050035欢迎下载精品学习资源拟合公式为 y20.9725790.050035 x欢迎下载精品学习资源均方误差42ii2 yabx20.015

3、023i 0欢迎下载精品学习资源21.给出xln xf xlni 的函数表如下：欢迎下载精品学习资源用拉格朗日插值求 ln 0.54 的近似值并估量误差运算取 n1 及n2 欢迎下载精品学习资源解： n1 时，取 x00.5, x10.6欢迎下载精品学习资源由拉格朗日插值定理有欢迎下载精品学习资源1x0.6x0.5欢迎下载精品学习资源L1 xf xj l j xj 00.6931470.5108260.50.60.60.5欢迎下载精品学习资源1.82321 0x1.604752欢迎下载精品学习资源所以 ln 0.54L10.540.620219欢迎下载精品学习资源误差为ln 0.540.620

4、219=0.004032欢迎下载精品学习资源n2时，取 x00.4, x10.5, x20.6欢迎下载精品学习资源由拉格朗日插值定理有欢迎下载精品学习资源L2 x2f xj l j xj 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0.916291 x0.5 x0.60.693147 x0.4 x0.60.510826 x0.4 x0.5欢迎下载精品学习资源0.40.50.40.60.50.40.50.60.60.40.60.4欢迎下载精品学习资源2.041150 x24.068475 x2.217097欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 ln 0.54L2 0.540.615320欢

5、迎下载精品学习资源误差为ln 0.54 0.6153208.66299410 4欢迎下载精品学习资源23.建立三次样条插值函数s x ，并求f 0的近似值s0 ，这里已给函欢迎下载精品学习资源数表；xif xi 欢迎下载精品学习资源边界条件s0.3s 0.30欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由剖分节点可知hhh0.2,1 ,1欢迎下载精品学习资源012122122d16 f x0 , x1, x26.4215, d26 f x1, x2, x3 6.4215得到方程组欢迎下载精品学习资源212M 112M 226.42156.4215欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 M

6、 1M 22.5686欢迎下载精品学习资源留意到 M 0M 30欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得到三次样条插值函数s x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2.1405x31.92645x21.064215x0.000632,x 0.3, 0.1欢迎下载精品学习资源s x1.2843x2x0.002773,x 0.1,0.1欢迎下载精品学习资源2.1405x31.92645x20.935785x0.000632,x0.1,0.3欢迎下载精品学习资源29. 确定以下求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所欢迎下载精品学习资源构造出的求积公式所具有的代数精度：欢迎下载精品学习

7、资源1hf xdxAf hhBf 0Cf h欢迎下载精品学习资源解：取 f x1, x, x2 ，有h2 h1dxABChh0 xdxAhChh欢迎下载精品学习资源2 h 33hx2dxAh2hCh 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解以上方程，得 AC1 h, B4 h欢迎下载精品学习资源33h欢迎下载精品学习资源求积公式为f x dx1 hf h4 hf 01 hfh欢迎下载精品学习资源h333欢迎下载精品学习资源取 f x取 f xx3 ，x4 ，hx3dxh0, Af hBf 0Cf h0欢迎下载精品学习资源2 h 5 , 1 h h4B01 hh 42 h 55333hx4d

8、xhh欢迎下载精品学习资源所以 x4dxAf hhBf 0Cf h欢迎下载精品学习资源因此构造的求积公式代数精度为330. 证明求积公式欢迎下载精品学习资源1f x dx1 5 f 3 8 f05 f 3 欢迎下载精品学习资源1955的代数精度为 5证明：取 f xxi欢迎下载精品学习资源1111i 11i 10, i为奇数欢迎下载精品学习资源就对 任意的 i0 ，有f xdxxi dxxi +1|1 =欢迎下载精品学习资源-111i1i12， i为偶数i1欢迎下载精品学习资源i为奇数时， f x为奇函数=5 f =-5f 15 f 38 f 05 f 313 5 f 313 5 f 3 =0

9、955955955113310i0时， 5 f 8 f 05 f =585=2x dx9559113313321欢迎下载精品学习资源i2时， 5 f 8 f 05 f =55=x2 dx欢迎下载精品学习资源95595531113319924欢迎下载精品学习资源i4时， 5f 8 f 05 f =55=x dx欢迎下载精品学习资源955925255111331272766欢迎下载精品学习资源i6时， 5 f 8 f 05 f =55=x dx欢迎下载精品学习资源9559125125251欢迎下载精品学习资源从而有E xi 0,0i5, Ex6 2680725175欢迎下载精品学习资源所以求积公式

10、的代数精度为 5欢迎下载精品学习资源33.求1x , x , A , A ,使公式1 f xA f x A f x 为高斯型求积公式欢迎下载精品学习资源121211220x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：构造区间 0,1 上关于权函数1x的二次正交多项式P2 xx2axb欢迎下载精品学习资源由 P2 x 与1和x 正交，可得00欢迎下载精品学习资源10P2 xdx0x1 x20xaxbdx22 a2b53欢迎下载精品学习资源00欢迎下载精品学习资源0 1 xP x dx1 x x2axbdx2 2 a2 b欢迎下载精品学习资源x2x753欢迎下载精品学习资源00联立以上方程，可得 a6 , b3欢迎下载精品学习资源所以 P2 xx26 x3735欢迎下载精品学习资源735求 P2 x 的零点即为高斯求积公式的节点欢迎下载精品学习资源7711 xl xdx00111x1x11x0l xdx001x x1xl xdx1x1l xdx1x2 x2x1 x1dx11536dx1000x x21356x1 326 / 50.1155871100x1 326 / 50.741555747112A11.304290310A20.6957096903欢迎下载