全等三角形问题中常见的几种辅助线的作法.doc

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1、. .全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法或“补短法： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成3

2、0-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折法构造全等三角形2) 遇到三角形的

3、中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。3可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠5) 截长法与补短法，具体

4、做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线线段造全等例1、“希望杯试题，如图ABC中，AB=5，AC=3，那么中线AD的取值X围是_.例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.例3、如图，ABC中，

5、BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.应用：1、09崇文二模以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系1如图当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；2将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1说明BE=CF的理由；2如果AB=，AC=，求AE、BE的长.应用：

6、1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图图图2如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.例2D为等腰斜边AB

7、的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 假设AB=2，求四边形DECF的面积。例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，那么的周长为；应用：1、四边形中，绕点旋转，它的两边分别交或它们的延长线于当绕点旋转到时如图1，易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明图1图2图32、西城09年一模:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点

8、落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3I如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时； II如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜测I问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明； III 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上

9、时，假设AN=，那么Q=用、L表示 参考答案与提示一、倍长中线线段造全等例1、“希望杯试题，如图ABC中，AB=5，AC=3，那么中线AD的取值X围是_.解：延长AD至E使AE2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故AD的取值X围是1AD4例2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比拟BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一法)延长FD至G使FG2EF，连BG，EG,显然BGFC，在EFG中，注意到DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG中，由三角形性质知EGBG+BE 故：EFBE+FC例3、如图，ABC中，BD

10、=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.解：延长AE至G使AG2AE，连BG，DG,显然DGAC，GDC=ACD由于DC=AC，故ADC=DAC在ADB与ADG中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD=ADC+GDCADG故ADBADG，故有BAD=DAG，即AD平分BAE应用：1、09崇文二模以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系1如图当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；2将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，1问中得到的

11、两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC解：截长法在AB上取中点F，连FDADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DFAB，故AFD90ADFADCSASACDAFD90即：CDAC2、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC解：截长法在AB上取点F，使AFAD，连FEADEAFESASADEAFE，ADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBEAAS故有BFBC从而;ABAD+BC3、如图，在ABC内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角

12、平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：补短法, 计算数值法延长AB至D，使BDBP，连DP在等腰BPD中，可得BDP40从而BDP40ACPADPACPASA故ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 解：补短法延长BA至F，使BFBC，连FDBDFBDCSAS故DFBDCB ，FDDC又ADCD故在等腰BFD中DFBDAF故有BAD+BCD1805、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC解：补短法延长AC至F，使AFAB，连PDABPAFPSAS故BP

13、PF由三角形性质知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,那么BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

14、OE=OD，DC+AE =AC证明L(角平分线在三种添辅助线,计算数值法)B=60度,那么BAC+BCA=120度;AD,CE均为角平分线,那么OAC+OCA=60度=AOE=COD;AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;OAE=OAF.那么OAEOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;AOF=AOE=60度.那么COF=AOC-AOF=60度=COD;又CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. 1说

15、明BE=CF的理由；2如果AB=，AC=，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DCDG垂直平分BC，故BDDC由于AD平分BAC， DEAB于E，DFAC于F，故有EDDF故RTDBERTDFCHL故有BECF。AB+AC2AEAEa+b/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：1如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(第23题图)OPAMNEBC

16、DFACEFBD图图图2如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由。五、旋转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG那么GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(

17、1)当绕点D转动时，求证DE=DF。(2)假设AB=2，求四边形DECF的面积。解：(计算数值法)1连接DC，D为等腰斜边AB的中点，故有CDAB，CDDACD平分BCA90，ECDDCA45由于DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA故有CDEADFASA故有DE=DF2SABC=2, S四DECF= SACD=1例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，那么的周长为；解：(图形补全法, “截长法或“补短法, 计算数值法) AC的延长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点E，使CE

18、BMABC为等边三角形，BCD为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN和DEN中， DM=DE MDN=EDN=60 DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA和DEF中， DM=DE MDA=60-MDB=60-CDE=EDF (CDE=BDM) DAM=DFE=30DMNDEN (AAS)，MA=FE的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：1、

19、四边形中，绕点旋转，它的两边分别交或它们的延长线于当绕点旋转到时如图1，易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明图1图2图32、西城09年一模:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3I如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时； II如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜测I问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证明； III 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，假设AN=，那么Q=用、L表示. .word.