2022年湖南高考理科数学试题和答案word版.docx

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1、精品学习资源2021 年一般高等等学校招生全国统一考试湖南卷 数学（理工农医类）一、挑选题：本大题共8 小题，每道题 5 分，共 40 分，在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的；欢迎下载精品学习资源11 如 log a 0，b 1，就D欢迎下载精品学习资源22A a 1,b 0B a 1,b 0C. 0 a 1, b 0D. 0 a 1,b 0 2对于非 0 向时 a,b, “ a/b ”的确良（ A）A充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 将函数 y=sinx的图象向左平移 0 2 的单位后，得到函数y=sin x 的6图象，就等于（ D）

2、5711A BC.D.6666x欢迎下载精品学习资源4. 如图 1，当参数2 时，连续函数 y1就 B x0x的图像分别对应曲线C1 和 C2 ,欢迎下载精品学习资源A 01B 01C120D2105. 从 10 名高校生毕业生中选3 个人担任村长助理，就甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C22A 85B 56C 49D 28欢迎下载精品学习资源6. 已知 D 是由不等式组x2yx3y0，所确定的平面区域，就圆0x y4 在区域 D 内欢迎下载精品学习资源的弧长为 B33ABCD4242欢迎下载精品学习资源7. 正方体ABCD A1B1 C1D1 的棱上到异面直线AB ，

3、 C C1 的距离相等的点的个数为欢迎下载精品学习资源（C）A 2B 3C.4D.5欢迎下载精品学习资源8. 设函数y f x 在（， +）内有定义；对于给定的正数K ，定义函数欢迎下载精品学习资源fk xf x, f xK欢迎下载精品学习资源1K , f xK欢迎下载精品学习资源取函数f x = 2xe；如对任意的x,，恒有fk x =f x ，就欢迎下载精品学习资源A K 的最大值为2B. K的最小值为2C K 的最大值为1D. K的最小值为1【D 】二、填空题：本大题共7 小题，每道题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9. 某班共 30 人，其中 15 人宠爱篮

4、球运动，10 人宠爱兵乓球运动， 8 人对这两项运动都不宠爱，就宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为_12 欢迎下载精品学习资源10在 1x31x 213x 的绽开式中，x 的系数为 7用数字作答 欢迎下载精品学习资源11、如 x 0, 就 2tanx+tan-x 的最小值为22 .2212、已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 o ，就双曲线 C 的离心率为6213、一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4： 1，用分层抽样方法从总体中抽取一个欢迎下载精品学习资源容量为 10 的样本，已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，就总体中的个数数位

5、50 ；欢迎下载精品学习资源14、在半径为 13 的球面上有 A , B, C 三点， AB=6 ，BC=8 ， CA=10 ，就（1） 球心到平面 ABC 的距离为 12 ；（2） 过， B 两点的大圆面为平面ABC 所成二面角为（锐角）的正切值为315、将正 ABC 分割成 n 2 （ n 2， nN ）个全等的小正三角形（图2，图 3 分别给出了n=2,3 的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC 的三遍及平行于某边的任始终线上的数（当数的个数不少于3 时）都分别一次成等差数列，如顶点A ,B ,C 处的欢迎下载精品学习资源三个数互不相同且和为1, 记全部顶点上的数之和为f

6、n ，就有 f2=2 ， f3= 103， ，欢迎下载精品学习资源fn=1n+1n+26欢迎下载精品学习资源三解答题：本大题共6 小题，共 75 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；16.（本小题满分 12 分）欢迎下载精品学习资源在 ABC ，已知2 AB AC3 ABAC3 BC 2 ，求角 A ， B ，C 的大小；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设BCa, ACb, ABc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 2 AB AC3 ABAC 得 2bc cosA3bc ，所以cos A32欢迎下载精品学习资源又 A0, 因此 A6欢迎下载精品学习资源由 3 ABA

7、C3BC 2 得 bc3a2 ，于是sin Csin B3 sin2 A34欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 sin Csin 5C3 ，13 sin C3，因此欢迎下载精品学习资源sin C64cos C224欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2sin CcosC23sin 2 C3,sin 2C3cos2 C0 ，既 sin2 C03欢迎下载精品学习资源由 A=知 0C65，所以6， 2C34，从而33欢迎下载精品学习资源2C0, 或 2C33, ，既 C, 或 C62, 故3欢迎下载精品学习资源A, B2,C, 或 A, B, C2；欢迎下载精品学习资源63617.（本

8、小题满分 12 分）663欢迎下载精品学习资源为拉动经济增长，某市打算新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含工程的个数分别占总数的. 1 、 1 、 1 ，现在 3 名工人独立地236从中任选一个工程参加建设；（I）求他们挑选的工程所属类别互不相同的概率；（II ）记为 3 人中挑选的工程属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求欢迎下载精品学习资源的分布列及数学期望；解: 记第 1 名工人挑选的工程属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为大事欢迎下载精品学习资源A1 , B1 , C1 ， i=1 ， 2 ， 3. 由题意知A1 A2

9、A3 相互独立，B1 B2B3 相互独立，C1 C2C3 相互独欢迎下载精品学习资源立， A1, B1 , C1 （ i， j， k=1 ， 2， 3，且 i， j， k 互不相同）相互独立，且P（ A1 ） =， P（ B ）= 1 ， P（ C ） = 11316（1） 他们挑选的工程所属类别互不相同的概率1111欢迎下载精品学习资源P=3！ P（ A1B2 C3 ） =6P（A1） P（ B2 ） P（ C3 ） =62=366欢迎下载精品学习资源2 解法 1设 3 名工人中挑选的工程属于民生工程的人数为，由己已知，-B （ 3 ，1 ），且=3；3欢迎下载精品学习资源3所以 P（ =0

10、） =P（ =3） = C1 1 3 = 1 ，327欢迎下载精品学习资源P（ =1 ）=P（ =2 ）= C31 3 2 = 22339欢迎下载精品学习资源P（ =2） =P（ =1）=11C3 3 2 2 = 439欢迎下载精品学习资源3P（ =3） =P（ =0）= C 0故 的分布是 2 3 = 8327欢迎下载精品学习资源01231248279927P欢迎下载精品学习资源的数学期望 E=012+1+227948+3=2927欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解法 2 第 i 名工人挑选的工程属于基础工程或产业工程分别为大事D1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源i=1,

11、2,3 ，由此已知，D1 D，D1 相互独立，且112欢迎下载精品学习资源P（ D1 ）-（ A1 ， C1 ） =P（A1） +P（ C1 ） =+=263欢迎下载精品学习资源所以-2K2 K1 3 K欢迎下载精品学习资源B 3, ,既 P3K C3 33， k0,1,2,3.欢迎下载精品学习资源故 的分布列是0123p124827992718.（本小题满分 12 分）如图 4，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB2AAD 是 A1B1 的中点，点 E 在 A1C1 上，且 DEAE ；（I）证明平面 ADE平面 ACC1 A1（II ）求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值；欢

12、迎下载精品学习资源解 （ I） 如下列图，由正三棱柱ABCA1B1C1 的性质知AA1平面 A1B1C1欢迎下载精品学习资源DEAA1 .所以DE平面ACC又 DE平面 A 1 B 1 C 1 ，所以而 DEAE ； AA 1AE=A1 A 1 ，又 DE平面 ADE ，故平面ADE平面 ACC 1 A 1 ；（ 2） 解法 1如下列图，设F 使 AB的中点，连接DF 、DC 、CF，由正三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 的性质及 D 是 A 1 B 的中点知 A 1 BC1 D， A 1 BDF又 C 1 DDF=D ，所以 A 1 B平面 C 1 DF， 而 AB A 1 B ，所以A

13、B平面 C 1 DF ，又 AB平面 ABC ，故欢迎下载精品学习资源平面 ABC 1平面 C 1 DF ；过点 D 做 DH 垂直 C 1 F 于点 H，就 DH平面 ABC 1；连接 AH ，就HAD 是 AD 和平面 ABC 1所成的角；2由已知 AB=2 AA 1 ，不妨设 AA 1 =2 ，就 AB=2 ， DF=2 ， DC 1 =3 ，欢迎下载精品学习资源C 1 F=5 ，AD=AA1AD 2=3 ，DH=DF DC1=C1F23 530 ，5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 sinHAD=DH =AD10 ；5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即直线 AD 和

14、平面 ABC1 所成角的正弦值为10 ；5欢迎下载精品学习资源解法 2如下列图，设 O 使 AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA 1 =2 ，就 AB=2 ，相关各点的坐标分别是欢迎下载精品学习资源A0,-1,0 ， B（ 3 ， 0， 0）， C 1（ 0， 1， 2 ）， D（3 ， -21 ， 2 ）；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源易知 AB =3 ， 1， 0，AC1=0， 2， 2 ， AD =3 ， - 1 ， 2 ）22欢迎下载精品学习资源设平面 ABC 1 的法向量为 n=（x ， y， z）,就有欢迎下载精品学习资源nAB nAC13xy0,2

15、 y2z0,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 x=-3y， z=-32 y ，欢迎下载精品学习资源故可取 n=1 ， -3 ， 6 ；欢迎下载精品学习资源所以， cos n AD =nAD=n AD2 3=10310 ；5欢迎下载精品学习资源由此即知，直线 AD 和平面 ABC1 所成角的正弦值为10 ；5欢迎下载精品学习资源19.（本小题满分 13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m M ，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经猜测，一个桥墩的工程费用为256 万元，距离为x M 的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2x x 万元；假设桥墩等距离分布，全部桥墩都视

16、为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元；（）试写出 y 关于 x的函数关系式；（）当 m =640M 时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？欢迎下载精品学习资源解 （）设需要新建 n 个桥墩， n1xm，即 n= m1x欢迎下载精品学习资源所以y=fx=256n+n+12+x x=256m -1+m 2x x欢迎下载精品学习资源256 xmx xxx2m256.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2（） 由（）知，f x256m1 mx2m x 2512.欢迎下载精品学习资源33x22x2欢迎下载精品学习资源令 f x0 ，得3x 2512 ，所以 x =64欢迎下载精品学习资源

17、欢迎下载精品学习资源当 0 x 64 时 f x 0.f x 在区间（ 64， 640）内为增函数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 f x 在 x =64 处取得最小值，此时，nm1 x6406419.欢迎下载精品学习资源故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小；20（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 P 到点 F（ 3， 0）的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的 3倍之和记为 d，当 P 点运动时， d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和（）求点 P 的轨迹 C；（）设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M ， N 两点，求线段MN 长度的最大值

18、；欢迎下载精品学习资源解（）设点 P 的坐标为（ x， y），就 d24 x32y3x-2 欢迎下载精品学习资源由题设当 x2 时，由得 x32y261 x,2欢迎下载精品学习资源x2y2化简得1.欢迎下载精品学习资源3627当 x2 时 由得23x2y3x,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源化简得y 212x欢迎下载精品学习资源x2y2欢迎下载精品学习资源故点 P 的轨迹 C 是椭圆C1 :1 在直线 x=2 的右3627欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源侧部分与抛物线C : y 212x 在直线 x=2的左侧部分欢迎下载精品学习资源2（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线

19、，参见图1（）如图2 所示，易知直线x=2 与 C1 ， C2 的交点都是A （ 2， 26 ），欢迎下载精品学习资源B（ 2，2 6 ），直线 AF ， BF 的斜率分别为k AF =2 6 ，kBF= 26 .欢迎下载精品学习资源当点 P 在 C1 上时，由知欢迎下载精品学习资源PF61 x .2欢迎下载精品学习资源当点 P 在 C2 上时，由知PF3x 如直线 l 的斜率 k 存在，就直线 l 的方程为 yk x3欢迎下载精品学习资源（ i）当 kkAF，或 k kBF，即 k -26 时，直线 I 与轨迹C 的两个交点M （x1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2y1 ），

20、N （ x， y ）都在 C 1 上，此时由知欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2MF = 6 -1x NF = 6 -1 x欢迎下载精品学习资源1222欢迎下载精品学习资源从而 MN= MF+ NF= （ 6 -1x ） + （ 6 -1x ） =12 - 1 x + x 欢迎下载精品学习资源1222212欢迎下载精品学习资源yk x由x2y23627322得 34k x124k2 x36k 21080就 x1 ，y1 是这个方程的两根，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2所以 x1 + x =24k 234k 2* MN=12 -1（ x1 +2x ） =12 -12k 223

21、4k 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于当 k2 6, 或k26时, k224,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12k212100欢迎下载精品学习资源MN12212.434 k111k 2欢迎下载精品学习资源当且仅当 k2 6 时，等号成立；欢迎下载精品学习资源（ 2 ） 当kA EkkA, N 26k2时6， 直 线 L与 轨 迹 C的 两 个 交 点欢迎下载精品学习资源M x1, y1, N x2 , y2 分别在C1, C2 上，不妨设点M 在 C1 上，点C2 上，就知，欢迎下载精品学习资源MF61 x , NF3x欢迎下载精品学习资源2设直线 AF 与椭圆12C1

22、 的另一交点为E x0, y0 , 就x0x1, x22.欢迎下载精品学习资源MF61 x61 xEF , NF3x32AF10222所以 MNMFNFEFAFAE ；而点 A ， E 都在 C1 上，且100100欢迎下载精品学习资源k AE26, 有（ 1）知 AE, 所以 MN欢迎下载精品学习资源如直线 的斜率不存在，就x1 =1111x2 =3，此时欢迎下载精品学习资源12MN121 xx 9100211综上所述，线段 MN 长度的最大值为1001121.（本小题满分 13 分）欢迎下载精品学习资源对于数列 un如存在常数 M 0,对任意的 nN ，恒有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品

23、学习资源un 1ununun 1.u2u1M欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就称数列 un为 B- 数列欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1） 首项为 1，公比为q q1) 的等比数列是否为B- 数列？请说明理由；欢迎下载精品学习资源请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判定所给命题的真假，并证明你的结论；欢迎下载精品学习资源（ 2） 设 Sn 是数列xn的前 n 项和，给出以下两组论断；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 组：数列xn 是 B- 数列数列xn不是 B-数列欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源B 组：数列Sn是 B-数列数

24、列Sn 不是 B- 数列欢迎下载精品学习资源请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题；判定所给命题的真假，并证明你的结论；欢迎下载精品学习资源（3） 如数列an , bn都是 B数列，证明：数列anbn也是 B数列；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解（ 1）设满意题设的等比数列为a,就 aqn1，于是欢迎下载精品学习资源anan 1qn 1qn 2nnn 2qq1 , n2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此an 1 - an + an- an1 + + a2 -a1 = q21 1qq.n 1q.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 q1,

25、 所以 12qq.nn 11qq1q1, 即1q欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源an 1ananan1.q1a2a11q欢迎下载精品学习资源故首项为 1，公比为 q q1的等比数列是 B-数列；欢迎下载精品学习资源（2）命题 1：如数列xn是 B- 数列，就数列Sn是 B- 数列欢迎下载精品学习资源次命题为假命题；欢迎下载精品学习资源事实上，设 xn1, nN ，易知数列xn是 B- 数列，但 Snn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Sn 1SnSnSn 1.S2S1n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 n 的任意性知，数列Sn 是 B- 数列此命题为；欢迎下载精品学习资

26、源欢迎下载精品学习资源命题 2：如数列Sn是 B-数列，就数列xn是 B-数列欢迎下载精品学习资源此命题为真命题欢迎下载精品学习资源事实上，由于数列Sn是 B- 数列，所以存在正数M ，对任意的 n1, 有欢迎下载精品学习资源Sn 1SnSnSn 1.S2S1M欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 xn 1xn.x2M ；于是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xn 1xnxnxn 1.x2x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xn 12 xn2 xn 1.2 x22 x12Mx1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以数列xn是 B- 数列；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精

27、品学习资源（III）如数列anbn 是 B数列，就存在正数M 1.M 2 ，对任意的nN , 有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源an 1ananan 1.a2a1M 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bn 1bnbnan 1.b2b1M 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源留意到 ananan 1an 1an 2.a2a1a1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源anan 1an 1an 2.a2a1a1M1a1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源同理： bnM 2b1欢迎下载精品学习资源记 K 2M 2b2 ，就有 K 2M 2b2欢迎下载精品学习资源an 1bn 1anbnan 1bn 1anbn 1anbn 1anbn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bn 1an 1 ananbn 1bnK1 an 1ank1 bn 1bn欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此K 1 bn 1bnbnbn 1. a2a1 k2M 1k1M 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源+ K 1 bn 1bnbnbn 1. a2a1 k2 M 1k1M 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故数列anbn是 B数列欢迎下载