2022年对数与对数函数知识点与题型归纳.docx

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1、高考明方向1. 懂得对数的概念及其运算性质 ,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 ；明白对数在简化运算中的作用2. 懂得对数函数的概念, 懂得对数函数的单调性, 把握对数函数图象通过的特别点3. 知道对数函数是一类重要的函数模型4. 明白指数函数 y ax 与对数函数 y logax 互为反函数a0,且 a 1备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,本节内容在高考中属于必考内容,且占有重要的重量,主要以选择题的形式命题,也有填空题和解答题主要考查对数运算、换底公式等及对数函数的图象和性质对数函数与 幂、指数函数结合考查,利用单调性比较大小、解不等式 是高考的热点 .一

2、、学问梳理 名师一号 P27留意：学问点一对数及对数的运算性质1. 对数的概念一般地,对于指数式 ab N,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 logaN,即 blogaNa0,且 a1其中,数a 叫做对数的底数, N 叫做真数,读作“ b 等于以 a 为底 N 的对数”留意： 补充 关注定义 - 指对互化的依据2. 对数的性质与运算法就1对数的运算法就假如 a0 且 a 1, M0,N0,那么 logaMN logaM logaN；N logaM logaM logaN； logaMnnlogaMnR ；mnn logaM mlogaM .(2) 对数的性质 alogaNN； log

3、aaNNa0,且 a 1(3) 对数的重要公式logaN换底公式： logbN logaba, b 均大于零且不等于 1；1logba logab,推广 logablogbclogcdlogad.留意： 补充 特别结论 : log a 10,loga a1学问点二对数函数的图象与性质a10a0, a 1, N0a练习: 补充 已知 35bk, 11ab2 求 k答案:k15例 3. 名师一号 P28高频考点 例 12log2x,x0,1已知函数 fx x就 ff1 f log3的值31,x0,2是2A5B3C 1D.7由于 f1log210,所以 ff1f02.log 11132由于 log3

4、204x 3 13 4x 30,即4x1.3故原函数的定义域是 x| 0x 1 1 164x0x1 x 0 x2即 1x2,且 x0.故原函数的定义域为 x|1x0,或 0x0 恒成立, a2 4a04a0,即 a 的范畴为 4,0例 2. 名师一号 P27对点自测 52022 重庆卷 函数 fxlog2xlog22x的最小值为解析依据对数运算性质, fx log2xlog22x2 1 log2x2log22x log2x1 log2x log2x2 log2x 1log2x2214,当 x212 时,函数取得最小值 4.留意：换元后“新元”的取值范畴 练习：1、求以下函数的值域（ 1） y

5、log1x2 2x 45答案 1, 22（ 2） fx log2x3log x12212 x2解析令 t log2x, 2x21t 1.函数化为 yt26t2t327 1 t1.1当 t 1,即 x 2时, ymax9.当 t1,即 x2 时, ymin 3,函数的值域为 3,9.y ylog2x2axa2、已知集合R求实数 a 的取值范畴分析当且仅当 fxx2 axa 的值能够取遍一切正实数时, ylog2x2axa的值域才为 R.而当0 恒成立,仅仅说明函数定义域为 R,而fx不肯定能取遍一切正实数 一个不漏 要使 fx能取遍一切正实数, 作为二次函数, fx图像应与 x 轴有交点 但此时

6、定义域不再为 R正解 要使函数 y log2x2ax a的值域为 R,应使 fx x2axa 能取遍一切正数,要使 fx x2 axa 能取遍一切正实数,应有 a2 4a0, a0 或 a 4,所求 a 的取值范畴为 , 4 0, 例 3.（1）名师一号 P27对点自测 4已知 a0 且 a 1,就函数 y logax2 0152 的图象恒过定点解析 令 x 2 015 1,即 x 2 014 时,y2,故其图象恒过定点 2 014,2练习:无论 a 取何正数 a1, 函数 y【答案】 4, 3留意：logax33 恒过定点对数函数 yloga x a0, 且a1 图象都经过定点 1, 0例

7、3.（2） 补充如右下图是对数函数 ylogax, y logbx, y logcx,ylogdx 的图象,就 a、b、c、d与 1 的大小关系是A ab1cd Bba1dcC 1abcdDab1dc【答案】 B在上图中画出直线 y1,分别与 、 、交于 Aa,1、Bb,1、Cc,1、Dd,1,由图可知 cd1a0, 且 a 1的图象如下列图,就以下函数图象正确选项 ABCD答案： B.例 4. 名师一号 P28高频考点 例 3 已知函数 fxlog4ax2 2x 3 1如 f1 1,求 fx的单调区间；2是否存在实数 a,使 fx的最小值为 0？如存在,求出 a 的值；如不存在,说明理由解析

8、 :1 f1 1,log4a5 1,因此 a5 4, a 1.这时 fxlog4x2 2x3 由 x22x 30 得 1x0,因此应有解得 a13a 1a 1,2.故存在实数 a1fx的最小值为 0.2使练习：温故知新 P32第 5 题三、比较大小例 1. 名师一号 P29特色专题 典例,就A abcBbacCacbDcab【规范解答】方法 1：在同一坐标系中分别作出函数ylog2x, y log3x,ylog4x 的图象,如下列图由图象知： log 3.4log 1023 3 log43.6.方法 2： log3 3 log3 3 1,且 3 3.4,1010log 103log333.4l

9、og23.4.log4 3.61,log43.6log 1033log43.6.由于 y5x 为增函数,故 acb.留意：名师一号 P28 问题探究问题 3比较幂、对数大小有两种常用方法：数形结合；找中间量结合函数单调性练习:yx1、如 0xy1,就A 3 3B logx3logy3C log4xlog4yD.1 x1 y4 4解析： 0xy1,由 y3u 为增函数知 3x3y,排除 A；log3u 在0,1内单调递增,log3xlog3 ylogy3,B 错由 ylog4u 为增函数知 log4x44y,排除 D.2、对于 0a1,给出以下四个不等式a loga1aloga1 1 11；1

10、1 a1aa.其中成立的是 A与B与C与D与答案： D解析： 由于1a1 10a1. aloga1 a,a1aaa .选D.四、对数方程与不等式例 1.1 补充方程 log3x2101log3x 的解是 答案 x 52解析 原方程化为 log3x 10 log33x,由于 log3x在0, 上严格单增,就 x210 3x,解之得 x15, x2 2.要使log3x 有意义,应有 x0,x5.留意：依据对数函数恒单调求解；例 1.2温故知新 P32第 9 题log 2 x x0已知函数 fx3xx0,且关于 x 的方程fxxa范畴是0 有且只有一个实根,就实数 a 的取值练习：温故知新 P31第

11、 5、6 题温故知新 P29第 10 题例 2. （ 1） 补充 已知 0a1, loga1 xlogax 就111A 0x1Bx2C 0x2D.2 x1分析： 底数相同,真数不同,可利用对数函数ylogax 的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解解析： 0a0 x0 1 xx,解得10x2.例 2.2 补充设 0a1,函数 fxlogaa2x 2ax 2,就使 fx0的 x 取值范畴是 A, 0B0, C, loga3Dloga3, 解析： 0a1logaa2x2ax21a2a 30xxa 3 或 a 1舍xloga3,应选 C.留意：关于含对数式 或指数式 的不等式求解, 一般都是用单调

12、性或换元法求解例 2. （ 3）名师一号 P28高频考点 例 222当 0x1时, 4xloga x,就 a 的取值范畴是 2A. 0, 2B.2 21C 1, 2D2,2,2解析：由题意得,当 0a1 时,要使得 4xloga x 0x1 ,2即当 0x1时,函数 y4x 的图象在函数 y logax 图象的下方112x1又当 x2时,412,即函数 y 4的图象过点22,2 ,x把点 2, 2 代入函数 ylogax,得 a 2 ,如函数 y4 的图象在函数 ylogax 图象的下方, 就需2如下列图 2 a1 时,不符合题意,舍去 所以实数 a 的取值范畴是21 .2答案： B.练习:

13、当 x1, 2 时,不等式 x12log ax 恒成立, 就实数a 的取值范畴是；分析：如将不等号两边分别设成两个函数, 就左边为二次函数,图象是抛物线, 右边为常见的对数函数的图象,故可以通过观看图象求解；yy1=x-1y2=log a2解：设 f1 x x1 ,f 2 xlog ax 1,P就 f1 x 的图象为右图所示的抛物线,要使对一切02xx1, 2 ,f1 xf2 x 恒成立, a1 ,观看图象得：log a 2121只需 f 2f 2 即可；故,a1取值范畴是 a 1a2 ；变式:名师一号 P28变式摸索 22不等式 logaxx12 恰有三个整数解,就 a 的取值范畴为,A 1

14、6 5, 9 4B 16 5, 9 4C116 5D1,9 42解析:不等式 logaxx1 恰有三个整数解,画出示意图可知 a1,其整数解为 2,3,4,2就应满意loga4 41 ,loga5 51 2,169得5 a0. 原方程有两个实数解, 即方程 t 22t 3k 1 0 有两个正实数解,就 2 2 43 k 1 0t 1t 2 20,t 1t 23k1012解得 k .33练习 3:对任意的1x4 mR,5 x 24x 31 4 mx m2 x 2恒成立,求 m 的范33围.解 ：0112223由 题 意 即 对 任 意 的xR,4 m5x4x34mxm x 恒成立即对任意的 xR

15、,m24m5x244m x30 恒成立m24m50m24m5044m 212m2或4m5044m0m1或m5m1或m5或1m19m11m19练习 4: 已知函数 y（1） ）求 M1xlg 34x1xx2 的定义域为 M ,（2） ）当 xM时,求值.f xa 2 x 234xa3 的最小解 1由题可得1x0且x11xxx2可解得M34 xx201 ,12f xa 234=32 x2a 24 a233x 1,1, 12 x2a3 ,2a 32 ,2如 2a1 ,即 a3 时,f xmin =f 1 = 2a3 ,32如 12a2342 ,即3a43 时,4所以当 2 x2a, 即 x3log 2 2a 时,3f xmin =4 a 232a3a3 f x44min43a 2 3a34练习：21、不等式 x2logax0 在 x 0, 1时恒成立,就 a 的取值范畴是 16A0a1B. 1 a1D0a 16解析： 我们没有学过如何解答这类不等式,但我们熟知函数 y x2 与 ylogax 的图象与性质, 因此可在同一坐标系中,画出此二函数的图象借助图象进行争论,在同一坐标21系中画出 yx ,x0,2与 y logax 的图象,0a1,1由图象易得11 2loga2 2,即16a1.应选 B.