2022年导数知识点归纳及应用文科辅导.docx

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1、导数学问点归纳及应用一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1. 基本函数的导数公式: C0; （ C 为常数） xnnxn 1; sin xcos x ; cos xsin x; ex ex ; ax ax ln a ; ln x l o g1;xx1 loge.aax例 1：以下求导运算正确选项111xx2A x+ x1x 2Blog 2x = x ln 2C 3 =3 log 3 eD xcosx =-2xsinx2. 导数的运算法就法就 1： uv u v .法就 2： uv u vuv .如 C 为常数 , 就 CuCu .u法就 3：vu vv2uv（ v0）；3. 复合函数求导三

2、、导数的几何意义/函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（ x 0 , f （ x 0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线 y=f （ x）在点 p（x 0 ,f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）；相应地,切线方程为y y 0 =f （ x 0 ）（ x x 0 ）；例：曲线f x =x3 + x-2 在 p0 处的切线平行于直线y = 4 x -1,就p0 点的坐标为（）A 1,0B 2,8C 1,0 和 1, 4D 2,8 和 1,4四、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1） 假如f x0 ,就f x 在此区间上为增函数；假如 f

3、 x0 ,就f x 在此区间上为减函数；（2） 假如在某区间内恒有f x0 ,就f x 为常数 ；例： 函数f xx 33x21是减函数的区间为A 2,B ,2C ,0D（ 0, 2）2. 极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负； 曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；例： 函数f xx 3ax23x9, 已知f x在x3时取得极值,就 a = A 2B 3C 4D53. 最值：在区间 a ,b 上连续的函数f x 在a , b 上必有最大值与最小值；但在开区间（a,b）内连续函数 f （ x）不肯定有最大值,例如f xx

4、3 , x 1,1 ；函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点邻近的函数值得出来的；函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值就可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值；例： 函数f xx 33x1 在闭区间 -3 , 0 上的最大值、最小值分别是 、.一、挑选题（数学选修 1-1 ）第一章导数及其应用 基础训练 3. 函数y = x3 +x 的递增区间是（）A 0,B ,1C ,D 1,4. f xax33x22 , 如f 14 , 就 a 的值等于（）1916A. B

5、331310CD336函数 yx44x3 在区间2,3 上的最小值为（）A 72B 36C 12D 00二、填空题1. 如f xx3, f x3 ,就x0 的值为；2. 曲线 yx34 x 在点 1, 3处的切线倾斜角为；3. 函数 ysin x的导数为；x4. 曲线yln x 在点M e,1 处的切线的斜率是 ,切线的方程为；5. 函数 yx3x25x5的单调递增区间是；三、解答题1求垂直于直线 2 x6 y10 并且与曲线yx33x25 相切的直线方程；3. 求函数f xx55x45x31在区间1,4上的最大值与最小值；4. 已知函数yax 3bx2 ,当 x1 时,有极大值 3 ；（ 1

6、）求a,b 的值；（ 2）求函数 y 的微小值；经典例题选讲 例 1.已知函数 yxf x 的图象如下列图（其中f x 是函数f x 的导函数）,下面四个图象中yf x 的图象大致是 例 2.已知函数f xx3bx2axd 的图象过点 P（ 0,2 ）, 且在点 M1, f 1 处的切线方程为 6xy70 .（）求函数 yf x 的解析式；（）求函数 yf x 的单调区间 .例 4.设函数fxx3bx2cxxR ,已知g xf xf x 是奇函数；（）求 b 、 c 的值；（）求 gx 的单调区间与极值；例 5.已知 f （x） = x3ax 2bxc 在 x=1, x=2时,都取得极值；求a

7、、b 的值；3例 7： 已知函数f x x2ax2a23aex xR, 其中 aR（ 1） 当 a（ 2） 当 a0 时,求曲线2时,求函数3yf x在点1, f 1处的切线的斜率；f x 的单调区间与极值；导数学问点归纳及应用老师一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1. 基本函数的导数公式: C0; （ C 为常数） xnnxn 1; sin xcos x ; cos xsin x; ex ex ; ax ax ln a ; ln x l o g1;xx1 loge.aax例 1：以下求导运算正确选项111xx2A x+ x1x 21Blog 2x = x ln 2 1C 3 =3 lo

8、g 3 eD xcosx =-2xsinx 解析 ： A 错, x+x1 x 2B正确, log2x =1x ln 2xxC错, 3 =3 ln322D错, x cosx =2xcosx+ x-sinx2. 导数的运算法就法就 1： uv uv .法就 2： uv u vuv .如 C 为常数 , 就 CuCu .法就 3：uvu vv2uv （ v0）；四、导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（ x 0 , f （ x 0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线 y=f （ x）在点 p（x 0 ,f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （

9、 x 0 ）；相应地,切线方程为y y 0 =f / （ x 0 ）（ x x 0 ）；例：曲线f x =x3 + x-2 在 p0 处的切线平行于直线y = 4 x -1,就p0 点的坐标为（）A 1,0B 2,8C 1,0 和 1, 4D 2,8 和 1,4四、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1） 假如f x0 ,就f x 在此区间上为增函数；假如 f x0 ,就f x 在此区间上为减函数；（2） 假如在某区间内恒有f x0 ,就f x 为常数 ；例： 函数f xx 33x21是减函数的区间为A 2,B ,2C ,0D（ 0,2） 解析 ： 由f / x3x26x 0,得 0x0,当1

10、x1 时,f / x0,故 f x 的微小值、极大值分别为f 13、f11 ,而 f 317、 f01故函数f xx 33x1 在-3 , 0 上的最大值、最小值分别是3、 -17 ；一、挑选题（数学选修 1-1 ）第一章导数及其应用 基础训练组 3. 函数y = x3 +x 的递增区间是（）A 0,B ,1C ,D 1,4. f xax33x22 , 如f 14 , 就 a 的值等于（）1916A. B331310CD336函数 yx44x3 在区间2,3 上的最小值为（）A 72B 36C 12D 00二、填空题1. 如f xx3, f x3 ,就x0 的值为；2. 曲线 yx34 x 在

11、点 1, 3处的切线倾斜角为；3. 函数 ysin x的导数为；x4. 曲线yln x 在点M e,1 处的切线的斜率是 ,切线的方程为；5. 函数 yx3x25x5的单调递增区间是；三、解答题1求垂直于直线 2 x6 y10 并且与曲线yx33x25 相切的直线方程；3. 求函数f xx55x45x31在区间1,4上的最大值与最小值；4. 已知函数yax 3bx2 ,当 x1 时,有极大值 3 ；（ 1）求a,b 的值；（ 2）求函数 y 的微小值；（数学选修 1-1 ）第一章导数及其应用基础训练 A 组一、挑选题3. Cy =3x2 + 10 对于任何实数都恒成立4. Df x3ax26

12、x,f 13a64, a1036 Dy4x34,令y0,4 x340, x1,当x1时, y0;当x1时, y0得 y微小值y |x 10, 而端点的函数值y |x227, y |x 372 ,得ymin0二、填空题11f x3x 23, x10002 34y3 x24, ky3|x 11,tan1,43. x cos xx2sin xysinx xsin x x2xx cos xx2sin x4. 1 , xey0y1 , ky|x e1 , y11 xe, y1 xexeee5 ,5,1,令y33 x22 x50, 得x5,或x13三、解答题1解：设切点为Pa, b ,函数yx33x25

13、的导数为 y3x26x切线的斜率ky|3a26a3 ,得 a1 ,代入到yx33x25x a得 b3 ,即P 1,3 , y33 x1) ,3 xy60 ；3解：f x5x420x315x 25x2 x3 x1 ,当 f x0 得 x0 ,或 x1 ,或 x3 , 01,4 ,11,4 , 3 1,4列表 :x11,000, 4f x0+0+f x又01f 00,f 10； 右 端 点 处5f 42625 ；函数 yx5x45x31 在区间 1,4 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 ；4解：（ 1） y3ax22bx,当 x1 时,y |3a2b0, y |ab3 ,x 1x 13a2b

14、0即, a6,b9ab36x39 x2, y18x218x ,令 y0 ,得 x0,或x1y |x 00（ 2） yy微小值经典例题选讲例 1.已知函数 yxf x 的图象如下列图（其中f x 是函数f x 的导函数） ,下面四个图象中yf x 的图象大致是 解析 ：由函数 yxf x 的图象可知：当 x1时,xf x 0,此时f x 增当 1x0 时, xf x 0, f x 0,此时f x 减当 0x1 时, xfx 0, f x 0, f x 0,此时f x 增应选 C例 2.已 知 函 数f xx3bx2axd的 图 象 过 点 P（ 0,2 ） , 且 在 点 M1, f 1处 的

15、切 线 方 程 为6 xy70 .（）求函数 yf x 的解析式；（）求函数 yf x 的单调区间 .解：（）由f x 的图象经过 P（ 0, 2）,知 d=2,所以 f xx3bx2cx2,f x3x22bxc.由在 M 1, f 1处的切线方程是 6 xy70 ,知6f 170,即f 11, f 16.32bc1bc6,即21.2bcbc3,解得bc3.0,故所求的解析式是f xx33x23x2.（）f x3x 26x3.令3x26x30,即x 22x10.解得 x112, x212. 当 x12 ,或x12时, f x0;当12x12时, fx0.故 f xx33x23x2在,12) 内

16、是增函数,在 12 ,12 内是减函数,在 12 , 内是增函数 .例 4.设函数fxxbxcxxR ,已知g xf xf x 是奇函数；32（）求 b 、 c 的值；（）求 gx 的单调区间与极值；解：（）fxx3bx2cx , fx3x22bxc ；从而g xf xf xx3bx2cx3x22bxc x3b3x2c2b xc 是一个奇函数,所以g00 得 c30 ,由奇函数定义得 b3 ；2（）由（）知 gxx6x,从而g x3x6 ,由此可知,2 和 2, 是函数g x 是单调递增区间； 2,2 是函数g x是单调递减区间；g x 在 xg x 在 x2 时,取得极大值,极大值为4 2

17、,2 时,取得微小值,微小值为42 ；例 5.已知 f （x） = x3（1）求 a、b 的值；ax 2bxc 在 x=1, x=2时,都取得极值；3解：（ 1）由题意 f / （x） = 3x22axb 的两个根分别为 1 和23由韦达定理,得：122 ab=,123333就 a1 , b22例 7： 已知函数f x x2ax2a23ae xR, 其中 aRx（ 3） 当 a（ 4） 当 a0 时,求曲线2时,求函数3yf x在点1, f 1处的切线的斜率；f x 的单调区间与极值；解：（ I ） 当a0时, f xx2ex ,f x x22xex,故f13e.所以曲线 yf x在点1,f

18、1处的切线的斜率为3e.（II ）f xx2 a2 x2a 24a ex .2令f x0,解得 x2a,或xa2.由a知, 2 a3a2.以下分两种情形争论；2（1） 如a ,就32a a2 . 当 x 变化时,f x, fx 的变化情形如下表：x, 2a2a2a,a2a2a2,+00+极大值微小值所以f x在, 2a,a2,内是增函数,在 2a, a2内是减函数 .函数f x在x2a处取得极大值 f 2a,且f 2a3ae 2a .函数f x在xa2处取得微小值f a2,且f a243aea 2 .（2） 如a 2 ,就32a a2 ,当 x 变化时,f x, f x 的变化情形如下表：x,a2a2a2, 2a2a2a,+00+极大值微小值a2所以f x在,a2,2a,内是增函数,在 a2, 2a内是减函数；函数f x在xa2处取得极大值f a2,且f a243ae.