2022年导数知识点总结及例题讲解.docx

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1、学问归纳1. 导数的概念高二数学复习讲义导数及其应用4两个函数的和、差、积的求导法就法就1：两个函数的和 或差 的导数, 等于这两个函数 y=fx,假如自变量 x在 x0 处有增量x ,那么函数y 相应地有增量 y =f（x 0 + x ）y函数的导数的和 或差 ,即： uvu v .f （x）,比值0叫做函数 y=f （x）在 xx0法就 2 ：两个函数的积的导数 , 等于第一个函到 x0+x之 间 的 平 均 变 化 率 , 即y =f x0xf x0 ；假如当 x0 时,xxy 有极限,我们就说函数 y=fx在点 x处x0可导,并把这个极限叫做f （x）在点 x0 处的导数,记作 f （

2、 x 0 ）或 y|x x0 ；y数的导数乘以其次个函数, 加上第一个函 数乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 , 即 ：uvu vuv .如 C 为常数 ,Cu C uCu 0Cu Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： CuCu .法就 3 ：两个函数的商的导数,等于分子的即f （x ）= lim0x0x= lim f x0xf x0 ；x0x导数与分母的积,减去分母的导数与分子的uu vuv积再除以分母的平方： =说明： （1）函数 f （x）在点 x 0 处可导,是指yyvv2x0 时,x 有极限；假如x 不存在极（v0 ）；限,就说函数在点x0 处不行导,或说无导

3、数；（ 2） x 是自变量 x在 x0 处的转变量,x0时,而y 是函数值的转变量,可以是零；由导数的定义可知,求函数 y=f （x）在点 x0 处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量y=f （x 0 +x ） f （ x 0 ）；形如 y=fx 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解求导回代；法xx（2） 求平均变化率y f x=0xf x0；xxy（3） 取极限,得导数 f x0 =lim；x 0x2. 导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （ x）在点 p （ x 0 , f （ x 0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线y=f （x）在点 p

4、（x 0 ,f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）；/相应地,切线方程为 y y 0 =f （x 0 ）（ x x 0 ）；3. 几种常见函数的导数 : C0;x nnxn 1;sinx cosx ; cos x sin x ; e x ex ; a x a x ln a ; ln x1; l o g a x1 loga e .就： y| X = y | U u | X5. 单调区间： 一般地,设函数 y f x 在某个区间可导,假如 f x 0 ,就 f x 为增函数；假如 f x 0 ,就 f x 为减函数；假如在某区间内恒有 f x 0 ,就 f x 为常数；6. 极点与极

5、值：曲线在极值点处切线的斜率为0 ,极值点处的导数为 0 ；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在微小值点左 侧切线的斜率为负,右侧为正；7. 最值 ：一般地,在区间 a ,b 上连续的函数 fx 在a ,b 上必有最大值与最小值；求函数 .求函数 .b ；xx在a , b 内的极值；在区间端点的值 .a 、将函数 .x的各极值与 .a 、.b 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值；1. 导数定义的应用高考题型解 ： y / xa 3 x2a,b 由 y/0 得例 1 北京高考）如图,函数f x 的图象是xa , x2ab3,当 xa 时, y 取极大值折线段 ABC ,其

6、中 A, B,C 的坐标分别为0 ,当 x2ab时 y 取微小值且微小值为0,4,2,0,6,4,3负应选C或当xb 时 y0 ,当 xb 时,lim f 1x01BO1 2 3 4 5 6y0 选 Cxf1 xy A4C32点评: 通过导数争论函数图像的变化规律 , 也是考试的热点题型 .3. 利用导数解决函数的单调性问题x例 5（ 全 国 高 考 ） 已 知 函 数解：由图可知fx据导数的定义2x40x2f x x 3ax 2x1, aR ,根x22x3（）争论函数 f x 的单调区间；21知 lim f 1xf 1f12 （）设函数f x 在区间,内是减函x0x33例 重 庆 高 考 已

7、 知 函 数数,求 a 的取值范畴xf x2bxc e x , 其中 b, cR,（）略,解 ：（ 1） f x x 3ax 2x1 求 导 得（）如 b24 c1 , 且 lim fxc4 ,试证：6b2 x0x2解 ：2b2 xbc ex, 易 知f 0c故f x 当 23 x2ax 1时,在 上fxcx 0xf xf 0x0x0a3,递增；0f x0f xRbc4,所以b24 c1 ,解得 6b2 当2,求 得 两 根 为a3f x02.利用导数争论函数的图像例 3（ 安 徽 高 考 ） 设 a b,函 数xaa23 ,3aa232y xa x的 b图像可能是即 f x在,递 增 ,32

8、2aa3aa3,33递减,2aa33,递增；（2）由于函数f x 在区间2 , 1 内是减3321函数,所以当 x,时 fx0 恒成fx0 ,得 x1a, x2a23；从而331a1,1a21,f02a2或3解 得3立,结合二次函数的图像可知解1a,a23.31a1,5a1,得 a2 31或 a1a,点评：函数在某区间上单调转化为导函数f x0 或 fx0 在区间上恒成立问题,22所以 a 的取值范畴是5,11,1 .22是解决这类问题的通法此题也可以由函数aa 23aa23点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势,充分表达高考“才能立意”的思在,33aa23233 求解aa231上递减

9、,所以想,高考中应高度重视；（4） 利用导数的几何意义争论曲线的切线问题例 6（江西高考）如存在过点1, 0 的直线与x933曲线yx3 和 yax 215都相切,就a 等【 变 式 1 】（全 国 高 考 ） 如 函 数41312于fx3 x2 axa1 x1 在区间1,4A 1 或 - 25B 1 或 21C7 或- 25D7或 7实数 a 的取值范畴4644上是减函数,在区间6,上是增函数,求644解： fxx2axa1,令 fx0 得x1 或 xa1,结合图像知 4a16 , 故 a5,7 点评：此题也可转化为fx0, x1,4 恒解：设过 1, 0 的直线与 yx3相切于点 x0 ,

10、 x03 , 所 以 切 线 方 程为yx0 33 x0 2 xx0 成立且 fx0, x6,恒成立来解【 变 式 2 】（ 浙 江 高 考 ） 已 知 函 数即 y3 x0 2 x2x30 ,又 1, 0 在切线上,就332x00 或 x02 ,f x x1a xa a2xb当 x0 时,由 y0 与 yax 2 a, bR 如函数 f x 在区间 1,1 上不0单调,求 a 的取值范畴15254 x9 相切可得 a64,解：函数 f x 在区间 1,1 不单调,等价于32727fx0 1,1在区间上有实数解,且无重x当02时 , 由y4 x4与2根2 1a xa a2又, 由yax2154

11、 x9 相切可得 a1 ,所以选 A .点评：函数的切线问题,切点是关键,由于它是联结曲线和其切线的“桥梁”, 在做题中往往需要设出切点【变式】（ 辽宁高考）设 P 为曲线 C ：4 x 23ax40 成立,即有9a2640 88解不等式,得3a3 这时, f 0b 是唯独极值因此满意条件的a 的取值范畴是yx 22 x3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切83 ,83 线倾斜角的取值范畴为0,就点 P 横坐4标的取值范畴为（）A1, 1B 1,026. 利用导数解决实际问题例 8用长为 18 cm的钢条围成一个长方体外形的框架,要求长方体的长与宽之比为2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少

12、时,其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为 x（m）,就长为 2xm ,1高为h1812x4.53xm30x.2解：由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范42故长方体的体积为22333V x2x4.53x9x6x m0x围为0,4,可得曲线 C 在点 P 处切线的斜20 1y2x2P率范畴为,又,设点的横坐从而 Vx18x18x 2 4.53x18x1x.标 为x0, 就 02x021, 解 得令 V x0 ,解得 x0（舍去）或x1,因1x012 ,应选 A 此 x1.35.利用导数求函数的极值与最值例 7（ 天 津 高 考 ） 已 知 函 数f x x 4ax 32x 2b （

13、 xR ）, 其 中6a, bR 如函数 f x 仅在 x0 处有极值,当 0x1 时, V x0 ；当 1x2 时,V x0 ,故在 x1 处 Vx 取得极大值,并且这个极大值就是 Vx 的最大值,从而最大求 a 的取值范畴2体积 VV x91331m,此时长方解： f x x 4 x 23ax4 ,明显 x0 不是方程 4 x 23ax40 的根为 使f x 仅 在 x0 处 有 极 值 , 必 须体的长为 2 m ,高为 1.5 m一、挑选题导数及其应用 基础训练 A 组1. 如函数 yf x 在区间 a , b 内可导,且 x0 a, b 就 lim f x0h f x0hh0h的值为

14、（B）A f x B 2 f x C2 f x D 0000lim f x0h f x0hlim 2 f x0h f x0h h0hh02h2lim f x0h f x0h2 f x 0h02h2. 一个物体的运动方程为 s1tt 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒, 那么物体在 3 秒末的瞬时速度是（ C）A. 7 米/秒B 6 米/秒C 5 米/秒D 8 米/秒s t 2t1, s 323153. 函数 y = x 3 + x 的递增区间是（ C ）A 0,B ,1C ,D 1,y = 3x2 + 1 0 对于任何实数都恒成立4. f x ax 323x2 ,如f 14 ,就 a 的值等于（ D ）A 19B 1633C 13D 1033f x 3ax 26x, f 10 13a64, a35. 函数 yf x 在一点的导数值为 0 是函数 yf x 在这点取极值的（D ）A. 充分条件B必要条件 C充要条件D必要非充分条件对于 f x x 3 , f x 3x 2 , f 00, 不能推出 f x 在 x0 取极值,反之成立