2022年点直线圆与圆位置关系—知识讲解.docx

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1、精品学习资源【学习目标】点、直线、圆与圆的位置关系学问讲解（基础）欢迎下载精品学习资源1. 理 解 并 掌 握 点 与 圆 、 直 线 与 圆 、 圆 与 圆 的 各 种 位 置 关 系 ；2. 懂得切线的判定定理、性质定理和切线长定理，明白三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并娴熟掌握以上内容解决一些实际问题；3. 明白两个圆相离 外离、内含 ，两个圆相切 外切、内切 ，两圆相交，圆心距等概念懂得两圆的位置 关系 与d、 r 1、r 2等 量 关系 的 等 价条 件 并 灵活 应 用它 们 解题 【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分

2、成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有 相 同 的 性 质 和 判 定 方 法 ； 设 O的 半 径 为 r， 点P到 圆 心 的 距 离 为 d ， 就 有2三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 .三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（ 1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系； 知道数量关系也可以确定位置关系；（ 2）不在同始终线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系1直线和圆的三种位置关系：(1) 相 交 ：

3、直 线 与 圆 有 两 个 公 共 点 时 ， 叫 做 直 线 和 圆 相 交 这 时 直 线 叫 做 圆 的 割 线 (2) 相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯独的公共点叫做切点3相 离： 直 线和 圆 没有 公 共点时，叫做直线和圆相离2直线与圆的位置关系的判定和性质直 线 与 圆 的 位 置 关 系 能 否 像 点 与 圆 的 位 置 关 系 一 样 通 过 一 些 条 件 来 进 行 分 析 判 断 呢 ？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此讨论直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点 圆心的位置关系下面图 1 中直线与圆心的距离小于半径；

4、图2 中直线与圆心的距离等于半径；图3 中直线与圆心的距离大于半径如 果 O的半 径 为r，圆 心O到直 线的距 离 为d， 那 么欢迎下载精品学习资源要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边就是直线与圆的位置关系的判定要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1. 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不行.2. 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.3. 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做

5、这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称. 切线是直线，而非线段.4. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等 .要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有很多个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角

6、形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径 .(3) 三角形的外心与内心的区分：名称确定方法图形性质欢迎下载精品学习资源外心 三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即 OA=OB=O；C 2外心不肯定在三角形内部欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源内心 三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1 到三角形三边距离相等； 2OA、 OB、OC分别平分 BAC、 ABC、 ACB；3 内心在三角形内部.欢迎下载精品学习资源要 点 四 、 圆 和 圆 的 位 置 关 系1 圆 与 圆 的 五 种 位

7、 置 关 系 的 定 义两 圆 外 离 ： 两 个 圆 没 有 公 共 点 ， 且 每 个 圆 上 的 点 都 在 另 一 个 圆 的 外 部 时 ， 叫 做 这 两 个 圆 外 离 . 两圆外切：两个圆有唯独公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两 个 圆 外 切 . 这 个 唯 一 的 公 共 点 叫 做 切 点 .欢迎下载精品学习资源两 圆 相 交 ： 两 个 圆 有 两个 公 共 点 时 ， 叫 做 这 两圆 相 交 .两圆内切：两个圆有唯独公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两 圆

8、 内 含 ： 两 个 圆 没 有 公 共 点 ， 且 一 个 圆 上 的 点 都 在 另 一 个 圆 的 内 部 时 ， 叫 做 这 两 个 圆 内 含 .2 两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设 O1的 半 径 为r 1 ， O2半 径 为r 2 ，两 圆 心O1O2的 距 离 为d ， 就 ：两圆外离dr 1+r 2两圆外切d=r 1+r 2 两圆相交r 1 -r 2dr 1+r 2r 1r 2 两圆内切d=r 1-r 2r 1r 2两圆内含dr 1-r 2r 1r 2要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又留意到位置的不同，如以两圆的公共点个数分类， 又

9、可 以 分 为 ： 相 离 含 外 离 、 内 含 、 相 切 含 内 切 、 外 切 、 相 交 ；(2) 内 切 、 外 切 统 称为 相 切 ， 唯一 的 公共点 叫 作 切 点；(3) 具 有 内 切 或 内 含 关 系 的 两 个 圆 的 半 径 不 可 能 相 等 ， 否 就 两 圆 重 合 .【典型例题】类型一、点与圆的位置关系1. 已知圆的半径等于5 cm，依据以下点 P 到圆心的距离： 14 cm ；25 cm ； 36 cm ，判定点 P 与圆的位置关系，并说明理由.【答案与解读】（ 1）当 d=4 cm 时， d r ，点 P 在圆内；（ 2）当 d=5 cm 时， d=

10、r ，点 P 在圆上；（ 3）当 d=6 cm 时， d r ，点 P 在圆外 .【总结升华】 利用点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与半径的大小比较.举一反三：【变式】 点 A 在以 O为圆心， 3 为半径的O 内，就点 A 到圆心 O的距离 d 的范畴是.【答案】 0d 3.类型二、直线与圆的位置关系2. 在 Rt ABC中， C=90， AC=3厘 M， BC=4 厘 M，以 C 为圆心， r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关欢迎下载精品学习资源系？为什么？1r=2厘 M； 2r=2.4厘 M； 3r=3厘 M【答案与解读】过 C 点作 CD AB于 D，在 Rt ABC中， C=90

11、， AC=3， BC=4，得 AB=5， AB CD=AC BC ，欢迎下载精品学习资源 CD=ACBC= 34 =2.4cm ，欢迎下载精品学习资源AB5（ 1）当 r =2cm 时CDr ，圆 C与 AB相离；（ 2）当 r=2.4cm 时， CD=r，圆 C与 AB 相切； 3 ）当 r=3cm 时， CD r ，圆 C 与 AB相交【总结升华】 欲判定 C 与直线 AB 的关系，只需先求出圆心C 到直线 AB 的距离 CD 的长，然后再与r 比较即可举一反三：【变式】 如图， P 点是 AOB的平分线 OC上一点， PEOA 于 E，以 P 为圆心， PE 为半径作 P . 求证： P

12、 与OB相切；【答案】 作 PF OB于 F，就可证明 OEP OFP，所以 PF=PE，即 F 在圆 P 上，故 P 与 OB相切；3. 如下列图，在 Rt ABC中， B 90， A 的平分线交BC于 D，以 D 为圆心， DB长为半径作 D求证： AC是 D 的切线【答案与解读】过 D作 DF AC于 F B 90， DB AB 又 AD平分 BAC， DF BD半径 AC 与 D 相切欢迎下载精品学习资源【总结升华】 假如已知条件中不知道直线与圆有公共点，其证法是过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长即可可简记为：作垂直，证半径类型三、圆与圆的位置关系4 1 已知两圆的半径

13、分别为3cm， 5cm，且其圆心距为 7cm，就这两圆的位置关系是 A 外切B 内切C相交D相离 2 已知 O1 与 O2 相切， O1 的半径为 3cm， O2 的半径为 2cm，就 O1O2 的长是 A 1cmB 5cmC 1cm 或 5cmD 0. 5cm 或 2. 5cm【答案】 （ 1） C ； （ 2） C.【解读】 1 由于圆心距 d 7cm， R+r 5+3 8cm ， R- r 5- 3 2cm R- r d R+r ，故这两圆的位置关系是相交 2 两圆相切包括外切和内切，当O1 与 O2 外切时， dO1O2 R+r 3+2 5cm ； 当 O1 与 O2 内切时， d O

14、1O2 R- r 3- 2 1cm 【总结升华】 由数量确定位置或由位置确定数量的依据是：两圆外离d R+r ；两圆外切d R+r ； 两圆相交R- r d R+r ；两圆内切d R- r；两圆内含d R- r点、直线、圆与圆的位置关系巩固练习（基础）【巩固练习】一、挑选题1. 已知：如图， PA， PB 分别与 O相切于 A，B 点， C为 O上一点， ACB=65，就 APB等于 A 65B50C 45D402. 如图， AB 是 O的直径，直线 EC切 O于 B 点，如 DBC=，就 欢迎下载精品学习资源A A=B A=90 C ABD=DABD90o12欢迎下载精品学习资源第 1 题图

15、第 2 题图3. 设O 的半径为3，点 O 到直线 l的距离为d，如直线l与O 至少有一个公共点，就d 应满意的条件是A.d=3B. d3C. d3D.d34. 在 RtABC中， C=90， AB=10， AC=6，以 C 为圆心作C 和 AB 相切，就C 的半径长为 A.8B.4C.9.6D.4.85. 已知O1 和O2 的半径分别为1 和 5，圆心距为 3，就两圆的位置关系是A. 相交B.内切C.外切D.内含6. 已知： A， B， C， D， E 五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出A. 5 个圆B8 个圆C10 个圆D 12 个圆二、填空题欢迎下载

16、精品学习资源7. 锐角三角形的外心在三角形的 部，钝角三角形的外心在三角形的 部， 直角三角形的外心在8. 如 ABC中， C=90， AC=10cm， BC=24cm，就它的外接圆的直径为 9. 如 ABC内接于 O， BC=12cm， O点到 BC的距离为 8cm，就 O的周长为 10. 如下列图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，C 为切点，如两圆的半径分别为3cm 和5cm，就 AB 的长为cm11. 如下列图，已知直线AB 是 O 的切线， A 为切点， OB交 O 于点 C，点 D 在 O 上，且 OBA 40，就 ADC第 10 题图第 11 题图第 12 题图1

17、2. 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1 m 的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是. 三、解答题13. 如下列图，四边形ABCD是平行四边形，以AB 为直径的 O 经过点 D，E 是 O上一点，且 AED 45，试判定 CD与 O的关系，并说明理由14. AB 是 O的直径， BC切 O于 B， AC交 O于 D 点，过 D作 O的切线 DE交 BC于 E. 求证： CE=BE.15. 如下列图， AB 是 O 的直径， P 为 AB延长线上任意一点， C为半圆 AB 的中点， PD切 O于点 D，连 CD交AB 于点 E，求证： PD PE【答案与解读】一、选择题

18、1. 【答案】 B；欢迎下载精品学习资源【解读】连结 OA、OB，就 AOB=130， PAO= PBO=90，所以 P=50 .2. 【答案】 A；【解读】 AB是 O的直径， ADB=90， A+ ABD=90，又 直线 EC切 O于 B 点， + ABD=90， A= ，应选 A.3. 【答案】 C；【解读】直线 l 可能和圆相交或相切 .4. 【答案】 D；欢迎下载精品学习资源【解读】作 CDAB 于 D，就 CD为C的半径， BC=AB2AC 2 =10262=8，欢迎下载精品学习资源由面积相等，得 ABCD=AC BC.CD=68 =4.8.105. 【答案】 D；【解读】内切、外

19、切分别对应d=R r ， d=R r ，它们起着分界作用. 在O1 和O2 相对运动时依次产生外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，圆心距逐步变小，而相内切和外切起着分界作用，所以先运算 dr 和 d r ，由于圆心距 d=3R r ，所以“内含”.6. 【答案】 C.【解读】过其中的三点作圆，最多能作出10 个，即分别过点ABC、ABD、ABE、 ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、 BDE、CDE的圆 .二、填空题7. 【答案】 内，外，它的斜边中点处8. 【答案】 26cm9. 【答案】 20 cm10. 【答案】 8.【解读】由于AB切小 O于 C，连 OA、 OC，如图，由切

20、线的性质知 OC AB，又由垂径定理得AC BC， 在 Rt AOC中， AO 5， OC 3 AB 2AC 8cm 11. 【答案】 25 .【解读】 OAAB， OBA 40， BOA 50，欢迎下载精品学习资源 ADC 12 BOA 25 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12. 【答案】 1+3 m.2欢迎下载精品学习资源【解读】由于三个圆两两外切，所以圆心距等于半径之和，所以三个圆心为顶点的三角形是边长为 1 m 的等边三角形，最高点到地面距离是等边三角形的高加上一个直径.21 233欢迎下载精品学习资源等边三角形的高是1 -（ ）=22，故最高点到地面的距离是1 m.2欢迎

21、下载精品学习资源三、解答题欢迎下载精品学习资源13. 【答案与解读】CD与 O相切理由：如图，连 OD就 AOD 2AED 2 45 90 四边形 ABCD是平行四边形， AB DC CDO AOD 90， OD CD， CD 与 O相切14. 【答案与解读】证法1:连结DB.AB是直径, ADB=90 . BDC=90 . BC 、DE 是切线， BE=ED. EBD= EDB . EBD+ C=90，且 EDB+ EDC=90 ， EBD+ C= EDB+ EDC. C= . BE=EC.证法 2：连结 OD 、OE. DE 切 O 于 D ， OD DE. ODE=90 .同理B=90 . OB=OD ，且 OE=OE ， ODE OBE. BOE= EOD . BOE= A . OE AC. O是AB中 点 ， E是BC中 点 . BE=EC.15. 【答案与解读】连 OC、OD， C 是半圆 ACB的中点， BOC 90，又 PD切 O于 D， PDO 90 PDE 90 - ODE， PED CEO90 - C， OC OD， C ODE PDE PED， PE PD欢迎下载