2022年导数的概念及其运算高考数学知识点总结高考数学真题复习.docx

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1、3.1导数的概念及其运算复习备考要这样做1.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程1. 函数 y fx从 x1 到 x2 的平均变化率函数 y fx从 x1 到 x2 的平均变化率为均变化率可表示为y.xf x2 f x1 x2 x1,如 x x2 x1,y fx2 fx1,就平2. 函数 y fx在 x x0 处的导数(1) 定义称函数 y f x在 x x0 处的瞬时变化率limx 0f x0 x f x0x limx 0y为函数 y fx 在 xx x0 处的导数,记作 f x0或 y |xx0 ,即 f x0 lixm0ylimxx 0f x0 x f x 0x.(2) 几何意义函数

2、f x在点 x0 处的导数 f x0 的几何意义是在曲线yfx上点 x0,fx0 处的切线的斜率相应地,切线方程为yfx0 f x0x x03. 函数 f x的导函数称函数 f x limx 0f x x f xx为 fx的导函数,导函数有时也记作y.4. 基本初等函数的导数公式原函数导函数fx c c 为常数 f x0 fx xn nQ *f x nxn 1fx sin xf x cos_xfx cos xf x sin_xfx ax a0f x axln_ a fxexf x exfx logaxa0,且 a 1fx1xln axfx ln xf x 15. 导数的运算法就1 fx gx

3、f x g x；2 fx gx f xgx fxg x ；f x3 g x f x g x f x g x g x 2gx 0难点正本疑点清源 1. 深刻懂得 “函数在一点处的导数 ” 、“导函数 ” 、“ 导数 ”的区分与联系(1) 函数 f x在点 x0 处的导数 f x0是一个常数；(2) 函数 y f x的导函数, 是针对某一区间内任意点x 而言的 假如函数 y fx在区间 a,b内每一点 x 都可导,是指对于区间a, b内的每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数 f x0 这样就在开区间 a,b内构成了一个新函数, 就是函数 fx 的导函数 f x在不产生混淆的情形下,导函数也简

4、称导数2. 曲线 y fx“在点 Px0, y0处的切线 ” 与“ 过点 Px0, y0的切线 ”的区分与联系(1) 曲线 y fx在点 Px0, y0 处的切线是指 P 为切点,切线斜率为k f x0的切线,是唯独的一条切线1f x是函数 fx13x3 2x1 的导函数,就 f 1的值为答案3解析 f x x2 2, f 1 12 2 3.2.如图,函数 y fx的图象在点 P 处的切线方程是 y x 8,就 f5 f5 .答案2(2) 曲线 yfx过点 Px0, y0的切线,是指切线经过P 点点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条解析如图可知, f5 3, f 5 1

5、,因此 f5 f5 2.3 已知 f x x2 3xf 2 ,就 f 2.答案 2解析由题意得 f x 2x 3f 2, f2 2 2 3f 2, f 2 2.4 已知点 P 在曲线 fx x4 x 上,曲线在点 P 处的切线平行于 3x y 0,就点 P 的坐标为答案1,0解析由题意知, 函数 fx x403 x 在点 P 处的切线的斜率等于3,即 fx 4x0 13, x01,将其代入 fx 中可得 P1,0x 5曲线 y x 2在点 1, 1处的切线方程为答案y 2x 1x2 x解析易知点 1, 1 在曲线上,且y 2 x 22x 2 2, 切线斜率 ky |x 12 1 2.由点斜式得

6、切线方程为y 12 x1,即 y 2x 1.题型一利用定义求函数的导数例 1利用导数的定义求函数fx x3 在 xx0 处的导数,并求曲线fx x3 在 xx0 处的切线与曲线 fx x3 的交点思维启发： 正确懂得导数的定义,懂得导数的几何意义是此题的关键033解f x 0 xlimx0f x f x xlimx0x x000x x0xx00 xlimxx2 xx0 x2 3x2.曲线 f x x3 在 x x0 处的切线方程为32y x0 3x0xx0 ,y x3,即 y 3x2x 2x3,由0000y 3x2x 2x3,得xx02x 2x0 0,解得 x x0, x 2x0.00如 x0

7、 0,就交点坐标为 x0, x3 , 2x0, 8x3；如 x0 0,就交点坐标为 0,0 探究提高求函数 fx的导数步骤：(1) 求函数值的增量 f fx2 f x1；(2) 运算平均变化率 f f x2 f x1 ；xx2 x1(3) 运算导数 f x lixm 0f x.11 fxx利用导数的定义,求： 在 x1 处的导数；12 fxx 2的导数解1 yxf 1 x f 1x1 11 xx11 xx1 x1 1 xx1 x 11 x x 1,x1 x 1x1 x 1x f1 limx 0yx lixm 0 1 1.1 x 1 x2y2 xf x x f xx11x 2 xx 2xx 2

8、x 2 xx x 2x 2x 1,x2x 2 x fx limx 0y x lixm 01x 2x 2 x1x 2 2.题型二导数的运算例 2求以下函数的导数：(1) y exln x；211(2) y x x x x3 ；(3) y x sinxcos x 22；14 y x 1x 1 .x思维启发： 求函数的导数,第一要搞清函数的结构；如式子能化简,可先化简再求导 解1y exln x exln x ex 1x exln x 1 2 yx 311 x2, y 3x2 2 .x33 先使用三角公式进行化简,得y x sinxcos 2x 2 x1,sin x 2 y x1sin x x 1

9、11cos x.2sin x22111124 先化简, y xx 1 x xxx2, y 1x 11x 311 1 .2x2 222x探究提高1 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导, 这样可以削减运算量,提高运算速度,削减差错；(2) 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以防止使用商的求导法就,削减运算量；(3) 复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导求以下各函数的导数：1 y11；1x1 xcos 2x(2) ysin x cos x；2(3) y sin

10、 x1 2cos2 x ；44 y x 1 x 2 x 3解1 y112,1 x1 x1 x y 21x 2 1x 1 x 22.1 x 22 ycos 2x cos x sin x,sin xcos x y sin x cos x.23 y sin xx cos 21,sin x 21 y sin x 1sin x 1cos x.2224 方法一y x2 3x 2x 3 x3 6x211x6, y 3x2 12x 11.方法二y x 1x2 x 3 x 1x 2 x3 x 1 x2 x 1x 2 x 3 x 1 x 2 x2 x 1x 3 x 1x 2 2x 3 x 3 x 1 x 2 3x

11、2 12x 11.题型三导数的几何意义 例 3已知曲线 y 1x3 4.33(1) 求曲线在点 P2,4 处的切线方程；(2) 求曲线过点 P2,4 的切线方程；(3) 求斜率为 1 的曲线的切线方程思维启发： 求曲线的切线方程,方法是通过切点坐标,求出切线的斜率,再通过点斜式得切线方程解1 P2,4在曲线 y 1x3342 3上,且 y x , 在点 P2,4 处的切线的斜率为y|x2 4. 曲线在点 P2,4处的切线方程为 y 4 4x 2,即 4x y 4 0.1 341 343(2) 设曲线 y 3x 与过点 P2,4 的切线相切于点 A x0, 3x03 ,就切线的斜率为 y |x2

12、 x0x0. 切线方程为y 13423x03 x0 xx0 ,22 34即 y x0x 3x0 3. 点 P2,4在切线上, 4 2x22 340 3x0 3,32322即 x0 3x0 4 0, x0 x0 4x0 4 0,0 x2 x0 1 4x0 1x0 1 0,2 x0 1x0 22 0,解得 x0 1 或 x0 2, 故所求的切线方程为x y 20 或 4x y4 0.(3) 设切点为 x0, y0 ,就切线的斜率为x01, x0 1.3切点为 1,1或 1, 5 ,3 切线方程为y 1x 1 或 y5 x 1,即 x y 20 或 3x3y 2 0.探究提高利用导数讨论曲线的切线问

13、题,肯定要娴熟把握以下条件：(1) 函数在切点处的导数值也就是切线的斜率即已知切点坐标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标(2) 切点既在曲线上,又在切线上切线有可能和曲线仍有其它的公共点已知抛物线 y ax2 bx c 通过点 P1,1 ,且在点 Q2, 1处与直线 yx 3 相切,求实数 a、b、c 的值 解 y 2ax b, 抛物线在点Q2 , 1处的切线斜率为k y |x 2 4a b. 4a b 1.又 点 P1,1 、Q2, 1在抛物线上, ab c 1, 4a 2b c 1.联立 解方程组,得a 3, b 11, c 9. 实数 a、b、 c 的值分别为 3、 11、9.一审条件挖

14、隐含典例： 14 分设函数 yx22x 2 的图象为 C1 ,函数 y x2 ax b 的图象为 C2,已知过C1 与 C2 的一个交点的两切线相互垂直(1) 求 a,b 之间的关系；(2) 求 ab 的最大值审题路线图C1 与 C2 有交点 可设 C1 与 C2 的交点为 x0, y0过交点的两切线相互垂直 切线垂直隐含着斜率间的关系两切线的斜率互为负倒数导数的几何意义利用导数求两切线的斜率：k1 2x0 2, k2 2x0 a等价转换2 x0 2 2x0 a 1 交点 x0, y0 适合解析式 0,即 22xy0 x2 2x0 202y x0 ax0 b0 a2 x0 2 b 0留意隐含条

15、件方程同解5a b 2消元ab a5a a 25 2 25416当 a5ab 最大且最大值为 25. 4时,16规范解答解1对于 C1 ：y x2 2x 2,有 y 2x 2, 1 分对于 C2： y x2 ax b,有 y 2x a,2 分 设 C1 与 C2 的一个交点为 x0,y0,由题意知过交点 x0, y0的两切线相互垂直0 2x02 2x0 a 1, 即 4x2 2a 2x0 2a 1 0 又点 x0 ,y0在 C1 与 C2 上,02y x0 2x0 2故有0y0 x2 ax0 b. 2x20 a 2x0 2 b05由 消去 x0,可得 ab 2.7 分22 由1知： b 5 a

16、,5 ab a 2 a 5a 4225 16.10 分 当 a54时, ab最大值2516.12 分4温馨提示审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的挑选；此题切 入点是两条曲线有交点Px0,y0,交点处的切线相互垂直,通过审题路线可以清楚看到审题的思维过程 .方法与技巧1. 在对导数的概念进行懂得时,特殊要留意fx0与f x0 是不一样的, f x0代表函数f x在 x x0 处的导数值,不肯定为0；而 fx0 是函数值 fx0的导数,而函数值fx0 是一个常量,其导数肯定为0,即fx0 0.2. 对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原就求导时,不但要重视求导法就的应用,

17、而且要特殊留意求导法就对求导的制约作用,在实施化简时,第一必需留意变换的等价性,防止不必要的运算失误 失误与防范1. 利用导数定义求导数时,要留意到x 与 x 的区分,这里的 x 是常量, x 是变量2. 利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆3. 求曲线切线时,要分清在点P 处的切线与过 P 点的切线的区分,前者只有一条,而后者包括了前者4. 曲线的切线与曲线的交点个数不肯定只有一个,这和讨论直线与二次曲线相切时有差别A 组 专项基础训练时间： 35 分钟,满分： 57 分一、挑选题 每道题 5 分,共 20 分1 如函数 fx ax4bx2 c 满意 f 1 2,

18、就 f 1等于A 1B 2C 2D 0答案B解析f x 4ax3 2bx, fx为奇函数且 f 1 2, f 1 2.2. 已知 f x xln x,如 fx0 2,就 x0 等于2A e2B eC.ln 2D ln 2答案B解析fx的定义域为 0 , , f x ln x 1,由 f x0 2,即 ln x01 2,解得 x0 e.3. 如曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x 4y 80 垂直,就 l 的方程为 A 4x y 3 0B x 4y 5 0C 4xy 3 0D x 4y 3 0答案A0解析切线 l 的斜率 k4,设 y x4 的切点的坐标为 x0, y0,就 k 4x3 4

19、, x01, 切点为 1,1,即 y 1 4x1 ,整理得 l 的方程为 4xy 3 0.4. 如曲线 y x 1在点 a, a 1处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,就 a22等于A 64B 32C 16D 8答案A解析 y x 1, y 1x322 2, 曲线在点 a, a 1132处的切线斜率k 2a 2, 切线方程为y a1132 2a 2x a31令 x 0 得 y 2a 2；令 y 0 得 x 3a. 该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1319 124S 23aa 2a 2 18, a 64.二、填空题 每道题 5 分,共 15 分3x5. 如以曲线 y13 bx2 4

20、x c c 为常数 上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,就实数 b 的取值范畴为 答案 2,2解析y x2 2bx 4, y 0 恒成立, 4b2 16 0, 2b 2.6. 设函数 fx 的导数为 f x,且 fx f2 sin x cos x,就 f4 .答案 22解析由于 f x f sin x cos x,所以 f x f2 cos x sin x,所以 f fsin22 cos 22,即 f2 1,所以 fx sin x cos x,故 f4 cos sin 4 2.47 已知函数 fx ,gx满意 f5 5,f5 3,g5 4,g x 1,就函数 y f x 2的图g x象在

21、x 5 处的切线方程为 答案5x16y 3 0解析由 yf x 2g xhx知y h xf x g x f x 2 g x g x 2,得 h 5 f 5 g 5 f 5 2 g 5 g 5 23 4 5 2 1542 16.f 5 25 27又 h5 g 54 4,75所以切线方程为y 4 16x 5,即 5x 16y3 0.三、解答题 共 22 分8. 10 分已知曲线 y x3 x 2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4xy 1 0,且点 P0 在第三象限(1) 求 P0 的坐标；(2) 如直线 l l 1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程 解1由 y x3 x 2,得

22、 y 3x21,由已知令 3x2 1 4,解之得 x 1.当 x 1 时, y 0；当 x 1 时, y 4.又 点 P0 在第三象限, 切点 P0 的坐标为 1, 412 直线 l l 1, l1 的斜率为 4, 直线 l 的斜率为 4. l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 1, 4,4 直线 l 的方程为 y 4 1x 1, 即 x 4y 17 0.9. 12 分已知函数 fx x在 x1处的切线为 l,直线 gx kx 49与 l 平行,求 fx的图象4上的点到直线 gx的最短距离解由于 fx x,所以 f x 1 .2x所以切线 l 的斜率为 k f14 1,切点为 T1124, .

23、所以切线 l 的方程为 x y14 0.9由于切线 l 与直线 gx kx 4平行,90所以 k 1,即 gx x 4.4f x的图象上的点到直线gx x 9的最短距离为切线l： x y10 与直线 x y 9 44之间的距离,91所以所求最短距离为4 42 2.B 组专项才能提升时间： 25 分钟,满分： 43 分一、挑选题 每道题 5 分,共 15 分1. 如函数 fx x2 bx c 的图象的顶点在第四象限,就函数fx的大致图象是 答案A2b 2b2解析 fx x bx c x 2 4 c,由 fx的图象的顶点在第四象限得b 20, b0,所以由基本不等式可得 4kx2ex 12 e 1

24、.又 k0,所以 1 k0,即 1 tan 0.3所以 4 故.选 D.二、填空题 每道题 5 分,共 15 分4 如函数 fx 1x3 1 1x2 f2 x 5,就曲线 f x在点 0, f0 处的切线 l 的方程为32f 答案x y 5 0解析f x x2 f 1xf 2,f 1 1 f 1 f 2,f 2 4 2f 1 f 2 f2 1, f 1 1. f x 1 31 222x x 3 x 5, f x x x 1. f0 1, f 0 5. 曲线 fx 在点 0, f0 处的切线方程为 y x 5.5. 已知函数 y fx及其导函数 y f x的图象如下列图,就曲线yfx在点 P 处

25、的切线方程是 答案x y 2 0解析依据导数的几何意义及图象可知,曲线y fx在点 P 处的切线的 斜 率 k f 2 1,又过点 P2,0,所以切线方程为x y 2 0.6 曲边梯形由曲线 y x21,y 0,x1, x 2 所围成,过曲线 y x21,x 1,2 上一点P 作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的一般梯形,就这一点的坐标为 答案3, 1324解析设 Px0222,x01, x 1,2 ,就易知曲线y x 1 在点 P 处的切线方程为 y x0 1 2x0x x0,0令 y 2x0x x0x2 1 gx,0由 g1 g2 2x2 1 2x01 x0 2 x0,得 S

26、一般梯形 g 1 g 22 1 x20 10 3x24 x0 32 13,所以当 P 点坐标为3132, 4时, S 一般梯形 最大三、解答题x7 13 分 设函数 fxax b,曲线 y fx在点 2, f2 处的切线方程为 7x 4y 12 0.(1) 求 fx的解析式；(2) 曲线 fx上任一点处的切线与直线x 0 和直线 y x 所围成的三角形面积为定值,并求此定值x 3.解1方程 7x 4y 120 可化为 y 741b当 x 2 时, y 2.又 f x a x2,b12a 2 2,a 1,3于是b7解得故 fx x x.a 4 4,b 3.2 设 Px0, y0为曲线上任一点,由y 13P x0, y0处的切线方程为 y x2知曲线在点32y0 1 x0x x0,330即 y x0 x0 1x2 xx060令 x 0,得 y x ,x从而得切线与直线x 0 的交点坐标为0, 6 .0令 y x,得 y x 2x0,从而得切线与直线y x 的交点坐标为 2x0,2x016所以点Px0,y0处的切线与直线x0,yx所围成的三角形的面积为 S2 x0 |2x0|6.故曲线 y fx上任一点处的切线与直线x0,y x 所围成的三角形面积为定值,且此定值为 6.