2022年导数知识点归纳及应用2.docx

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1、导数学问点归纳及应用 学问点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=fx,假如自变量 x 在 x 0 处有增量 x ,那么函数 y 相应地有增量 y =（fx 0 +x ） f （ x0 ）,比值y 叫做函数 y=f （ x ）在 xx0 到 x0 + x 之间的平均变化率,即y = f x0 xxfx x0 ；假如当 x0 时,y 有极限,我们就说函数y=fx 在点 x 处0x0可导,并把这个极限叫做 f （ x）在点 x 0 处的导数,记作 f （ x 0 ）或 y|x x ；即 f （x）= limy = limf x0x) f x0 ；0x0xx0x说明：（1） 函数 f （x）在点 x

2、0 处可导,是指 x0 时,y 有极限；假如xy 不存在极限,x就说函数在点 x 0 处不行导,或说无导数；（2） x是自变量 x 在 x 0 处的转变量, x0 时,而 y 是函数值的转变量,可以是零；由导数的定义可知,求函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的步骤： 求函数的增量 y =f （x 0 + x ） f （ x 0 ）； 求平均变化率y = f xx0xfxx0 ； 取极限,得导数 f x0 =limy；x0x例： 设 fx= x|x|,就 f 0=. 解析 ：limf 0xf0limf x|x |xlimlim |x |0f 0=0x0xx0xx0xx02. 导数的几何

3、意义函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x）在点 p（x 0 ,f （ x 0 ）处的切线的斜率； 也就是说, 曲线 y=f（ x）在点 p（x 0 ,f （x 0 ） 处的切线的斜率是 f （ x 0 ）；/相应地,切线方程为 y y 0 =f （x 0 ）（x x 0 ）；例： 在函数 yx38x 的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的4个数是A 3B 2C1D 0 解析 ：切线的斜率为 ky /3x 28又切线的倾斜角小于,即 0k14故 03x 281解得： 3x8或8x333故没有坐标为整数的点3. 导数的物理意义假如物体运动的规律是

4、s=s（t）,那么该物体在时刻 t 的瞬时速度 v= s （ t）；假如物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（ t）,就该物体在时刻 t 的加速度a=v（ t ）；例； 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,如把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是（）s sssOtOt Ot OtA BCD答： A；练习： 已知质点 M按规律 s2t 23 做直线运动（位移单位： cm,时间单位： s）；（1） ） 当 t=2 , t0.01 时,求s ；t（2） ） 当 t=2 , t0.001 时,求 s ；t（3） ） 求质点 M在 t=2 时的瞬时速度；答

5、案：（1） 8.02二、导数的运算cm s （2）8.002cm s ；（3） 8 cms1. 基本函数的导数公式 : C0; （ C为常数） xnnxn 1; sin xcos x ; cos xsin x ; ex ex; a x ax ln a ; ln x l o g1 ;1xxloge .aax例1：下列求导运算正确的是A x+ 1 11xx2xxBlog 2x =21x ln 2C3 =3 log 3eD xcosx =-2xsinx 解析 ：A 错, x+ 1 11xx 21B正确, log 2x =C错, 3 x =3x ln3x ln 2D错, x 2cosx =2xcosx

6、+ x 2-sinx例 2：设 f 0 x sinx ,f 1 x f 0 x ,f 2 x f 1 x ,f n1 x f n x , nN,就 f 2005 x A sinxB sinxC cosxD cosx 解析 ：f 0 x sinx ,f 1 x f 0 x= cosx, f 2 x f 1 x= - sinx ,f 3 x f 2 x= - cosx, f 4 x f 3 x= sinx ,循环了就 f 2005 x f 1 x cosx2. 导数的运算法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数, 等于这两个函数的导数的和 或差 ,即： uv uv .法就 2：两个函数的积的导数

7、, 等于第一个函数的导数乘以其次个函数 , 加上第一个函数乘以其次个函数的导数,即：uv u vuv .如 C 为常数, 就Cu C uCu 0Cu Cu . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： Cu Cu .法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：uvu v2vuv （ v0）；例：设 fx、gx 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数 , 当 x0 时,f x g xf x gx 0. 且 g3=0. 就不等式 fxgx 0 的解集是 A -3,03,+ B -3,00, 3C -,- 33,+ D -,- 30, 3 解

8、析 ：当 x 0 时,f x g xf x gx 0 ,即f x gx /0 当 x 0 时, fxgx为增函数,又 gx 是偶函数且 g3=0 , g-3=0 , f-3g-3=0故当 x3 时, fxgx 0,又 fxgx是奇函数,当 x0 时, fxgx为减函数,且 f3g3=0故当 0x3 时, fxgx 0应选 D3. 复合函数的导数形如 y=f x 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解 求导 回代；法就： y | X = y | U u | X 或者f xf *x .练习： 求以下各函数的导数：（1） ） yxx5 x2sin x ;（2） y x1 x2 x3;（3） ）

9、yxsin122 x2 cos;4（4） y11.1x1x12解： 1 yxx5sin x32x2x3sin xxx 2 ,y3 x 2 x3 x 2 sin x53 x 223x22x 3 sin xx 2 cos x.2322（ 2） y=（x+3x+2）（ x+3） =x +6x +11x+6, y=3x+12x+11.（ 3） y=sin x2cos x21 sin x,2 y1 sin x 21 sin x21 cos x.2（4） y111x1x2,1 y2x1x21x1x 12.x 1x1x1x 21x2三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1） ）设函数yf x 在某个区间（

10、 a,b）可导, 假如f x0 ,就f x在此区间上为增函数；假如f x0 ,就f x 在此区间上为减函数；（2） ）假如在某区间内 恒有f x0 ,就f x 为常数；例： 函数f xx33 x21 是减函数的区间为A 2, B ,2C ,0D（ 0, 2） 解析 ：由f / x3 x26x 0,得 0x0,当 1x1时,f / x0,故 f x的微小值、极大值分别为f 13、f11 ,而 f 317、f01故函数f xx33x1在-3 , 0 上的最大值、最小值分别是 3、-17 ；经典例题选讲例 1.已知函数 yxf x 的图象如下列图（其中f x 是函数f x 的导函数）,下面四个图象中

11、 yf x 的图象大致是 解析 ：由函数 yxf x 的图象可知：当 x1时,xf x 0,此时f x 增当 1x0 时, xf x 0, fx 0,此时f x 减当 0x1 时, xf x 0, f x 0, f x 0,此时f x 增应选 C例 2. 设f xax 3x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范畴,并求其单调区间；解： fx3ax 21如a0 , f x0 对 x, 恒成立,此时f x只有一个单调区间,冲突1 x3 | a |1 ,此时 f x 恰有三个单调区间3 | a |,1 和3 | a |13 | a |, ,单调增区间为 1,13 | a |3 | a |如a0 ,

12、 f x10 x, ,f x 也只有一个单调区间,冲突如a0 f x3a x a0且单调减区间为 例 3.已知函数f xx3bx 2axd的图象过点 P（ 0,2 ）, 且在点 M1, f 1 处的切线方程为 6 xy70 .（）求函数 yf x 的解析式；（）求函数 yf x 的单调区间 .解：（）由 f x 的图象经过 P（ 0,2）,知 d=2,所以 f xx3bx 2cx2,由在 M 1, f 1处的切线方程是 6xy70 ,知故所求的解析式是f xx 33x 23x2.（）f x3x26 x3.令3x 26 x30,即x22 x10.解得 x112 , x212.当x12 ,或x12

13、时, f x0;当12x12时, fx0.故 f xx33x 23x2在,12 内是增函数,32在 12 ,12 内是减函数,在 12,内是增函数 .例 4.设函数fxxbxcxxR ,已知g xf xf x是奇函数；（）求 b 、 c 的值；（）求 g x 的单调区间与极值；解：（）fxx3bx2cx, fx3x22bxc ；从而g xf xf xx3bx2cx3x22bxc x3b3 x2c2b xc 是一个奇函数,所以g 00 得c0 ,由奇函数定义得 b3 ；（）由（）知g xx36x ,从而g x3 x26 ,由此可知,2 和2, 是函数区间；gx 是单调递增区间； 2,2 是函数g

14、 x是单调递减g x 在 x2 时,取得极大值,极大值为42 ,g x 在x2 时,取得微小值,微小值为42 ；例 5.已知 f （x）= x3（1） ）求 a、b 的值；ax2bxc 在 x=1,x=2 时,都取得极值；3（2） ）如对 x1,2,都有f x1 恒成立,求 c 的取值范畴；c解：（1）由题意 f / （ x）=3 x 22axb 的两个根分别为 1 和23由韦达定理,得： 12 =2a , b12 就a1 , b2 23333（ 2）由（ 1）,有 f （x） = x31 x 222xc , f / （x） =3 x2x2当x 1,2 时, 3f / x0 ,当 x2 ,1

15、时, 3f / x0 ,当 x1,2 时,f / x0 ,当x2 时, 3f x有极大值 2227c , f 11 c,2f 22c , 当x1,2 ,f x 的最大值为f 22c对x1,2 ,都有f x1 恒成立, 2 cc1 , c解得 0c21, 或c21,例 6.已知 x1 是函数f xmx33m1x2nx1 的一个极值点,其中m, nR,m0 ,（ I ）求 m 与n 的关系式；（ II ）求f x的单调区间；（ III）当x1,1时,函数yf x 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m ,求m 的取值范畴 .解：If x3mx26m1xn 由于 x1是函数f x的一个极值点 ,所以

16、 f10 , 即3m6m1n0 ,所以 n3m6（II ）由（ I ）知,f x3mx26m1) x3m6 =3mx1 x12m当m0 时,有 112 ,当 x 变化时, mf x 与 f1 x 的变化如下表：00调调递减微小值单调递增极大值单调递减故有上表知,当 m0 时,f x 在,12m单调递减,在 12 ,1 单调递增,在 1, 上单调递减 .m（ III）由已知得f x3m ,即mx22m1x20又m0所以x22 m1x20 即 x22 m1x20, x1,1 mmmm设g xx2211 x2 ,其函数开口向上,由题意知式恒成立,mmg1012220所以mmg 1010解之得4m 又

17、m03所以 4m03即m 的取值范畴为4 ,03例 7：（2022 天津理 20） 已知函数f xx2ax2 a23a ex xR, 其中 aR（1） 当a0 时,求曲线yf x在点1, f1（2） 当a2 时,求函数3f x本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数争论函数的单调性与极值等基础学问,考查运算才能及分类争论的思想方法；满分12 分；解：（ I） 当a0时, f xx 2ex , f x x22 xex,故 f 13e.（ II ）f xx 2a2) x2 a 24a ex .以下分两种情形争论；（ 1） 如a 2 ,就32a a2 . 当 x 变化时,f x, fx 的变化情形如下表：+00+极大值微小值（ 2） 如a 2 ,就32a a2 ,当 x 变化时,f x, fx 的变化情形如下表：+00+极大值微小值