基于循环特性的均匀圆阵快速空间谱计算-黄秀琼.pdf

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1、doi:10.3969/ j. issn.1001-893x.2017.12.009引用格式:黄秀琼,郝克钢,樊荣,等.基于循环特性的均匀圆阵快速空间谱计算J.电讯技术,2017,57(12):1399-1403. HUANG Xiuqiong,HAO Kegang,FAN Rong,et al. Fast spatial spectrum estimation based on cycle characteristic of uniform circular arrayJ. TelecommunicationEngineering,2017,57(12):1399-1403. 基于循环特性的

2、均匀圆阵快速空间谱计算*黄秀琼1,郝克钢2,樊 荣1,万 群* * 2(1.中国西南电子技术研究所,成都610036;2.电子科技大学电子工程学院,成都611731)摘 要:针对在阵元数多、分辨率要求高的情况下,基于均匀圆阵的空间谱直接计算方法存在计算量大、实时性差的缺点,利用循环矩阵、离散傅里叶变换、卷积运算之间的内在联系,提出了一种快速空间谱计算方法。仿真结果表明,在保持测向性能完全一致的情况下,所提快速算法降低空间谱计算过程中角度搜索阶段的计算量随阵元数增加而增加;且在相同计算量条件下,所提快速算方法可以用于更高精度和分辨率的角度搜索。关键词:均匀圆阵;空间谱估计;循环矩阵;离散傅里叶变

3、换;卷积运算中图分类号:TN911.7 文献标志码:A 文章编号:1001-893X(2017)12-1399-05Fast Spatial Spectrum Estimation Based onCycle Characteristic of Uniform Circular ArrayHUANG Xiuqiong1,HAO Kegang2,FAN Rong1,WAN Qun2(1. Southwest China Institute of Electronic Technology,Chengdu 610036,China;2. School of Electronic Engineeri

4、ng,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China)Abstract:In the case of the large number of array elements and high resolution requirement, the algorithmfor computing the spatial spectrum directly has low eficiency and poor realtime performance. For this disad-vantag

5、e,this paper proposes an efficient uniform circular array (UCA) based spatial spectrum estimation al-gorithm to ruduce the computational complexity in angle searching phase by using the inner relationship be-tween the eigen-decomposition of the cyclic matrix, the discrete Fourier transform (DFT) and

6、 the convolu-tion operation. When the performance is kept exactly the same as that of the direct algorithm, the proposedalgorithm is able to decrease more computational complexity if there are more array elements. The results ofnumerical simulation show that the proposed fast algorithm can achieve h

7、igher resolution with the same com-puting resources.Key words:uniform circular array(UCA);spatial spectrum estimation;cyclic matrix;discrete Fouriertransform(DFT);convolution operation1 引 言利用天线阵列计算空间谱是计算信号来波方向、进行波束形成等重要应用的关键依据。在电子侦察、雷达、通信、声呐等诸多领域的实际应用中,要求空间谱计算技术具有很高的实时性。因此,研究快速的空间谱计算方法具有重要意义。基于子空间的空

8、间谱计算方法具有超分辨的优点,典型的MUSIC算法的计算量主要集中在子空间9931第57卷第12期2017年12月电讯技术Telecommunication EngineeringVol.57,No.12December,2017*收稿日期:2017-10-03;修回日期:2017-12-08 Received date:2017-10-03;Revised date:2017-12-08基金项目:国家科技重大专项(2016ZX03001022);国家自然科学基金资助项目(U1533125)通信作者:wanqun uestc. edu. cn Corresponding author:wanq

9、un uestc. edu. cn万方数据分解和角度搜索两部分。过去的几十年,学者们在快速子空间分解上开展了大量研究: Xu和Kailath1提出的快速子空间分解算法使用Lanczos快速方法得到协方差矩阵的上三角分解矩阵,然后对其特征分解来获得信号子空间; Melissions和Tufts2提出了由协方差矩阵的多项式近似信号子空间的方法;Karhunen3提出使用离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform,DFT)和余弦变换来近似信号子空间的方法;张柯等人4提出一种基于多级维纳滤波器(Multi-stage Wiener Filter,MSWF)的矢量阵快速来波方向

10、估计算法,选取矢量阵参考阵元声压通道的输出作为期望信号,通过MSWF的递推运算得到信号子空间,无需计算阵列协方差矩阵及特征值分解运算。以上研究工作极大降低了子空间分解的计算量。在角度搜索阶段,需要按照一定的角度间隔在一定的角度范围内确定每一个搜索的角度对应的空间谱值,所有空间谱值构成空间谱。因此,需要计算的空间谱值的个数等于要搜索的角度个数。为了获得高精度、高分辨率的空间谱计算结果,需要设置的角度间隔很小,相应需要搜索的角度个数很多,因而导致计算空间谱所需的时间增加;当阵元数变大时,由于每个搜索的角度所需的计算量变大,又导致计算空间谱所需的时间随着阵元数的增大而巨增5。可见,角度搜索的计算量不

11、容忽视,降低空间谱计算角度搜索阶段的计算量,可以提高高精度、高分辨率的空间谱计算方法的计算效率。目前,针对降低角度搜索阶段计算量的研究比较少,而本文利用均匀圆阵导向矢量间循环移位相等特性与卷积运算的内在联系有效降低了空间谱计算角度搜索阶段的计算量。对算法计算量的分析表明,所提算法降低的计算量与阵元数呈正比。2 信号模型考虑一个具有M个阵元、半径为R的均匀圆阵,每个阵元所在的角度为m =2(m-1) / M,m=1,2, ,M 。 (1)假设有来自K个方向的远场窄带信号冲激该阵列,则阵列的接收信号为x(n)= a(1) a(2) a(K ) s(n)+(n) 。(2)式中:s(n)为阵列参考点圆

12、心处接收到的基带信号,(n)为接收机噪声。阵列方向向量表示为a(k)=ej2cos kej2cos k- 1M2( )左ej2cos k-M-1M 2( ) C M1 。 (3)式中:径波比 = R/ ,方向向量的第m个元素为am(k)= ej2cos(k-m)。本文所研究的方法在空间谱直接计算方法基础上,利用均匀圆阵导向矢量间循环移位相等特性与卷积运算的内在联系,以及离散傅里叶变换与卷积运算之间的对偶关系,降低空间谱直接计算方法角度搜索阶段的计算量,提高空间谱计算效率。3 空间谱快速计算方法在噪声为高斯白噪声的假设下,均匀圆阵接收信号的协方差矩阵谱分解表示为Rx =E(xxH)= Kk=1k

13、ukuHk + Mn=K+1nunuHn 。 (4)式中:k(k=1,2, ,K)为K个大特征值,其所对应的特征向量uk(k=1,2, ,K)构成信号子空间的一组标准正交基;n(n=K+1,K+2, ,M)为M-K个小特征值,其所对应的特征向量un(n = K+1,K+2, ,M)构成噪声子空间的一组标准正交基。本文在已经完成子空间分解得到信号子空间基向量的前提下,研究均匀圆阵空间谱角度快速搜索算法。因此,在算法相关的讨论中,不涉及子空间分解。快速的子空间分解算法可以参见文献1-4。基于子空间的空间谱直接计算方法,对应每个搜索角度,通过下式计算其空间谱值5:f(p)= 1M- Kk=1uHk

14、a(p) 2。 (5)式中:p为第p个搜索的角度,p=1,2, ,P,P为所有搜索的角度的个数;f(p)为第p个搜索角度p对应的空间谱值,所有空间谱值组成空间谱,空间谱的峰值位置对应信号的来波方向;M为均匀圆阵的天线个数;uk表示信号子空间中的第k个向量,k=1,2, ,K,K为信号子空间的维数,也是信号的个数,uHk表示向量uk的共轭转置;a(p)为第p个搜索角度p对应的均匀圆阵方向向量;表示求和,| |2表示取绝对值的平方。将空间谱直接计算方法中的P个搜索角度划分为M个子集,M为阵元个数,对应地得到M个均匀圆阵方向向量子集为0041www. teleonline. cn电讯技术 2017年

15、万方数据a(q+(m-1)2/ M)m=1,2, ,M。 (6)式中:q =(q-1) 2/ P,q =1,2, ,Q,Q=P/ M对应m=1方向向量子集,表示四舍五入取整。结合式(3)可以看到,相邻两个方向向量子集中对应q的方向向量的元素间存在循环移位关系3:a q+k 2 M =0 0 11 0 0左 埙 左0 1 0a q+(k-1)2 M(7)式中:移位矩阵为M阶方阵。用式(6)中各个方向向量子集中对应q的方向向量构成MM滤波矩阵:A=aT(q)aT q+2 M左aT q+M-1M 2 。 (8)因为矩阵A各行之间的循环移位特性,将其作用于信号子空间第k个基向量的共轭向量u*k (k

16、=1,2, ,K),有Wk(q)=A u*k =a1(q) a2(q) aM(q)aM(q) a1(q) aM-1(q)左 左 埙 左a2(q) a3(q) a1(q) u*k 。(9)Wk(q)的第m个元素为Wmk (q)= aT q+m-1M 2 u*k 。 (10)上式等号右边的转置即为式(5)中求和项:uHk a(p)= aT q+m-1M 2 u* kT。 (11)式中:p =q+(m-1) 2/ M。将式(10)、(11)代入式(5)得6f q+m-1M 2 = 1M- Kk=1Wmk (q) 2。 (12)根据(9)式中矩阵A的元素构造序列x(i)=aM+1-i(q),i = 1

17、,2, ,M ,将信号子空间基向量u*k看作序列uk(i),i=1,2, ,M,将向量Wk(q)看作序列Wk,q(i),i=1,2, ,M,那么式(9)可写为序列x(i)与uk(i)的循环卷积:Wk,q(i)= x(i) uk(i) 。 (13)式中:符号表示循环卷积,*表示取共轭。根据循环卷积与傅里叶变换的关系,由关系式(13)可得FFT(Wk(q)= b(q)k。 (14)式中:符号表示向量对应元素相乘;k =(FFT(u*k )b(q)= FFT(Reverse(a(q),符号FFT ( )表示快速傅里叶变换,符号Reverse( )表示将向量倒序排列。由(14)式可得Wk(q)= IF

18、FT(b(q)k) 。 (15)式中:符号IFFT( )表示快速逆傅里叶变换,符号表示向量对应元素相乘。式(15)利用快速傅里叶变换和快速逆傅里叶变换计算出了式(12)中的求和项Wmk (q),m=1,2, ,M。在子空间分解得到信号子空间基向量已经完成的前提下,现将空间谱快速计算算法整理如下:Step 1 确定角度搜索范围、相邻搜索角度之间的间隔d(单位:度)、所有搜索的角度的个数P。Step 2 将P个搜索角度划分为M个子集a(q+(m-1)2/ M),m=1,2, ,M,将第一个子集a(q),q=1,2, ,Q中Q个方向向量倒序排列后进行快速傅里叶变换得b(q),q=1,2, ,Q。St

19、ep 3 基于子空间方法求解样本自相关矩阵信号子空间的所有列向量uk,k = 1,2, ,K并对其进行快速傅里叶变换后再取共轭得到k,k = 1,2, ,K。Step 4 将集合b(q)中的每个向量分别与集合k的所有的向量元素对应相乘再求快速逆傅里叶变换得Q个谱向量集合Wk(q),k = 1,2, ,K(q=1,2, ,Q),每个集合中有K个谱向量。Step 5 将Step 4中得到的Q个集合代入式(12)来计算P个搜索角度上的伪空间谱。4 算法计算量分析及对比计算量统计是以一次复数乘法和一次复数加法为一次运算,即O(1)。设来波信号个数为K,阵元个数为M,搜索方向个数为P。空间谱直接计算方法

20、的角度搜索阶段,由式(5)可知,每计算一个搜索角度上的空间谱值需要求得K个信号子空间基向量与搜索角度对应的阵列方向向量内积后再进行取模平方求和,计算量约1041第57卷黄秀琼,郝克钢,樊荣,等:基于循环特性的均匀圆阵快速空间谱计算第12期万方数据为O(M+1)K)。总共有P个搜索角度,所以空间谱直接计算方法的总计算量为O(P(M+1)K) 。 (16)本文所提空间谱快速计算方法的Step 2中,Q个方向向量的快速傅里叶变换计算量为QO(Mlb M);Step 3中,K个信号子空间向量uk,k=1,2, ,K的快速傅里叶变换计算量为KO(Mlb M);Step 4中,基于快速逆傅里叶变换得到Q个

21、谱向量集合的计算量约为QKO(Mlb M+M);Step 5中,式(12)求得所有P个搜索角度上的空间谱值需要进行QMK次复数取模平方求和,计算量约为O(QMK),故总计算量为所有步骤计算量之和:O(PK(lb M+2)+Plb M+KMlb M) 。 (17)从式(16)和式(17)可知,空间谱直接计算方法的计算量与阵元数M呈线性关系,而本文所提的快速计算方法的计算量与阵元数的对数lb M相关,由此可以推断出快速算法减少的计算量随阵元数增加而增加。换言之,阵元数越多,快速算法所需的时间越短。为了更为直观地展示快速算法的有效性,下面给出了两种算法计算量随阵元数和搜索角度数变化的对比图。考虑均匀

22、圆阵获得高分辨率空间谱的要求,在式(16)和(17)中,设置搜索角度个数P=720;考虑角度估计个数上限为阵元数M,信号来波方向个数设为K=骔M/2夜(符号骔 夜表示向下取整),约为可估计角度个数上限的一半。图1给出了空间谱直接计算方法和空间谱快速计算方法计算量随阵元个数M的变化。图1 角度搜索计算量随阵元数变化(P=720,K=骔M/2夜 )Fig.1 Computational complexity in angle searching phasevs. the number of elements(P=720,K=骔M/2夜 )从图1中可以看出,在分辨率为0. 5、来波信号方向个数约为阵

23、元数一半的条件下,空间谱快速计算方法减少的计算量随着阵元数的增加而增加,且阵元数越多,减少的计算量越多。阵元数M=12时,本文所提算法将角度搜索阶段的计算量减少了52%。图2给出了K=6、M=12时,空间谱直接计算方法和空间谱快速计算方法计算量随搜索角度间隔d=360/ P的变化。图2 角度搜索计算量随分辨力变化(M=12,K=6)Fig.2 Computational complexity in angle searchingphase vs. the resolution(M=12,K=6)从图2中可以看出,相同计算量条件下,空间谱快速搜索算法可以用于更高精度和分辨率的角度搜索。5 性能一

24、致性验证由第3部分的理论推导和式(12)可知,空间谱直接计算方法和本文提出的快速计算方法计算的空间谱完全相同。为了进一步说明所提快速算法在减少计算量的同时保持了空间谱计算的性能,下面给出将两种算法计算得到的空间谱用于DOA估计的性能对比,如图3所示。仿真中,参数设置与第4节一致,均匀圆阵阵元数M = 12,信号来波方向个数K=6,搜索角度个数P=720。为了得到合理的阵列结构,保证DOA估计性能,设置阵列径波比 = 4。接收信号测量快拍数L=20。图3 角度估计性能曲线图(M=12,P=720,K=6)Fig.3 Performance of the DOA estimation(M=12,P

25、=720,K=6)2041www. teleonline. cn电讯技术 2017年万方数据从图3中可以看出,两种方法的空间谱估计性能曲线重合,说明本文提出的快速方法降低计算量是以不损失估计性能为前提的。6 结论在保持测向性能完全一致的情况下,本文所提的空间谱快速计算方法通过降低空间谱计算过程中角度搜索阶段的计算量来提高算法的整体计算效率。在相同的计算成本约束下,本文所提的空间谱快速计算方法可用于更高精度和分辨率的角度搜索。参考文献:1 XU G,KAILATH T. Fast subspace decompositionJ.IEEE Transactions on Signal Proces

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28、ased on multi-stage WienerfilterJ. Acta Armamentarii,2015,36(11):2128-2134.(in Chinese)5 齐崇英.适用于均匀圆阵的阵列互耦校正与信源测向方法:101149429P.2008-03-26.6 万群.采用均匀圆阵快速测定空间谱的方法:201410100251.7P.2014-03-18.7 BABAK. An acceleration of FFT-based algorithms for thematch-count problemJ. Information Processing Letters,2017,

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31、10 WEI L, SHAO W, QI W D, et al. Peak - to - peaksearch: fast and accurate DOA estimation method for ar-bitrary non-uniform linear arrayJ. Electronics Letters,2015,51(25):2078-2080.作者简介:黄秀琼(1971 ),女,重庆万州人,高级工程师,主要从事机载综合射频传感器系统总体技术研究;Email: xiuqhuang sina. com郝克钢(1993 ),男,四川雅安人,博士研究生,主要研究方向为空时自适应处理技术;樊 荣(1984 ),男,四川阆中人,博士,工程师,主要从事综合射频认知系统设计与开发;Email: fanrong alu. uestc. edu. cn万 群(1971 ),男,江西南昌人,教授、博士生导师,主要研究方向为阵列信号处理、认知无线电定位等。Email: wanqun uestc. edu. cn3041第57卷黄秀琼,郝克钢,樊荣,等:基于循环特性的均匀圆阵快速空间谱计算第12期万方数据