2022年点到直线的距离公式.docx

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1、精品学习资源点与直线直线方程一. 教学内容：点到直线的距离；点关于点、关于直线的对称点；直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习；二. 学问点：1. 点到直线距离公式及证明欢迎下载精品学习资源d| Ax0By 0C|A 2B 2欢迎下载精品学习资源关于证明：依据点斜式，直线PQ 的方程为不妨设 A 0B欢迎下载精品学习资源yy0 xx0 ,A欢迎下载精品学习资源即 BxAyBx0Ay0 ，欢迎下载精品学习资源解方程组AxByC0 BxAyBx0Ay0，欢迎下载精品学习资源00B 2 xAByAC得 x22，AB这就是点 Q 的横坐标，又可得欢迎下载精品学习资源20x xB x0ABy 0

2、2ACA x0A 2B 22B x0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A Ax0A 2By0CB 2，欢迎下载精品学习资源y yB xx B Ax0By0C ，欢迎下载精品学习资源0A0所以，A 2B 2欢迎下载精品学习资源00d xx 2 yy 200 AxByC2A2B 2欢迎下载精品学习资源|Ax 0By 0C|A 2B 2；这就推导得到点 Px 0， y 0到直线 l ：Ax+By+C=0的距离公式；假如 A=0 或 B=0 ，上式的距离公式仍旧成立；下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法；设点 Q 的坐标为 x1， y1 ，就欢迎下载精品学习资源Ax1By1C 0,欢迎下

3、载精品学习资源y1y0x1x0B A 0 ， A欢迎下载精品学习资源把方程组作变形，A x1x0B y1y0 Ax0By0C，B x1x0 A y1y0 0把，两边分别平方后相加，得欢迎下载精品学习资源 A 2B2 xx 2 B2A2 yy 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1010 Ax0By0C 2 ，欢迎下载精品学习资源2所以，欢迎下载精品学习资源2 x1x0 所以， y1y0 Ax 0A 2By0B 22C，欢迎下载精品学习资源22d x1x0 y1y0 欢迎下载精品学习资源|Ax 0A2By0C| B 2欢迎下载精品学习资源此公式仍可以用向量的有关学问推导，介绍如下：设P1

4、x1， y1 、P2 x2 ，y2 是直线l上的任意两点，就欢迎下载精品学习资源Ax1Ax 2By 1C0By2C0欢迎下载精品学习资源把、两式左右两边分别相减，得欢迎下载精品学习资源A x1x2 B y1y2 0，欢迎下载精品学习资源由向量的数量积的学问，知欢迎下载精品学习资源n P2 P10，这里 n=A ， B；所以 n=A ， B是与直线 l 垂直的向量；当n与P1 P0 的夹角 为锐角时，d| P1 P0|cos ，如下图欢迎下载精品学习资源当n与P1 P0的夹角 为钝角时，欢迎下载精品学习资源d| P1 P0 |cos180| P1 P2|cos| P1 P0 |cos |如下图所

5、以，都有d| P1 P0|cos |，由于欢迎下载精品学习资源n P1 P0所以d|n|n| | P1P0| cos ，P1P0|欢迎下载精品学习资源|n|欢迎下载精品学习资源| A, B x0A2x1 ，y0 B 2y1 |欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源|A x0x1 A2B y0B 2y1|欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源|Ax 0A2By0C| B 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 由于Ax1By1C0，所以Ax1By1C欢迎下载精品学习资源2. 平行线间的距离公式3. 点关于点的对称点中点坐标公式4. 已知 P0x 0， y0直线 l： Ax+By+C=0

6、B 0点P0 x0 ，y0 关于直线 l的对称点：设为P1 x1，y1欢迎下载精品学习资源A x0x1B y0y1C0欢迎下载精品学习资源就22y1y0 A1 x1x0B特殊地关于特殊直线的对称点；x 轴、 y 轴、直线 y=x ，直线 y= x5. 直线 l 关于点 P0 x0， y0对称直线三种方法欢迎下载精品学习资源6. 直线l关于直线 l1A1 xB1 yC10的对称直线三种方法 欢迎下载精品学习资源特殊地直线 l 关于特殊直线 y= x+b 的对称直线；欢迎下载精品学习资源【典型例题】例 1.求与直线 l：5x12y60平行且到 l的距离为2的直线的方程；欢迎下载精品学习资源欢迎下载

7、精品学习资源解法一： 设所求直线的方程为 5x12 yc0，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在直线 5x12 y60 上取一点P0 0，1 ，2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源点P0 到直线 5x12 yc0的距离为欢迎下载精品学习资源| 12 1c|d2|c6|欢迎下载精品学习资源52 12 213|c6|由题意，得2；13欢迎下载精品学习资源 c=32 或 c= 20，所求直线方程为 5x12 y320和5x12y200；欢迎下载精品学习资源解法二： 设所求直线的方程为5x12yc0，由两平行直线间的距离公式，欢迎下载精品学习资源得2|c526|12 2，解之，欢迎下载精品

8、学习资源得c32或c20；故所求直线的方程为欢迎下载精品学习资源5x12y320和5x12 y200；欢迎下载精品学习资源小结： 求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离；也可以直接套两平行欢迎下载精品学习资源线间的距离公式 d|C2A 2C1| ；B 2欢迎下载精品学习资源例 2. 已知正方形的中心为G 1， 0，一边所在直线的方程为x+3y 5=0，求其他三边所在的直线方程；解： 正方形中心 G 1，0到四边距离均为| 15|6；1232101设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c 1

9、=0；欢迎下载精品学习资源就 | 1c1 | 106，即 |c 101|6 ；欢迎下载精品学习资源解得c15或c17；故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0设正方形另一组对边所在直线的方程为3x y+c2=0 ；欢迎下载精品学习资源就 |3 110c2 |6，10欢迎下载精品学习资源即|c23|6，解得c29或c23；所以正方形另两边所在直线的方程为：欢迎下载精品学习资源3xy90和3xy30；欢迎下载精品学习资源综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：欢迎下载精品学习资源x 3y70、3xy90、3xy30；欢迎下载精品学习资源小结： 本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到

10、直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程；欢迎下载精品学习资源例 3.求直线x2 y10关于直线 xy10对称的直线的方程；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2 y由10，x1， 得欢迎下载精品学习资源解法一：xy10，y0欢迎下载精品学习资源点 1，0为两已知直线的交点；设所求直线的斜率为k，由一条直线到一条直线的角的公式，11欢迎下载精品学习资源得2k11121 ，k2；k欢迎下载精品学习资源故所求直线方程为欢迎下载精品学习资源y 2 x1 ，即2xy2 0；欢迎下载精品学习资源解法二： 由解法一知两已知直线的交点为A 1， 0；1欢迎下载精品学习资源在直线 x2 y10

11、 上取一点B0， ， 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设点B关于直线 xy10的对称点为C x0 ，y0 ，就欢迎下载精品学习资源1y0x020221y010，欢迎下载精品学习资源2 11x003解得x02 ，y01；欢迎下载精品学习资源 C点的坐标为 3 ， 1；2欢迎下载精品学习资源直线AC的方程为 y0x1 ， 2 xy20，欢迎下载精品学习资源10312欢迎下载精品学习资源即直线x2 y10关于直线 xy1 0对称的直线的方程为2xy2 0；欢迎下载精品学习资源解法三： 设 Px ，y是所求直线上的任一点，P 关于直线 x y 1 0 对称的点为 P0x0， y 0，就P0

12、在直线x2 y10上；欢迎下载精品学习资源x02 y010，欢迎下载精品学习资源kyy0 ，欢迎下载精品学习资源PP0xx0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源线段 PP的中点是M xx0 ，yy0 ；欢迎下载精品学习资源022点P与点P0 关于直线 xy10对称，yy0 11， xx0欢迎下载精品学习资源x x0yy010；欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源 x0 y01y，1x；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源代入x02y010，得欢迎下载精品学习资源1y21x10，即2xy20为所求；解法四：直线 x+y 1=0k= 1欢迎下载精品学习资源x由 x+y 1=0y1

13、y21x 1=02x y2=0 即为所求；1y1x 代入 x 2y 1=0 得欢迎下载精品学习资源小结： 求直线 l 关于直线 l 1 对称的直线的方程，只要在l 上取两点 A、 B，求 A 、B 关于 l 1 的对称点 A 、B，然后写出直线 AB 的方程即为所求； 解法二和解法三中，都用到了求一个点P 关于某直线 l 的对称点 P0 的问题； 这个问题的解法就是依据：直线 P0P 与直线 l 垂直； 线段P0P 的中点在直线l 上，列出方程组解出x 0、y 0，代入 x 0、y 0 所满意的方程，整理即得所求直线 的方程；欢迎下载精品学习资源例 4.求经过直线 3x截距相等的直线方程；2

14、y60和2x5y70的交点，且在两坐标轴上的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解法一：x3x由方程组2 x4 ，2y60，5y70，欢迎下载精品学习资源得y 3；两已知直线的交点为4， 3；当所求直线在两坐标轴上的截距都是0 时，直线的横截距、纵截距相等；欢迎下载精品学习资源所求直线的方程为 y3 x，4欢迎下载精品学习资源即3x4 y0；当所求直线不过原点时，设所求直线方程为 xya，由于点 4， 3在直线 x+y=a 上， 43a，a1，故所求直线方程为 xy10；欢迎下载精品学习资源综上所述，所求直线方程为 3x4 y0或xy10；欢迎下载精品学习资源解法二： 所求直线经过直线 3

15、x2y60和直线 2x5y70的交点，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以可设所求直线的方程为 3x2y62x5y70* ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 *式中，令 x0得y76 ；25欢迎下载精品学习资源令y0得x76 ；32欢迎下载精品学习资源由题意，得 762576 ；32欢迎下载精品学习资源所以6 或7把6 和71 ；31 分别代入3*式整理，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即得 3x4y0和xy10；欢迎下载精品学习资源小结： 解法一设直线的截距式时留意了截距为0 的情形；故而没有直接设成xy1的形式，解法二中用到了过两直线A xB yC0与A xB y

16、C111222aa欢迎下载精品学习资源 0的交点的直线系方程：A1 xB1 yC1 A2 xB2 yC2 0；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 5.已知两条直线列条件的 a、 b 的值；l1：axby40，l 2： a1) xyb0，求分别满意下欢迎下载精品学习资源1直线 l 1 过点 3， 1，并且直线 l 1 与直线 l2 垂直；2直线 l 1 与直线 l 2 平行，并且坐标原点到l1、l2 的距离相等；分析： 考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法；欢迎下载精品学习资源解： 1l 1l2 ，aa1b10欢迎下载精品学习资源a 2ab0又点 3， 1在 l1 上， 3ab40由

17、、解得 a=2，b=2 ；2 l 1 l2 且 l 2 的斜率为 1 a； l 1 的斜率也存在，a1a， ba b1a故 l1 和 l2 的方程可分别表示为欢迎下载精品学习资源l1 ： a1) xy4a10，a欢迎下载精品学习资源l 2 ： a1 xya0；1a欢迎下载精品学习资源原点到 l 1 和 l 2 的距离相等，欢迎下载精品学习资源 4| aa1 | |1a|， a a2 或a23欢迎下载精品学习资源a2，a2 ， 因此或3b2，b2小结： 在 2中由于 l 1 l 2， l2 有斜率，从而得出l 1 有斜率，即 b 0；欢迎下载精品学习资源例 6.已知函数 f最小值时 x 的值；

18、xx 22x2x 24x8，求fx的最小值，并求取得欢迎下载精品学习资源解： fxx22x2x24x8欢迎下载精品学习资源2 x12 012 x22 02欢迎下载精品学习资源它表示点 Px， 0与点 A 1， 1的距离加上点 Px， 0与点 B2， 2的距离之和， 即在 x 轴上求一点 Px， 0与点 A 1， 1、B 2， 2的距离之和的最小值；由以下图可知，转化为求两点A 1， 1和 B 2， 2间的距离，其距离为函数fx 的最小值；欢迎下载精品学习资源 f x的最小值为12 212210欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再由直线方程的两点式得A B方程为 3xy40；欢迎下载精品学

19、习资源欢迎下载精品学习资源令y0 得x4 ；当 x34 时， f3 x 的最小值为10；欢迎下载精品学习资源小结： 数形结合是解析几何最根本的思想，因此此题联系图形求解，使解法直观、简捷而且精确，易于入手；例 7. 用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；证明： 建立如下图的坐标系，欢迎下载精品学习资源A a，0， B0， b， C a， 0，a 0， b0，就直线AB的方程为 bxayab0，直线BC的方程为 bxayab0设底边 AC 上任意一点为 Px， 0 a x a，欢迎下载精品学习资源就P到AB的距离| PE |bxab|bax欢迎下载精品学习资源a

20、2b2a 2b 2欢迎下载精品学习资源P到BC的距离为 |PF |bxab|bax欢迎下载精品学习资源A到BC的距离 ha 2|baab|b2a 2b 22 ab欢迎下载精品学习资源 |PE | |PF |a 2b axb 2a 2b 2bax2 abh欢迎下载精品学习资源原命题得证；a 2b 2a 2b 2a 2b 2欢迎下载精品学习资源例 8. 等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3xy 0，一条直角边所在直线l 经过点 4， 2，且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标；解： 设直角顶点为C， C 到直线 y=3x 的距离为 d，1欢迎下载精品学习资源就 d 2d 210，3

21、k1欢迎下载精品学习资源 d10，设 l的斜率为k，就13ktan 451k2欢迎下载精品学习资源 l的方程为 y21 x24 ，即 x2 y80欢迎下载精品学习资源设l 是与直线 y3x平行且距离为10的直线，欢迎下载精品学习资源就l 与l的交点就是C点，设l 的方程是3xym0，欢迎下载精品学习资源就 | m| 1010， m 10 ，欢迎下载精品学习资源l 的方程是 3xy100欢迎下载精品学习资源由方程组x2 y80x及2 y80得C点坐标是12 ，14 或欢迎下载精品学习资源28 ， 534 53xy1003xy10055欢迎下载精品学习资源例 9.已知直线 l：2m x12m y4

22、3m0，欢迎下载精品学习资源1求证：不管 m 为何实数，直线 l 恒过肯定点 M ；2过定点 M 作一条直线 l 1，使 l 1 夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求 l1 的方程；3假设直线 l 2 过点 M ，且与 x 轴负半轴、 y 轴负半轴围成的三角形面积最小，求l2 的方程；欢迎下载精品学习资源解： 1 化原直线方程为2xy4mx2 y30，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 xy由40，定点M的坐标为 1， 2欢迎下载精品学习资源x2 y30欢迎下载精品学习资源(2) 设过点M的直线方程为 xay1， b欢迎下载精品学习资源它与 x 轴、 y 轴分别交于 A a， 0，

23、B 0， b； M 为 AB 中点，由中点坐标公式得a= 2， b= 4，所求直线方程为 2xy40欢迎下载精品学习资源(3) 设所求直线l2的方程为 y2k x1 k0，欢迎下载精品学习资源它在x轴， y轴上的截距分别为 a，b，就易得：欢迎下载精品学习资源S1 |a| |b|1 | 21| |k2|1 12 2k 21 k 44欢迎下载精品学习资源22 k2k2k 欢迎下载精品学习资源当且仅当 k 2 时，围成的三角形面积最小，欢迎下载精品学习资源所求的直线方程为 y22 x1，即 2xy40欢迎下载精品学习资源【模拟试题】1. 已知直线 l 经过点 P 5， 10，且原点到它的距离为5，

24、就直线 l 的方程为；欢迎下载精品学习资源2. 设 0， 2 ， 就 点 P 1 ， 1 到 直 线 x cosy sin2 的 最 大 距 离 是欢迎下载精品学习资源 ；3. 已知点 P 1， cos到直线x siny cos1的距离等于1 ，且4 0，2 ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 ；4. 如图，已知正方形 ABCD 的中心为 E 1，0，一边 AB 所在的直线方程为x求其他三边所在直线的方程；3 y50 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 求平行线 2x7 y80和2x7 y60 的距离；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 求过点 A 1， 2且与

25、原点的距离为22 的直线方程；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7. 求过点 P1， 2且被两平行直线 l1 ：4 x3y10与l 2： 4x3y60 截得的线段欢迎下载精品学习资源长为2 的直线方程；8. 求过点 P0， 2且与点 A 1， 1， B 3，1等距离的直线 l 方程；欢迎下载精品学习资源9. 原点关于直线 8x6 y25 的对称点坐标是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 2， 3 A. 2 25 ，B. 825 6C.3， 4D. 4， 31991 年全国高考题欢迎下载精品学习资源【试题答案】欢迎下载精品学习资源1.3x4 y250或x5欢迎下载精品学习资源提示：1

26、当直线 l 的斜率存在时，可设l 的方程为 ykxb ；4105kb，k3 ，4|b|5， 解得25欢迎下载精品学习资源依据题意，得k 21b欢迎下载精品学习资源所求的直线 l 的方程为 3x4 y250 ；欢迎下载精品学习资源2当直线 l 的斜率不存在时，直线的倾斜角为2 ，即直线 l 与 x 轴垂直；依据题意，得所求直线l 的方程为 x5 ；2.22欢迎下载精品学习资源提示：点 P1， 1到直线 x cosy sin20 的距离为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22d|cossin2|sincos2| |2 sin2|欢迎下载精品学习资源cos 0， 2sin4；，欢迎下载精品学习

27、资源欢迎下载精品学习资源当 sin 451，即时， d|422|22最大；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 提示：|sincos21|1 ，由4 sin12 ； 0，sin 22得sin104，欢迎下载精品学习资源4. 解：可设 CD 所在直线方程为：x3ym0，欢迎下载精品学习资源就 |m5|2 | 105| ，12321232欢迎下载精品学习资源m7或17 ；欢迎下载精品学习资源点 E 在 CD 上方， m 17；经检验不合题意，舍去；欢迎下载精品学习资源 m=7 ， CD 所在直线方程为 x AB BC ，3 y70 ；欢迎下载精品学习资源可设 BC 所在直线方程为3 xyn

28、0 ，欢迎下载精品学习资源| 30n|105|欢迎下载精品学习资源就12321232， n=9 或 3；欢迎下载精品学习资源经检验， BC 所在直线方程为 3xy90，欢迎下载精品学习资源AD 所在直线方程为 3xy30 ；欢迎下载精品学习资源综上所述，其他三边所在直线方程为x3y70， 3xy90，3xy30 ；欢迎下载精品学习资源5. 分析：在直线上任取一点，求这点到另始终线的距离；欢迎下载精品学习资源解： 在直线 2 x7 y60 上任取一点，如 P 3， 0，欢迎下载精品学习资源就点 P3， 0到直线 2 x7 y80 的距离就是两平行线间的距离；欢迎下载精品学习资源d|2 37 08

29、|141453欢迎下载精品学习资源因此留意2 2725353；欢迎下载精品学习资源用上面方法可以证明如下结论：一 般 地 ， 两 平 行 直 线 AxByC10 和 AxByC20 C1C2 间 的 距 离 为欢迎下载精品学习资源d|C1 A 2C2|B 2 ；欢迎下载精品学习资源6. 分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k；欢迎下载精品学习资源解：设直线方程为y2k x1) ，就 kxy2k0 ；欢迎下载精品学习资源|2k|k 2122 ，解之得 k1或k7；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故所求直线的方程为y2x1 或 y27 x1 ，欢迎下载精品学习资源即 x

30、y10或7xy50 ；欢迎下载精品学习资源7. 分析：先画图，由图形易求得两平行直线间的距离为1，就所求直线与两平行直线成45欢迎下载精品学习资源角，就由夹角公式求得所求直线的斜率k7 或k17 ；欢迎下载精品学习资源解：易求得两平行直线间的距离为1，就所求直线与两平行直线成45角，k4|3 |tan45 1欢迎下载精品学习资源设所求直线的斜率为k，就14 k3，欢迎下载精品学习资源k解之得7 或k17 ；欢迎下载精品学习资源所求直线方程为x留意7y150或7xy50；欢迎下载精品学习资源在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程；8. 分析：画图分析，可知符合题意的直线l 有 2 条；解：画图分析，可知符合题意的直线l 有 2 条；其始终线经过AB 的中点；其二直线与AB所在的直线平行；又由AB 的中点为 1， 1得所求直线为 yx2 ；当所求直线与 AB 所在的直线平行时，得所求直线方程为y2 ；欢迎下载精品学习资源8 x9. 解：直线6 y25的斜率为y3 x43 ，与它垂直的直线斜率为34 ，因此原点关于此直线欢迎下载精品学习资源对称的点应在直线4上；欢迎下载精品学习资源对比选项，只有 4， 3在直线上，应选D；评注此题考查直线方程和对称点的有关学问；欢迎下载