2022年理论力学习题解.docx

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1、精品学习资源理论力学作业解答1-3 已知曲柄 OAr , 以匀角速度绕定点 O 转动 ,此曲柄借连杆 AB 使滑动 B 沿直线 Ox运动 .设 ACCBa ,AOB,ABO.求连杆上 C 点的轨道方程及速度 .欢迎下载精品学习资源解: 设 C 点的坐标为x, y ,就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x r cosy r sinacos asin欢迎下载精品学习资源yasin联立上面三式消去,得欢迎下载精品学习资源 xa 1y 2 / a2 24 y2r 2欢迎下载精品学习资源整理得轨道方程欢迎下载精品学习资源4 x2 a 2y2 x23 y2a 2r 2 2欢迎下载精品学习资源设 C

2、点的速度为 v ,即欢迎下载精品学习资源vx2y2r 2 2 sin22arsinsina22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源考虑 A 点的速度 y Arcos2acos欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得r cosr cos欢迎下载精品学习资源2 acos2a cos欢迎下载精品学习资源所以 vr 2cos2cos4sincossin欢迎下载精品学习资源1-4 细杆 OL 绕 O 点以匀角速度转动,并推动小环 C 在固定的钢丝AB 上滑动 ,图中的 d 为一已知常数 .试求小环的速度 v 及加速度 a 个人收集整理勿做商业用途解: 小环 C 的位置由 x 坐标确定xd tan欢

3、迎下载精品学习资源vxdsec2d 2x2d欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ax2d解法二 :2 sec2tan2d 2x22 xd欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 v 为小环相对于 AB 的速度 ,v1为小环相对于 OL 的速度 , v2为小环相绕 O 点转动的速度 ,欢迎下载精品学习资源就 vv1v2又设 OL 从竖直位置转过了角,就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源sinx,x2d 2cosdx2d 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源vv1v2vx2d 22coscostantanx2 x2dd2xdd 2x2x2d 2d 2 欢迎下载精品学习资源所以 ,

4、小环相对于 AB 的速度为 v,方向沿 AB 向右.d欢迎下载精品学习资源21-10 一质点沿着抛物线y2 px 运动 .其切向加速度的量值为法向加速度量值的2k 倍.如p此质点从正焦玄 , p 的一端以速度 u 动身 ,试求其达到正焦玄另一端时的速率.个人收集整理2欢迎下载精品学习资源勿做商业用途2解:设条件为akan ,anv ,advdv ddsv dv dtdds dtd欢迎下载精品学习资源上面三式联立得dv2kd v欢迎下载精品学习资源两边积分v dvu d0 2kd,0vue 2k欢迎下载精品学习资源由 y22 px 可得 dypdxy欢迎下载精品学习资源在正焦玄两端点A p ,

5、p 和2pB, 2p 处, yA1 , yB1 .可看出 ,两点处抛物线得切线斜欢迎下载精品学习资源率互为倒数 ,即,代入得2vue k1-15 当一轮船在雨中航行时,它的雨蓬遮住篷的垂直投影后2m 的甲板 ,蓬高 4m .但当轮船停航时 ,甲板上干湿两部分的分界线却在蓬前3m ,假如雨点的速率为 8m/ s,求轮船的速率 . 个人收集整理 勿做商业用途欢迎下载精品学习资源解: 设相对于岸的速度为v0 ,雨相对于岸的速度为v ,雨相对于船的速度为vr 就欢迎下载精品学习资源vrvv0速度三角形与三角形ABC 相像,得欢迎下载精品学习资源v0BCvAB2314232欢迎下载精品学习资源欢迎下载精

6、品学习资源所以 v0v8m/ s欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方程 y33 p 2 y2 p 2h0 的解欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解: 作变换 yzp 2,原方程变为 z3z6p2 p2h0 z3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6设 Rpp 4h2 , A p2hR1/3 , Bp p 2hR1/3 3A13,i 就22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源实根 y1AB p2hR1/3 p 2hR1/3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源两个虚根 :y2A2 B , y2AB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3对于该题 ,只取实根 .1-38 已

7、知作用在质点上的力为Fxa11xa12 ya13 z , Fya21xa22 ya23z ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Fza31xa32 ya33z 其中ai , j i , j1,2,3 都是常数 ,问这些ai, j应满意什么条件才有势能欢迎下载精品学习资源存在 .假如这些条件满意,试求其势能 .欢迎下载精品学习资源解: 由F0 得:ai , ja j,i i , j1,2,3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dVFxdxFydyFzdza11xa12 ya13zdxa21xa22 ya23zdya31xa32 ya33 zdz欢迎下载精品学习资源xyz欢迎下载精品学习资

8、源Va11xdx a21xa22 ydya31xa32 ya33 zdz欢迎下载精品学习资源000221 a x2a ya z2a xy2ayz2a zxc21122331223311-39 一质点受一与距离3/2 次方成反比得引力作用在一条直线上运动,试证该质点自无穷远欢迎下载精品学习资源到达 a 时的速度v1 和自 a 静止动身到达a / 4 时的速率v2 相同 .个人收集整理 勿做商业用途欢迎下载精品学习资源dvdv1欢迎下载精品学习资源解: 依题意有 mdtv1a1mvdvdxmv dxx3/ 21 mv2,两边积分2欢迎下载精品学习资源,10x3/ 22a欢迎下载精品学习资源再积分v

9、2mvdv0a41a x3/ 2dx ,1 mv2212a欢迎下载精品学习资源可知 v1v2欢迎下载精品学习资源1-43 假如质点受有心力作用而作双纽线r 2a 2 cos 2的运动时，就欢迎下载精品学习资源3ma4 h2Fr 7欢迎下载精品学习资源试证明之；解：比耐公式h2u 2 d 2uFu欢迎下载精品学习资源d2m欢迎下载精品学习资源211而 u2代入得欢迎下载精品学习资源d 2ura cos245欢迎下载精品学习资源23a uud3ma4 h2Fr 71-44 质点所受的有心力假如为2Fm23 rr欢迎下载精品学习资源式中，及 都是常数，并且h 2 ，就其轨道方程可写成ra1ecosk

10、；试证欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源h2k2 h 2Ak 2h 2欢迎下载精品学习资源明之；式中 k 2， a， e（ A 为积分常数） ；欢迎下载精品学习资源h 222欢迎下载精品学习资源解：比耐公式h 2u 2d 2uFu将 F 代入得欢迎下载精品学习资源d2m欢迎下载精品学习资源d 2uk 2u2h22，式中 k欢迎下载精品学习资源d2h2h2欢迎下载精品学习资源其解为uAcos kk 0 k 2 h222k2 h2a欢迎下载精品学习资源rAk 2h212coskk 0 1ecoskk 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源式中 ak 2 h22， eAk 2h 22欢迎下

11、载精品学习资源将基准线转动一角度，可使00 得欢迎下载精品学习资源ra1ecosk2-2 如自半径为为 a 的球上，用一与球心相距为b 的平面，切出一球形帽，求此球形帽的质心；解：方法一球形帽可看作由很多圆薄片沿Z 轴叠成，其质心坐标xcyc0欢迎下载精品学习资源rr cos zbr 2 sin2dzcoscos3d cos 欢迎下载精品学习资源cr r 2 sin2bdzcos11cos2d cos 欢迎下载精品学习资源1214欢迎下载精品学习资源rcos24 cos3 rb2欢迎下载精品学习资源cos1cos3coscos1b / r4 2rb欢迎下载精品学习资源3方法二cosb / r欢

12、迎下载精品学习资源取任一垂直于OZ 轴的两平面来截球冠，截得一微圆球台近似地等于圆柱；欢迎下载精品学习资源dmdVsdzr 2z2dz欢迎下载精品学习资源rrr12214欢迎下载精品学习资源zdmr 2z2 zdzr zz 243 rb2欢迎下载精品学习资源zbbb欢迎下载精品学习资源crrdmbb22rzdzrr 2z1 z3 3b4 2rb欢迎下载精品学习资源2-3 重为 W 的人，手里拿着一个重为w 的物体；此人用与地平线成角的速度向前跳去；当他达到最高点时，将物体以相对速度u 水平向后抛出；问：由于物体的抛出，跳的距离增加了多少？ 个人收集整理 勿做商业用途解：选人与重物组成一个系统，

13、 此系统在水平方向无外力作用，水平方向动量应守恒；欢迎下载精品学习资源人在抛出重物以前，水平速度为v0 cos，在最高点抛出重物之后，其水平速度变为v ，就欢迎下载精品学习资源个人收集整理勿做商业用途W vw v cosuWwv cos00gggg人抛出重物后，做以v 为初速的平抛运动，比不抛重物落地点要远，增加的距离欢迎下载精品学习资源xv v0 sinv0 cosv0 sin欢迎下载精品学习资源gg欢迎下载精品学习资源两式联立得xw uv0 sin Wg欢迎下载精品学习资源争论：如抛出物体时速度是相对人后来的速度即v ，就上面第一个方程变为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0W vw

14、 vuWwvcos欢迎下载精品学习资源gggg欢迎下载精品学习资源结果是xwuv0 sin Wwg欢迎下载精品学习资源一个例子：人重 60 公斤，物重 2 公斤，起跳速度 5m/ s ，抛物速度 10m/ s ，就x0.12m2-13 长为 l 的匀称细链条伸直地平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边沿垂直，此时链条的一半从桌上下垂；起始时，整个链条是静止的；试用两种不同的方法，求此链条的末端滑到桌子的边沿时，链条的速度；个人收集整理 勿做商业用途解：【方法一】欢迎下载精品学习资源设链条的线密度为，就 t 时刻下落的链条质量为m l 2y，此时链条所受的欢迎下载精品学习资源重力为 mg l2yg

15、，依据牛顿其次定律有欢迎下载精品学习资源l dv dt lyg 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源作变换 vdy ,tdv代入上式欢迎下载精品学习资源vdv两边积分dty ly gdy 2vvdvl2 ly gdy ，v13 gl欢迎下载精品学习资源0022【方法二】设链条的线密度为，当链条往下移y ，重力做的功为yWygdygyy0lWl gydymg 3l281 mv2Wmg 3l ，v13gl282欢迎下载精品学习资源关系；2 16 雨滴下落时， 其质量的增加率与雨滴的表面积成正比例，求雨滴速度与时间的解：变质量动力学方程欢迎下载精品学习资源d mvdm umg欢迎下载精品学习资

16、源dtdt设水蒸气凝聚在雨滴上之前在空气中的速度u0 ，代入上式得欢迎下载精品学习资源m dvv dmmgdtdt欢迎下载精品学习资源设雨滴半径 r 的增长率为， rat ，式中 a 为 t0 时雨滴的半径， 雨滴的质量欢迎下载精品学习资源m43dv3r 3 ，式中为密度vg欢迎下载精品学习资源dtat欢迎下载精品学习资源其解 vat 3g at 4c 4ga4欢迎下载精品学习资源设 t0 时， v0 的 c4欢迎下载精品学习资源ga 4欢迎下载精品学习资源vat 4 at 3 欢迎下载精品学习资源5.1 半径为 r 的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端欢迎下载

17、精品学习资源就在碗外，在碗内的长度为c ，试证棒的全长为解：如图示，主动力mg ，由虚功原理得4 c22r 2 c；个人收集整理 勿做商业用途欢迎下载精品学习资源mgy0l欢迎下载精品学习资源而 y2rcos sin 2欢迎下载精品学习资源mg2rcos2l cos 02欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4r cos 24c2lcos2r 2c欢迎下载精品学习资源争论：对直角坐标，由虚功原理有欢迎下载精品学习资源WFxx Fyy mgy0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源似乎不能选 y 做广义坐标；实际上，如选y 做广义坐标，就广义力不是Fy ，而是欢迎下载精品学习资源QF dxF

18、yxydy欢迎下载精品学习资源平稳条件是 QFdxF0 而不是 F0欢迎下载精品学习资源yxydy此题中，平稳方程是奇点方程dxdyy，即 dy0 ，解之得dx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4c2l2r 2 c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源广义坐标的定义域A ， dxdy的定义域 B ，平稳位置在 A 内，但不再 B 内，即平稳方程是奇点欢迎下载精品学习资源方程 dx；dy2P359【例题 5.3】轴为竖直而顶点在下的抛物线形金属丝，以匀角速度绕轴转动；一质量为 m 的小环，套在此金属丝上，并可沿着金属丝滑动；试用正就方程求小环在在x 方向的欢迎下载精品学习资源运动微分方程

19、并求解方程；已知抛物线的方程为x4ay ，式中 a 为一常数； 个人收集整理勿欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源做商业用途解：体系动能T1 m x2 2y2 2x2 欢迎下载精品学习资源体系势能Vm g y欢迎下载精品学习资源x2而 y，所以4ayx x 2a欢迎下载精品学习资源1x2欢迎下载精品学习资源所以 Tm x2 124a22 x2 T2T0欢迎下载精品学习资源2Vmg x 4a1x2x2欢迎下载精品学习资源拉氏函数LTVm x2124a 22 x2 mg4a欢迎下载精品学习资源1x2x2欢迎下载精品学习资源哈密顿函数HTTVm x2 12 x2 mg欢迎下载精品学习资源2024

20、a 24 aLx2ppmx1 ，xx欢迎下载精品学习资源xx4a 2m 1x24a2 欢迎下载精品学习资源1p 2mx2Hx2 x2mg欢迎下载精品学习资源2 m 1x2 4a 224a欢迎下载精品学习资源代入正就方程得x2xxm1 xmx2m2xmg0欢迎下载精品学习资源4a2初始条件： t4a 20, xx0 , x0 ，令2a12g4a2 ，2a欢迎下载精品学习资源方程变为1x2 xxx 2x0当0 时1x2 C1x2 C1Arth1Cx2 x22tC 21其中 C1x0 ， 2C221x0 C12x0 2C12Arth1C1x0 x0 2当0 时1x2 C1x2C1Arth1Cx2 x2 2tC 2122其中 C21x C0x C11x0， 2C102Arth1C1x0 x0 22欢迎下载