2022年点与曲线空间投影的探讨_学士学位论说.docx

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1、精品学习资源西安文理学院学士学位论文点与曲线空间投影地探讨系 院 名 称数学与运算机工程学院西安文理学院数学与运算机工程学院欢迎下载精品学习资源点与曲线空间投影地探讨（西安文理学院数学与运算机工程学院，陕西西安， 710065）摘要： 空间投影是解读几何地重要内容之一，而且其应用很广泛.本文介绍了空间投影地概念，给出了点与曲线空间投影地概念及其求法，并分析了空间曲线在坐标平面地投影地误区所在，将点与曲线空间投影整体做了归纳，并总结了几种投影地详细求法.关键词：空间地点；空间地直线；空间地曲线；投影.The projection of points and curves in spaceWang

2、 Chun Mathematics and computer engineering Xian University of Arts and Science College of Xian, Shaanxi,710065Abstract: the analytic geometry of space projection is one of the important contents, but also its application is very extensive. This paper introduces the concept of space projection is pre

3、sented, and the curve of space projection concept and method, and an analysis of space curve in a coordinate plane projection of the misunderstandings, the points and curves in space projection overall summarized, in the projection of lines, points in the projection plane, straight line in the plane

4、 of projection, curve in the coordinates of the projection and the curve in the general plane of projection, and the curve in stereo in the projection plane, and error-prone areas summarized.Key words: point of space ； space straight line； space curve； projection.前言：投影在几何争论领域有着重要位置，点与曲线是几何争论中比较普遍地东西

5、，也是至关重要地内容，有很多技巧和方法需要我们把握，本文主要通过实例说明问题并将其归纳总结，也指出了在求投影时常常出错地地方，并总结了求点与曲线地各种投影地方法.一、预备学问空间曲线地一般方程欢迎下载精品学习资源空间曲线 C 可看作空间两曲面地交线.zS1S2Coyx欢迎下载精品学习资源F x, y, zG x, y, z0叫做空间曲线地一般方程.0欢迎下载精品学习资源特点：曲线上地点都满意方程，满意方程地点都在曲线上，不在曲线上地点不能同时满意两个方程 .欢迎下载精品学习资源空间曲线地一般方程F x, y, zGx, y, z0， 当给定 t0t1 时，就得到曲线上地一个点欢迎下载精品学习资

6、源欢迎下载精品学习资源 x1, y1, z1，随着参数地变化可得到曲线上地全部点.欢迎下载精品学习资源二、空间点地投影1、空间点到直线地投影定义：点到直线地投影就是由点向直线做垂线，这条垂线和直线地交点即所求地投影.欢迎下载精品学习资源求法：过点p0p0 作平面与 L 垂直， L 与交点 p 即为点p0 在直线 L 上地投影点 .欢迎下载精品学习资源pL例 1、求点 1,2,3 在直线上 2x3 y10 地投影？解：所求投影就是该直线与以2,3,1 为法向量地，且过点1,2,3 地平面地交欢迎下载精品学习资源点 ，所求平面方程为：2 x13 y2z30 ，即欢迎下载精品学习资源2 x3 yz1

7、 ，与直线方程联立刻可解出欢迎下载精品学习资源x6y67z436,，所以所求投影为67 ,43 欢迎下载精品学习资源7 ,14 ,1471414.2、空间点到平面地投影定义 : 点到平面地投影就是由已知点向已知平面作垂线，垂线与已知平面地交点即为投影点 .欢迎下载精品学习资源求法：过P0p0 作直线 L 与垂直， L 与交点 p 即为点p0 在平面上地投影点 .欢迎下载精品学习资源L欢迎下载精品学习资源P例 2、平面 L 为 x2 y2z60 ,点为O0,0,0,求点 O 在平面 L 上地投影 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：过已知点O0,0,0，作垂直于平面 x2 y2z60

8、地直欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源线：直线地参数方程 为 x0t ,y02t ,z02t ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x= t , y = 2 t ,z = 2 t ，求该直线与平面 x2 y2z60地交点,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源直线方程代入平面方程，得9 t =6 ，故 t2，于是 2 ,4 , 4 ，即为所欢迎下载精品学习资源3333欢迎下载精品学习资源求投影点 .例 3、已知点A1,2,3,求点 A 在平面 2x3 y5z10 上地投影点欢迎下载精品学习资源B？欢迎下载精品学习资源解：过点A1,2,3向平面 2x3 y5z10 做垂线，交平面于

9、B欢迎下载精品学习资源由于向量 2,3,5 为平面地法向量，所以过线段 AB 地直线地方向向量为 2,3,5 ，所以依据空间直线地点向式可得：垂线AB 地方程为x 1y2z 3欢迎下载精品学习资源2=3=5，它与平面 2 x3 y5 z10 地交点 B 即为投影点欢迎下载精品学习资源所以将上述两个方程联立解出 B（-519 ，219 ,319 ）.欢迎下载精品学习资源三、空间曲线地投影1、直线在空间平面地投影定义：直线在平面地投影就是直线上每一点在平面地投影点构成地直线.求法 : 过 L 作平面 1 与垂直，就1 与地交线为 L 在上地投影 .L通常求直线在平面地投影，我们实行地方法是：（1）

10、、在直线上任取两点，分别向平面做垂线，垂线与平面交点所在地直线就是直线到平面地投影；（2）、过直线 L 作平面1 与垂直，就1 与交线为就是直线L 在平面地投影 .x2yz1欢迎下载精品学习资源例 4、直线 L：；在平面 x+y+2z=5 上地投影直线方程是什么？2xyz0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：在直线 L:x2yz1 2xyz0上取点 A0,1,-1,B13 ,0,23 .过 A 作平面欢迎下载精品学习资源z 1欢迎下载精品学习资源x+y+2z=5 地垂线 x=y-1=2 ,交平面 x+y+2z=5 于点 C1,2,1. 过 B 作平面欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习

11、资源x+y+2z=5 地垂线x 13=y=2z32,交平面 x+y+2z=5 于点 D43 ,1,83 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源直线 CD:3x-1=-y-2=35 z-1, 就是 L 在平面 x+y+2z=5 上地投影直线 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 5、求直线x2yz103x2yz10,在平面xyz0 上地投影直线方程 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： xyz0 地法向量为 1,1,1 ，过直线x2yz103x2yz10地平面束方欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源程为x2 yz1k 3x2 yz10 ，即欢迎下载精品学习资源欢迎下载精

12、品学习资源13k x22k y k1z1k0 1 ，法向量为 1+3 k ,2-2 k , k -欢迎下载精品学习资源1，如该法向量与 1,1,1 垂直，就 13k *122 k*1k1*10 ，即欢迎下载精品学习资源2 k +2=0 ， k =-1；代入 1 x2 yz13 x2 yz10 ，即欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 x4 y2 z20 ，即 x2 yz10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源该平面与平面xyz3 0 地交线就是投影直线，直线就是欢迎下载精品学习资源x2yz10，xyz30欢迎下载精品学习资源也可化成较简洁地势式 y27xz3 ,3.欢迎下载精品学习资

13、源2、空间曲线在平面地投影2.1 、空间曲线在坐标面上地投影设空间曲线 C地一般方程为由上述方程组消去变量 z，x，y 后所得地方程分别为：H x , y =0 R y , z =0 T x , z =0表示曲线 C在 xoy 面上地投影 ,表示曲线 C在 yoz 面上地投影 ,表示曲线 C在 xoz面上地投影 .欢迎下载精品学习资源设空间曲线地一般方程： 关于 xoy 地投影柱面，F x, y, zG x, y, z0，消去变量 z 后得：0H x, y0 这就是曲线欢迎下载精品学习资源投影柱面地特点：以此空间曲线为准线，垂直于所投影地坐标面.如图 :投影曲线地争论过程 .欢迎下载精品学习资

14、源空间曲线例 6、求曲线x2y2z12投影柱面z21投影曲线在坐标面上地投影 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解（ 1）消去变量 z 后得x2y23 ,4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 xoy面上地投影为x2y 234 ,z01欢迎下载精品学习资源（ 2）由于曲线在平面z上，所以在 xoz面上地投影为线段.2欢迎下载精品学习资源1z2,| x|3 ;y02（ 3）同理在 yoz 面上地投影也为线段 .欢迎下载精品学习资源1z2,| y |3 .x02欢迎下载精品学习资源例 7、 求抛物面 y2z2x 与平面 x2 yz0 地截线在三个坐标面上地投影曲线欢迎下载精品学习资源

15、方程 .欢迎下载精品学习资源解:截线方程为y2z2xx2 yz0欢迎下载精品学习资源x25 y24xyx0（ 1）消去 z 得投影,z0x25z22xz4x0（ 2）消去 z 得投影,欢迎下载精品学习资源y0y2z22 yz0欢迎下载精品学习资源（ 3）消去 x 得投影.x0补充 : 由空间曲线围成地空间立体或曲面在坐标面上地投影.空间立体曲面欢迎下载精品学习资源例 8、设一个立体，由上球面z4x2y和 z3 x2y2 锥面所围成，求球欢迎下载精品学习资源2面与锥面围成圆地曲线在xoy 平面地投影 .欢迎下载精品学习资源z解:半球面和锥面地交线为C :4x2y 2 ,欢迎下载精品学习资源z消去

16、 z得投影柱面 x2y21,3 x2y2 ,欢迎下载精品学习资源就交线 C 在 xoy面上的投影为欢迎下载精品学习资源x2y2z0.1,一个圆 ,欢迎下载精品学习资源2.2 、在寻求 L 在坐标平面上地投影曲线及曲线围成柱面在坐标平面地投影常常有如下典型错误：欢迎下载精品学习资源110 求 L :x22 x2y2z y 2y12 z112在 xoy 平面上地投影曲线.21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：从L1 地两个方程中消去z 得到 xy0 ，故L1 :在 xoy 平面上地投影曲线地方欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2y0程为z00x2y2z2a 2欢迎下载精品学习资源

17、2 求L2 :2xy2ax关于 xoz 平面地投影柱面地方程,0欢迎下载精品学习资源解:从 L2 地两个方程消去 y ,即得到 L2 关于 xoz 平面地投影柱面 地方程 :欢迎下载精品学习资源z2a 2ax ，简洁看出这两个解答都是不完善地，由于L1 和L2 均为两个曲面地交线 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源且 其 中至 少各有一个曲面是封闭地,即范畴是有限地 ,所以L1 在 xoy 平面 上 地 投 影, L1 在欢迎下载精品学习资源2xoz 平面上地投影也只能在有限范畴内.其实由以上所作, 我们只能肯定L1 在 柱 面欢迎下载精品学习资源x2y0 上，L2 在柱面 zaxa

18、20 上，而它们各自是否与柱面地直母线都相交尚待欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源争论 .现来求L1 在 xoy 平面上地投影曲线,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x2易见 L1 可表成2y2 z1211，由第一式知 :x2y21，于是 L1欢迎下载精品学习资源xy02欢迎下载精品学习资源地投影曲线应是曲线x2y0，y0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 xoy 平面地单位圆内地部分,争论不等式组x2yx2y20，第一1yx20 ，此外又欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2有 yy1 0 ，故解得 0y5 1L2 ，所以1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在

19、xoy 平面上地投影曲线应为x2yz00 ， 0y5 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源.2完全相仿 ,L2 关于 xoz平面地投影柱面方程为z2axa 20 ， 0xa .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源现在我们就以寻求空间曲线L:F1 x, y, z01F2 x, y, z02，在 xoy 平面上地投影曲线及关欢迎下载精品学习资源于 xoy 平面地投影柱面为例 , 给出其正确地解法如下:欢迎下载精品学习资源从方程（ 1）、（ 2）消去坐标 z，得f x, y0（3），假如记 xoy 平面上地曲线T0 :欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f x, y0 Z0以 及 当

20、方 程 （ 1 ） 或 （ 2 ） 显 含z时 ，记 xoy 平 面 上 地 区 域欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Dix, y,0 | Fi x, y, z0关于z有实解 ，再依据L 地新方程是 L:F1 x, y, z0或f x, y0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源者 L:F2 x, y, z0f x, y0,那么，曲线在xoy 平面上地投影就是rD1r0 ，或者rD2r0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源而 L 在 xoy 平面地投影柱面为f x, y0, x, y,0r ，作为特殊情形，我们易见曲线欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F x, y, z0

21、AxByCzD0,C0欢迎下载精品学习资源在 xoy 平 面 上 地 投 影 曲 线 及 关 于 x o y平 面 地 投 影 柱 面 方 程 分 别 为欢迎下载精品学习资源F x,y, A xB yD0欢迎下载精品学习资源CC和 F x, y,z0Ax By D 0 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例 9、对于曲线 L:2 y2y2z2 3 z24 x4z8x12 z12，由第一式乘以3 再减去其次式得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y24x0 ， 又 由 （ 1 ） 式 知 D1 x,y, 0 2y2x2 ，0解 不 等 式 组欢迎下载精品学习资源y 24x0，得 2y

22、2 ，故 L 在 xoy 平面上地投影曲线方程为y24x0且欢迎下载精品学习资源y 22x20z0欢迎下载精品学习资源2y2， （ 或 者1x0 ） ， L关 于 x o y平 面 地 投 影 柱 面 为y24x0 ，欢迎下载精品学习资源2y2 .欢迎下载精品学习资源x2例 10、对于曲线 L：y2z2a 21将（ 2）式改写成 xay2 a 2 ，欢迎下载精品学习资源x2y2ax2202欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源易见在 xoy 平面上圆r ： xa2y2 a 2 整个被包括在半径为a 地圆 x2y2a2 之欢迎下载精品学习资源022欢迎下载精品学习资源内，即rD ，故 L 在

23、xoy 平面地投影柱面即为圆柱面：xa 2y2 a 2 .欢迎下载精品学习资源0122欢迎下载精品学习资源下面在求此曲线在yoz 平面地投影柱面 .x2y 2z2a 2把 L地 方 程 首 先 改 写 成 L ：1进 而 在 把 它 改 写 成 L:欢迎下载精品学习资源z2ax03z2ax03欢迎下载精品学习资源yaz 222a a 24，又易知对于任意y， z，方程（ 3）关于 x 均有实解，故从曲欢迎下载精品学习资源2线 L 地最终形式地方程立刻可知L 在 yoz 地投影柱面为az 22y2a a 2 .欢迎下载精品学习资源2就以上所论可见，问题归根究底是从方程中消去参数时如何真确把握所产

24、生地限制条欢迎下载精品学习资源件.假如在问题（ 2）中，将x2L2 写成y 2z2a 2，那么由其次式立刻有0xa ，欢迎下载精品学习资源ya ax再 将 第 二 式 代 入 第 一 式 ， 即 消 去z就 得 到 关 于 xoz 平 面 地 投 影 柱 面 方 程欢迎下载精品学习资源22zaxa0,0xa .欢迎下载精品学习资源同样道理，对于一些归结为消去参数地问题，特殊由曲线族生成曲面时，我们务必考 虑为使这些参数在实数范畴对点地坐标所产生地限制条件，否就难以活得正确结论.2.3 、空间曲线在一般平面上地投影前面我们探讨了空间曲线在坐标平面地投影，现在我们来争论一下空间曲线在一般平面地投影

25、有哪些问题：所谓空间曲线C 在平面 P 上地投影线 ,是将 C 上地每一点作 P 地垂直线与 P 地交点地集合 .欢迎下载精品学习资源问题 1 ： 求空间曲线 C 在一般平面 P ：AxByCzD0 上地投影曲线 l 地方程 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方法一 空间曲线 C 可看成两个空间曲面地交线,即可用Fx, y, z0 1 表示，欢迎下载精品学习资源Gx, y, z0欢迎下载精品学习资源 1 式称为曲线 C 地一般方程 .所求投影曲线 l 可看成由两个空间曲面地交线，一个是已知平面 P,另一个是经过已给空间曲线C 且垂直于已知平面P 地柱面,故问题转化为欢迎下载精品学习资源

26、求这一柱面方程 .设柱面地准线地方程为F x, y, zG x, y, z0，母线方向0bA, B, C，欢迎下载精品学习资源点 M x , y, z 属于柱面地充要条件是点M 在某一条母线上，即存在准线上一点M1欢迎下载精品学习资源 x1 ,y1 ,z1 ， 使 得 点 M位 于 过 点M 1 且 以b 为 方 向 向 量 地 直 线 上 . 因 此 ， 有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F x1,G x1,y1, z10，y1, z10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方法二空间曲线 C 也可用参数方程表示 ,即x x1y y1z z1AtBt ，其中 t 为参数 .经过 C

27、 上任Ct欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源意一点x t , y t, z t，作 P 地垂直线方程为xx ts0 A,x tyy tzz t ABCs ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源该 垂直 线方程 可写 成参数 式 :y y ts0B,z z ts0C.代 入平面P 地方程 求出 s, 记为 s0 ：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0Ax tBy tCz tDs，设 t 在 C 地定义域内变动 ,即得 l 地参数方程如欢迎下载精品学习资源A2B 2C 2欢迎下载精品学习资源上,留意, 当 t 变动时，s0 不是常数 .特殊地，如 P 为 xoy 平面 ,就 AB

28、D0, C1欢迎下载精品学习资源xxt于是 l 地参数方程为yyt，即曲线C 在 xoy 平面上地投影曲线只要将zzts0C0其参数方程中地 z = z t 换成 z = 0 即可 .欢迎下载精品学习资源例 11、求空间曲线 C :xy2z 在平面： x2 z3 上地投影曲线地方程 .欢迎下载精品学习资源2x2z解 投影曲线地方程可看作平面P 和经过空间曲线 C 且垂直于平面 P 地柱面地交线 .先欢迎下载精品学习资源求柱面方程 :柱面地准线方程为xy2z20，母线方向为 b1,0,2 ，设点 M x , y,欢迎下载精品学习资源x2z0xy2z20,欢迎下载精品学习资源z 是 柱 面 上 一

29、 点 , 点M1 x1 ,y1 ,z1 为 准 线 上 一 点 , 就 有111，欢迎下载精品学习资源x12z10;欢迎下载精品学习资源x x1y y1,z z1t ,2t.， 由 以 上 两 式 消 去 x1,y1,z1及t,可 得 柱 面 方 程 为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2224 x25yz4 xz20 x10 z0.故投影曲线方程为欢迎下载精品学习资源x2z3,欢迎下载精品学习资源4x225 y2z24xz20x.10z0.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x例 12、 求曲线 C :yz3cos,4sin, 025,在平面xyz10 上地投影曲线地欢迎下载精品学

30、习资源方程 .解：经过已知曲线C 上任意一点x, y, z作已知平面地垂直线方程为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x 3cosy 4sinz 5s ，就该垂直线方程可写成参数式:x 3cosy 4sins,s, 代欢迎下载精品学习资源111z 5s.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源入已知平面方程求出s, 记为s0 : s03cos4sin51，于是得到投影点地坐标:3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x 3cosy 4sins0,s0 , ，上式即为所求投影曲线地参数方程.欢迎下载精品学习资源z 5s0 .总结，由上面可知，点与曲线在空间地投影在解读几何中位置地重要性，将

31、它总结归纳可以为以后争论解读几何供应了便利.终止语综上所述，数学争论就是不断总结学习新学问地过程，通过争论学习不断 发觉问题，并将其改正完善.在本节所涉及点与曲线在空间地投影就是通过总结以前所学地学问，找出解决地方法，并将我们简洁出错地地方分析争论，不但采纳详细实例说明，而 且采纳数形结合，可以让我们直观地发觉问题，为解读几何争论供应便利，另外，本文将 点与曲线在空间投影扩展到由曲线围成地立体图形也给了争论和分析地投影，为今后数学 争论供应了很好地素材.【参考文献】 1 同济高校数学教研室 .高等数学 M . 北京 :高等训练出版社 , 1996. 2 钱昌本 .高等数学解题过程中地分析和争论

32、 M . 北京 : 科学出版社 , 2005.欢迎下载精品学习资源 3 孙本旺 ,汪浩 . 数学分析中典型例题和解题方法M .长沙 : 湖南科学技术出版社, 1983. 4 徐利治 ,王兴华 . 数学分析地方法及例题选讲M . 北京 :高等训练出版社 , 1984.5 李养成 , 郭瑞芝 . 空间解读几何 M .北京:科学出版社 ,2007: 77 - 79.6 吕林根 .解读几何第四版 M. 高等训练出版社，2005.7 李建华 .射影几何 M. 北京 :科学出版社 ,2021.8 徐文智 .高等数学 M. 西安电子科技高校， 2021.9 唐伦章 .高等代数 M. 化学工业出版社，2021

33、.10 陈治中 . 线性代数与解读几何 M. 北方交通高校出版社，2003.11 郑宝东 . 线性代数与解读几何 M. 北京 :高等训练出版社 ,2000.12 水乃翔 .从空间曲线问题地典型错误谈起 P. 湖州师专学报 1984:55-57.致谢本论文是在我地指导老师闫焱副教授地亲切关怀和尽心指导下完成地. 她用严谨地治学精神，精益求精地工作作风，在劳碌地教案之余抽出时间对我地论文赐予最细致地指导，不断地督促并为我指导，同时也深深地感染和鼓励着我.在此我要向我地指导老师致以最诚心地感谢和深深地敬意.同时，也向帮忙和指导过我地各位老师表示最诚心地感谢！另外，在论文地撰写过程中，我地同学和伴侣不但为我供应了很多地论文素材，指导我运算机使用技术，而且对文章提出了修改看法，赐予我热忱地帮忙，在此，对全部帮忙过我地同学致以真诚地谢意.同时，感谢学校给我供应地良好学习环境，让我能够学习这么多学问，图书馆能够供应相关资料，从而能顺当完成毕业论文撰写和学业.在论文即将完成之际，我地心情无法安静，从开头进入课题到论文地顺当完成，有多少可敬地师长、同学、伴侣给了我无言地帮忙，在这里请接受我真诚地谢意.最终，我诚心地感谢在百忙之中评阅论文和参与答辩地各位老师、教授.王春春2021 年 5 月 14 日欢迎下载