2022年届山西省太原市高三第二次模拟考试数学试题.docx

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1、精品学习资源2021 届山西省太原市高三其次次模拟考试数学（理）试题数学试卷（理工类）第一卷一、选择题 ：本大题共 12 个小题 ,每道题 5 分,共 60 分.在每道题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .欢迎下载精品学习资源1. 已知集合 A x log 2 x12 ， B x ax6 ，且 AB x 2xb ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ab（）A 7B 6C 5D 42. 如图，在复平面内，表示复数z 的点为 A ，就复数A i B i C 3 i D3 iz12i的共轭复数是（）欢迎下载精品学习资源553. 以下函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（

2、）欢迎下载精品学习资源A y1 B y3 xx3x C yx x Dyx3x欢迎下载精品学习资源4. 如某几何体的三视图如以下图，就此几何体的体积等于（）A 30B 24C 12D4欢迎下载精品学习资源5. 如函数 f x 同时中意以下三个性质： f x 的最小正周期为；对任意的 xR ，都有 f x4f x0 ； f x 在 ,42 上是减函数，就f x 的解析式可能是（）A f xsin 2 x B f xsin 2 xcos 2x C f xsin x8 D f xcos2x346. 执行如以下图的程序框图，如输出的结果为2，就输入的正整数 a 的可能取值的集合是（）A 1,2,3, 4

3、,5 B 1,2,3, 4,5,6 C 2,3, 4,5 D 2,3, 4,5,6欢迎下载精品学习资源xy607. 设 x, y 中意不等式组2xy10 ，如zaxy 的最大值为2a4 ，最小值为a1 ，3xy20就实数 a的取值范畴是（）A 2,1 B 1,2 C 3, 2 D 3,18. 已知三棱锥 SABC 中，底面 ABC 为边长等于3 的等边三角形， SA垂直于底面 ABC ，SA1 ，那么三棱锥SABC 的外接球的表面积为（）A 2B 4C 6D 5x2y2欢迎下载精品学习资源9. 已知双曲线221 aab0,b0 与函数 yx x0 的图象交于点P ，如函数欢迎下载精品学习资源y

4、x 在点 P 处的切线过双曲线左焦点F 1,0 ，就双曲线的离心率是（）A52 B51 C 31 D 32222欢迎下载精品学习资源10. 已知正项数列an的前 n 项和为Sn ，如an 和Sn都是等差数列，且公差相等，就欢迎下载精品学习资源S100（）A 50B 100C 1500D 2500欢迎下载精品学习资源11. 已知圆C : x2y21 ，点P x, y 是直线l : 3 x2 y40 上的动点，如在圆 C 上总欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源00存在两个不同的点A, B ，使 OAOBOP ，就x0 的取值范畴是（）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 0,24 B

5、24 ,0C 0, 13 D 0, 13欢迎下载精品学习资源1312. 已知函数13xf xln241， g x12ex 2 ，如 gmf n 成立，就 nm的最小值为欢迎下载精品学习资源22（）欢迎下载精品学习资源A 1ln 2 B ln 2 C 2 e3 De23欢迎下载精品学习资源其次卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每道题 5 分，共 20 分.）欢迎下载精品学习资源13. 已知 xa6 的开放式中含x3x 2 的项的系数为 30，就实数 a .欢迎下载精品学习资源14. 在区间0,1 上随机抽取两个数x, y ，就大事“ xy1 ”发生的概率为.2欢迎下载精品

6、学习资源15. 在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是a,b, c ，如ab2c ，就C 的大小是欢迎下载精品学习资源sin B .sin A欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源16. 已知关于 x 的函数f x2tx22t sin xx4的最大值为 a ，最小值为 b ，如欢迎下载精品学习资源2x2ab2 ，就实数 t 的值为.cosx欢迎下载精品学习资源三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）欢迎下载精品学习资源已知 S 是数列a 的前 n 项和， a2，且4Saa，数列b 中， b1 ，且欢迎下载精品学习资源bn 1nnbnn1n

7、1， nN * .bnnnn 1n14欢迎下载精品学习资源（1）求数列an 的通项公式；欢迎下载精品学习资源（2）设cnan12（ nN*），求cn的前 n 项和 Tn .23bn318. （本小题满分12 分）如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1 中， A1BAC ，且 A1BAC5 ， AA1BC13 ，AB12 .（1）求证：平面ABB1 A1平面 ACC1A1 ；（2）求二面角ABB1C 的正切值的大小.欢迎下载精品学习资源19. （本小题满分 12 分）近几年来， 我国许多地区经常显现雾霾天气，某学校为了同学的健康， 对课间操活动做了如下规定：课间操时间如有雾霾就停止组织集体活动，如无

8、雾霾就组织集体活动，预报得知，这一地区在将来一周从周一到周五5 天的课间操时间显现雾霾的概率是：前3 天均为 50%， 后 2 天均为 80%，且每一天显现雾霾与否是相互独立的.欢迎下载精品学习资源（1） 求将来一周 5 天至少一天停止组织集体活动的概率；（2） 求将来一周 5 天不需要停止组织集体活动的天数X 的分布列；（3） 用 表示该校将来一周5 天停止组织集体活动的天数，记“函数f xx2x1 在欢迎下载精品学习资源区间 3,5 上有且只有一个零点”为大事A ，求大事 A 发生的概率 .20. （本小题满分 12 分）欢迎下载精品学习资源2已知椭圆 xa2y 2b21ab0 的离心率为

9、2 ，过焦点且垂直于长轴的弦长为2 .2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（1） 已知点A, B 是椭圆上两点，点C 为椭圆的上顶点，ABC 的重心恰好是椭圆的右焦欢迎下载精品学习资源点 F ，求 A, B 所在直线的斜率；欢迎下载精品学习资源（2） 过椭圆的右焦点F 作直线l1,l 2 ，直线l1 与椭圆分别交于点M , N ，直线l2 与椭圆分别欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源交于点P,Q ，且2222MPNQNPMQ，求四边形 MPNQ 的面积 S 最小时直线 l1欢迎下载精品学习资源的方程 .x221. （本小题满分 12 分）欢迎下载精品学习资源已知函数f xeaxbx

10、1（ a, bR ， e为自然对数的底数） .欢迎下载精品学习资源（1） 如对于任意a0,1，总存在 x1,2 ，使得f x0 成立，求 b 的最小值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 如f 10 ，函数f x 在区间 0,1 内有零点，求 a 的取值范畴 .欢迎下载精品学习资源请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答， 假如多做， 就按所做的第一题记分， 作答时请写清题号 .22. （本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲欢迎下载精品学习资源如图，O1与O2 相交于A, B 两点， AB 是O2 的直径，过 A 点作O1的切线交O2 于欢迎下载精品学习资源欢迎

11、下载精品学习资源点 E ，并与BO1 的延长线交于点 P ， PB 分别与O1 ，O2 交于C, D 两点 .欢迎下载精品学习资源（1） 求证： PAPDPEPC ；（2） 求证： ADAE .23. （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程欢迎下载精品学习资源在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为的直线 l 的方程为x2t cosy3t sin，（ t 为参数），欢迎下载精品学习资源以 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为欢迎下载精品学习资源2413sin 2，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点A, B .欢迎下载精品学习资源（1） 如，求

12、线段 AB 中点 M 的直角坐标；3欢迎下载精品学习资源（2） 如PAPBOP2，其中P2,3 ，求直线 l 的斜率 .欢迎下载精品学习资源24. （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲欢迎下载精品学习资源设函数f x2x1xa ， aR .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（1） 当 a2时，求不等式f x4 的解集；欢迎下载精品学习资源（2） 当 a1 时，对于2x,1 ，都有2f xx3 成立，求 a 的取值范畴 .欢迎下载精品学习资源太原市 2021 年高三年级模试题（二） 数学试卷（理工类）参考答案一、选择题：1-5.ABCBB6-10.CADBD11-12.AB欢

13、迎下载精品学习资源二、填空题：13.-514.1ln 2 15.216.12欢迎下载精品学习资源三、解答题：17. 解：欢迎下载精品学习资源（1） n1 时，可得a24 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 an的奇数项和偶数项分别以4 为公差的等差数列，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 n2k1,kN* 时， aa4k22n ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n2kn2 k 1当 n2k ， kN * 时， aa4k2n .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 an2n nN* .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 1bn 1n11，nbnnn111，

14、1) bn 1nbnn n1欢迎下载精品学习资源 1111 ，欢迎下载精品学习资源nbnn1bn 1n1n欢迎下载精品学习资源1111 ，欢迎下载精品学习资源n1bn 1n2bn 2n2n1欢迎下载精品学习资源1111 ，2b2b12 13n1 ，欢迎下载精品学习资源nbnn1 bnn2) ， n1 也适合， bn1nN * ，欢迎下载精品学习资源 cn3n1nn ，23n1欢迎下载精品学习资源再由错位相减得Tn18.n222n.欢迎下载精品学习资源（1） 证明：在ABC中，AB 2AC 2BC 2 ， ACAB ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 A1BAC ，且A1B, AB 是

15、平面ABB1 A1 内的两条相交直线，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 AC平面ABB1A1，欢迎下载精品学习资源又 AC平面 ACC1 A1 ，欢迎下载精品学习资源平面ABB1 A1平面 ACC1 A1 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 在A BA 中， A B 2AB2AA ，欢迎下载精品学习资源2111 A1BAB ，双 A1BAC ，且 AB, AC 是平面 ABC 内的两条相交直线， A1B面 ABC，欢迎下载精品学习资源建立如以下图的坐标系， 就 B 0,0,0，A12,0,0，C 12,5,0， A10,0,5，B1 12,0,5 ，欢迎下载精品学习资源欢

16、迎下载精品学习资源取平面ABB1 A1 的一个法向量n10,1,0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设平面BCC1B1的一个法向量n2x, y, z ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n2BB1由n2BC012x5z0，得，012x5 y0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源取 x5，就n25,12,12，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 cosn1, n2n1n2n1n212313，设二面角ABB1C 的大小为，就 cos12，313欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 tan13，二面角12ABBC 的正切值为 13 .112欢迎下载精品学习资源欢迎下载精

17、品学习资源19. 解：（1）将来一周 5 天都组织集体活动的概率是P1 3 1 21欢迎下载精品学习资源 ，25200欢迎下载精品学习资源就至少有一天停止组织集体活动的概率是1P（2） X 的取值是 0， 1， 2， 3，4 ，5，199.200欢迎下载精品学习资源就 P X02 ，25欢迎下载精品学习资源P X11 3C1241C 1 1 3 4 2356725525200252 1 34 211 31，141 3 1 273欢迎下载精品学习资源P X2C3 C3C2 ，欢迎下载精品学习资源2525525200欢迎下载精品学习资源P X31 1 3 1 22 1 3C1141 3 4 243

18、，欢迎下载精品学习资源C3 C3 2 欢迎下载精品学习资源2525525200欢迎下载精品学习资源P X21 3 1 24C 1 3C11411，欢迎下载精品学习资源3225255200欢迎下载精品学习资源P X111532 ，欢迎下载精品学习资源25200不需要停止组织集体活动的天数X 分布列是277325252002欢迎下载精品学习资源（3） 由于函数f xx2x1在区间 3,5 上有且只有一个零点，且05 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 f 3 f50 ， 824 ，35欢迎下载精品学习资源故3 或 4 ，欢迎下载精品学习资源故所求概率为：1 1 3 4 221 3114

19、1 3 1 2 1 3C1421C 2 1 3 4 2373712925255252552520025200P A C3 C3 C220.欢迎下载精品学习资源（1） 由题意：2b2c2a2，a2 ，解得 a2, b1,c1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所求椭圆的方程为xy21.22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x设 Ax , y , B x, y ，F 1,0 ，C 0,1 ，依据题意1x21 ， y1y210 ，欢迎下载精品学习资源112233欢迎下载精品学习资源2y2即 x1x23 ， y1y21.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2y1由 x1 221， x

20、2 221欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 得 x1x2 yy y1y20 ， 2x1x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 kABy1y2x1x23 .欢迎下载精品学习资源x1x22 y1y22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 设M xM , yM ，N xN , yN ， PxP , yP ， Q xQ , yQ ，欢迎下载精品学习资源就由题意：MP2NQ2NP22MQ，即 xx 2 yy 2xx 2 yy 2 xx 2 yy 2 xx 2 yyNQNPNPMQM2MPMPNQQ欢迎下载精品学习资源整理得：xN xPxM xQxM xPxN xQyN y PyM

21、 yQyM y PyN yQ0 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 xNxM xPxQ yNyM yPyQ 0 ，所以 l1l 2 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如直线 l1l 2 中有一条斜率不存在，不妨设l2 的斜率不存在，就 l 2x 轴，欢迎下载精品学习资源所以 MN2 2 ， PQ2 ，欢迎下载精品学习资源故四边形 MPNQ 的面积 S1 PQ MN12222 .欢迎下载精品学习资源1222欢迎下载精品学习资源如直线l1,l 2 的斜率存在，设直线l1的方程为：yk x1k0 ，欢迎下载精品学习资源x22欢迎下载精品学习资源y就由21 ，得2k 21x24k2

22、x2k 220 ，欢迎下载精品学习资源yk x1欢迎下载精品学习资源就 xMxN4k22k 2， xM xN12k 22，2k 21欢迎下载精品学习资源2MN1kxMxN欢迎下载精品学习资源1k 24k 2242k 22221k 2，欢迎下载精品学习资源2k212k 212k 21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源同理可求得， PQ2212kk 2 2，故四边形 MPNQ 的面积：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11221k 2 221k2 416欢迎下载精品学习资源SPQ MN 222k 212k 2219k2212欢迎下载精品学习资源（当 kk1 取“ =”），欢迎下载精品学

23、习资源此时，四边形 MPNQ 面积 S 的最小值为 162 ，9欢迎下载精品学习资源所以直线l1 方程为： xy10 或 xy10 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源21. 解：（1） 设gaexax2bx1，就 x1,2 时，g a 在 0,1 上为减函数，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以只要g 0exbx10 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以只要 exbx10 在 1,2 上有解即可 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ex1即 bx在1,2 上有解，设h xex1，x欢迎下载精品学习资源ex x11欢迎下载精品学习资源由于 h x0 ，所以x2h

24、x在1,2 上为增函数， 只要bh1e1，所以 b欢迎下载精品学习资源的最小值是 e1.欢迎下载精品学习资源（2）f xexax2bx1，f xex2axb ，欢迎下载精品学习资源由 f 10 ，得eab10，bea1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 f xex2axea1，又f 00 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如函数f x 在区间 0,1 内有零点，设x0 为f x 在区间 0,1 内的一个零点，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就由 f 0f x00 可知，f x 在区间0, x0内不行能单调，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 f x 在区间0,

25、x0 内不行能恒为正，也不行能恒为负，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 f x 在区间0, x0 内存在零点x1 ，同理f x 在区间 x0,1 内存在零点x2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故函数f x 在区间 0,1 内至少有三个单调区间，欢迎下载精品学习资源xf x 在区间 0,1 内至少有两个零点.欢迎下载精品学习资源设 u xf xe2axb ，欢迎下载精品学习资源 u xex2a .欢迎下载精品学习资源当 a1 或 a 2e 时，函数2f x 在区间 0,1 内单调，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源不中意“函数f x在区间 0,1 内至少有三个单调区间

26、” ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 1ae 时， f x 在区间 0,ln2a 内单调递减，在区间ln2 a,1 内单调递增，欢迎下载精品学习资源22因此 x10,ln2 a ， x2ln2 a,1 ，欢迎下载精品学习资源x又 fming ln2 a2a2a ln2 aea13a2a ln2 ae1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 v x3x2 x ln2 xe1 1xe ，就v x12ln2 x ，欢迎下载精品学习资源令 v x0 ，得 x22e，列表如下：2欢迎下载精品学习资源1ee,222h x欢迎下载精品学习资源h xee欢迎下载精品学习资源依表格知：当1e

27、x时，vxmaxee10 ，欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源x fmin3a2a ln2 ae10 恒成立，1ae欢迎下载精品学习资源于是，函数f x 在区间 0,1 内至少有三个单调区间中意22u00，u10欢迎下载精品学习资源1ae22即 2ea0 ， a10欢迎下载精品学习资源解得 e2a1，综上所述， a 的取值范畴为 e2,1 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22. （ 1）PE, PB 分别是O2 的割线，欢迎下载精品学习资源 PAPEPDPB ，欢迎下载精品学习资源又 PA, PB 分别是O1 的切线和割线，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 PA2P

28、CPB ，欢迎下载精品学习资源 PEPD ，PAPC PAPDPEPC .（2） 连结 AC , ED ，欢迎下载精品学习资源 BC 是O1的直径，CAB900 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 AC 是O2 的切线，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由（ 1）知 PAPC ，PEPDAC /ED ，欢迎下载精品学习资源 ABDE ，CADADE ,欢迎下载精品学习资源又 AC 是O2 的切线，CADAED ，欢迎下载精品学习资源AEDADE ， ADAE ，欢迎下载精品学习资源（或 ABDE ， AB 是O2 的直径，由垂径定理得，ADDE , ADAE .）欢迎下载精品学习

29、资源欢迎下载精品学习资源23. 解：2（1） 曲线 C 的一般方程是 x4y21,x21 t欢迎下载精品学习资源当时，设点 M 对应的参数为3t 0 ，直线 l 方程为y233 t2，（ t 为参数），欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源代入曲线 C 的一般方程xy 21，得 13t 22456t480 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设直线 C 上的点 A, B 对应参数分别为t ,t ，就 tt1t228，欢迎下载精品学习资源所以点 M 的坐标为12 ,3 .120213欢迎下载精品学习资源x（2） 将y13132t cosx2代入曲线 C 的一般方程3t sin4y21，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源得 cos24sin 2t 283 sin4cost120 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 PAPBt1t2cos2124sin 2， OP27 ，所以cos2127 ，4sin 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解得 tan2516，由于32cos23 sincos0 ，故tan5 ，4欢迎下载精品学习资源所以直线 l 的斜率为5 .4欢迎下载精品学习资源24. 解（1）令 2x10 ，得 x1 ；令 x22