2022年电大离散数学集合论部分期末复习辅导.docx

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1、精品学习资源离散数学集合论部分期末复习辅导一、单项挑选题1如集合 A a， a ，1 ，2 ，就以下表述正确选项 A a， aAB1 ， 2ACaADA解 由于 aA，所以 aA2如集合 A=1 ，2 ，B=1 ，2，1 ， 2 ，就以下表述正确选项 AAB，且 ABB BA，且 ABCAB，且 ABD AB，且 AB解 由于 1B，2B，1 ，2B， A=1 ，2所以 AB，且 AB3. 如集合 A2 ， a， a ， 4 ，就以下表述正确选项 A a， a ABAC2AD a A解 由于 aA，所以 a A4. 如集合 A a， a ，就以下表述正确选项 AaAB aAC a， aA DA

2、解 由于 aA，所以 aA注：如请你判定是否存在两个集合A，B，使 AB，且 AB 同时成立，怎么做？ 答： 存在；如 2 题中的集合 A、B；或，设 A= a ，B= a， a ；留意 ： 以上题型是重点，大家肯定要把握，仍要敏捷运用 ，譬如，将集合中的元素作一些调整，大家也应当会做例如，下题是 2021 年 1 月份考试试卷的第 1 题： 如集合 A a，1 ，就以下表述正确选项 A1 AB1 ACaADA解 由于1 是集合 A 的一个元素，所以 1A5. 设集合 A= a ，就 A 的幂集为 A aB a， aC，a D，a欢迎下载精品学习资源解 A = a 的全部子集为0 元子集，即空

3、集： ；1 元子集，即单元集： a 所以 PA = ， a6设集合 A = 1, a ，就 PA = A1, aB ,1, aC,1, a, 1, a D1, a, 1, a 解 A = 1, a 的全部子集为0 元子集，即空集： ；1 元子集，即单元集：1 ， a ；2 元子集：1, a所以 PA =,1, a, 1, a 留意： 如集合 A 有一个或有三个元素，那么 PA怎么写呢？ 例如， 2021 年 1 月份考试卷的第 6 题：设集合 A a ，那么集合 A 的幂集是 ,a如 A 是 n 元集，就幂集 PA 有 2 n个元素 当 n=8 或 10 时， A 的幂集的元素有多少个 ？（应

4、当是 256 或 1024 个）7. 如集合 A 的元素个数为 10，就其幂集的元素个数为（ ）A1024B10C100D1解 |A| = 10，所以|PA| = 210 = 1024以下为 2021 年 1 月份考试卷的第 1 题：如集合 A 的元素个数为 10，就其幂集的元素个数为（） A10B 100C1024D 18. 设 A、B 是两个任意集合，侧 A B AA=BB ABC ABD B1001100000011000解 设 xA，就由于 A B，所以 xA B，从而 x B，故 AB 9设集合 A=1,2,3,4 ， R 是 A 上的二元关系，其关系矩阵为MR欢迎下载精品学习资源就

5、 R 的关系表达式是 A， B ， C ， D ， ， 10集合 A=1, 2,3,4,5,6,7,8 上的关系 R=|x+y=10 且 x,yA ，就 R 的性质为（）A自反的B对称的C传递且对称的D反自反且传递的解 R = ， ， ， 易见，如 R，就R，所以 R是对称的 答 B另，由于 1A，但R，所以 R 不是自反的；由于 5A，但R，所以 R 不是反自反的；由于R且R，但R，所以 R 不是传递的；要求大家能娴熟地写出二元关系 R的集合表达式，并能判别 R具有的性质 11集合 A=1, 2,3,4 上的关系 R=|x=y 且 x,yA ，就 R 的性质为（） A不是自反的B不是对称的C

6、传递的 D反自反解 R = ， IA 是 A 上的恒等关系，是自反的、对称的、传递的；答 C12. 假如 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，就 R1R2，R1R2， R1- R2 中自反关系有（）个A0B 2 C 1D3解 对于任意 aA，由于 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，所以R1，R2，从而R1R2， R1R2，R1- R2故 R1R2， R1R2 是 A 上的自反关系， R1- R2 是 A 上的反自反关系 答 B13. 设集合 A=1 , 2 , 3 , 4 上的二元关系R=1, 1，2, 2，2, 3，4, 4 ，S=1, 1，2, 2，2, 3，3, 2，4, 4 ，就

7、 S是 R 的（）闭包 A自反 B传递欢迎下载精品学习资源C对称D自反和传递解 RS，S是对称关系，且 S去掉任意一个元素就不包含 R 或没有对称性，即 S是包含 R 的具有对称性的最小的关系，从而 S是 R的对称闭包答 C14设 A=1, 2,3,4,5,6,7,8，R 是 A 上的整除关系， B=2,4, 6 ，就集合 B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 A8、2、8、2B8、1、6、1C6、2、6、2D无、 2、无、 2解 R1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,2,2,2,4,2,6,2,8,3,3,3,6,4,4,4,8,5,5,6,6,7,7,8,8关

8、系 R 的哈斯图如下：由图可见，集合 B=2,4, 6 无最大元，其最小元是 2无上界，下界是 2 和 1 答 D15设集合 A=1 ，2，3，4，5 ，偏序关系 是 A 上的整除关系，就偏序集 上的元素 5 是集合 A 的（ ）A最大元 B最小元C极大元 D微小元解 R1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,2,2,2,4,3,3,4,4,5,5关系 R 的哈斯图如下：由图可见，元素 5 是集合 A 的极大元 答 C欢迎下载精品学习资源16设集合 A = 1, 2, 3, 4, 5 上的偏序1关系的哈斯图如右图所示，如A 的子集23B = 3, 4, 5 ，就元素 3 为 B 的（）45A下

9、界 B最小上界C最大下界D最小元答 B17设 A= a,b ， B=1,2 ， R1 ， R2 ， R3 是 A 到 B 的二元关系，且R1=, ， R2=, , ， R3=, ，就（）不是从 A 到 B 的函数AR1B R2C R3DR1 和 R3解 R2，R2，即 R2 不满意函数定义的单值性，因而不是函数 答 B留意：函数 R1，R3 的定义域、值域是什么？两个函数R1，R3 是否能复合？解 DomR1= a,b= A，RanR1= 2 ；DomR3= a,b= A，RanR3= 1, 2= B由于 RanR1DomR3，所以函数 R1和 R3不能复合；18. 设 A= a，b，c ，

10、B=1 ，2 ，作 f：AB，就不同的函数个数为 A2B3 C6D8解 A B ，AB 的任一子集即为从 A 到 B 的二元关系，在这些关系中满意函数定义的两个条件（单值性；定义域是 A）的关系只能是 ， ， ，其中每个有序对的其次元素可取 1 或 2，于是可知有 222 8 个不同的函数答 D事实上， 8 个不同的函数为：f1= a , 1，b , 1，c , 1 ，f2= a , 1，b , 1，c , 2 ，f3=a , 1，b , 2，c , 1 ，f4= a , 2，b , 1，c , 1 ，f5=a , 1，b , 2，c , 2 ，f6= a , 2，b , 1，c , 2 ，欢

11、迎下载精品学习资源f7 =a, 2， b , 2， c , 1 ， f8 = a , 2，b , 2， c , 219. 设集合 A =1 , 2, 3 上的函数分别为：f = 1, 2，2, 1，3, 3 ，g = 1, 3，2, 2，3, 2 ，h = 1, 3，2, 1，3, 1 ，就 h =（）Af.g B g.f解 f.g 1, 3Cf.fDg.g， 2, 1，3, 1 hg.f 1, 2，2, 3， 3, 2f.f 1, 1，2, 2，3, 3g.g 答 A1, 2，2, 2， 3, 220. 设函数 f：NN， fn n+1，以下表述正确选项（）Af 存在反函数 Bf 是双射的

12、Cf 是满射的 D f 是单射函数欢迎下载精品学习资源解 由于任意n1, n2N ， n1n2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 f n1 n11n21f n2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 f 是单射对于 0N ，不存在 nN ，使所以 f 不是满射f nn10 ，欢迎下载精品学习资源从而 f 不是双射，也不存在反函数答 D欢迎下载精品学习资源二、填空题1. 设集合 A1, 2, 3,B 1, 2，就 PA- PB =，A B=欢迎下载精品学习资源解 P A, 1,2,3,1,2, 1,3,2,3, 1,2,3PB,1,2, 1,2答 3,1,3,2,3,1,2

13、,3,2. 设集合 A 有 10 个元素，那么 A 的幂集合 PA的元素个数为 答 2103设集合 A=0, 1, 2, 3 ，B=2, 3, 4, 5 ，R 是 A 到 B 的二元关系，欢迎下载精品学习资源Rx, yxA且yB且x, yAB欢迎下载精品学习资源就 R 的有序对集合为答 R ， ， 留意：假如将二元关系 R 改为欢迎下载精品学习资源Rx, yxA且yB且x2y欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源或Rx, yx A且yB且x1y欢迎下载精品学习资源就 R 的有序对集合是什么呢？ 答 R 或 R ， 4设集合 A=1, 2, 3, 4 ，B=6, 8, 12 ，A 到 B 的二

14、元关系欢迎下载精品学习资源Rx, yy 2x, xA, yB欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源那么 R 16,3,8,4欢迎下载精品学习资源5. 设集合 A=a,b,c,d， A 上的二元关系 R=, , , ，就 R 具有的性质是由于任意 xA，R，所以 R 是反自反的 答 反自反的6. 设集合 A=a,b,c,d， A 上的二元关系 R=, , , ，如在 R 中再增加两个元素，就新得到的关系就具有对称性答 ，留意：第 5， 6 题是重点，我们要娴熟把握，特别是A 和 R 的元素都削减的情形；假如6 题新得到的关系具有 自反性，那么应当增加哪两个元素呢？答 应增加，两个元素7. 假如

15、 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，就 R1R2，R1R2，R1- R2中自反关系有个 答 2（见：一、 9 题）8. 设 A=1,2 上的二元关系为 R=|xA，yA,x+y=10 ，就 R的自反闭包为 由于 R ，所以 R的自反闭包 sR=I A=,答,留意：假如二元关系改为 R=|xA， yA,x+y10 ，就 R 的自反闭包是什么呢？ 解 R , 是 A 上的全关系，它的自反闭包是它自己；欢迎下载精品学习资源答 R 或,9. 设 R 是集合 A 上的等价关系，且 1 , 2 , 3是 A 中的元素，就 R中至少包含等元素 答 ，由于等价关系肯定是自反的、对称的、传递的，由二元关系R

16、 是自反的，所以它至少包含 , 等元素注：假如给定二元关系R，你能否判定 R 是否是等价关系？欢迎下载精品学习资源10. 设集合 A=1, 2 ， B= a, b ， 那么集合A 到 B 的双射函数 是 f1,a,2, b ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g 1,b,2, a 欢迎下载精品学习资源想一想： 集合 A 到 B 的不同函数的个数有几个？ 答 有 4 个，除上述两个双射函数外，仍有欢迎下载精品学习资源h 1,a,2, a ， i1,b,2, b 欢迎下载精品学习资源（参考：一、 14 题）三、判定说明题 （判定以下各题，并说明理由）1如集合 A = 1 ，2，3 上的二元关

17、系 R= ， ， ，就1 R 是自反的关系；2 R 是对称的关系 解 （1）错误由于 3 A，但 R1（2）错误由于 R，但R欢迎下载精品学习资源2. 假如 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，判定结论：“ 并说明理由解成立由于 R1 和 R2 是 A 上的自反关系，所以R 1 、R1R2、R1R2 是自反的”是否成立？欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源任意 aA ，有a, aR1,a,aR2 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1从而有a,aR1（逆关系定义），欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a,aR1R2 ，a, aR1R2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故

18、 R11、R1 R2、R1R2 是自反的欢迎下载精品学习资源3. 如偏序集 的哈斯图如图一所示，就集合 A 的最大元为a，最小元不存在解 不正确；可见 a 大于等于 A 中的元素 b、c、d、e、欢迎下载精品学习资源f，但与元素 g、h 没有关系，所以 a 不是 A 的最大元；没有一个元素小于等于A 中的全部元素，所以 A 没有最小元；注：此题中，极大元为a、g，微小元为 e、f、h 留意：题目修改为：如偏序集 的哈斯图如右图所示，就集合 A 的最大元为 a，微小元不存在解 结论不成立；A 的最大元为 a， 微小元为 b、c问：是否存在一个元素a，它既是偏序集 的最大元，也是 的最小元？欢迎下

19、载精品学习资源4设集合 A=1,2,3,4 ， B=2, 4, 6, 8 ，判定以下关系 f 是否构成函数 f： A1 f=, ；2f=, ；3 f=, 解 （1）关系 f 不构成函数由于 Domf=1, 2, 4 A，不满意函数定义的条件（2） 关系 f 不构成函数由于 Domf=1, 2, 3 A，不满意函数定义的条件（3） 关系 f 构成函数 由于 任意 aDomf，都存在唯独的 bRanf ，使f； Domf=A即关系 f 满意函数定义的两个条件，所以关系f 构成函数四、运算题B ，并说明理由欢迎下载精品学习资源1设 E1, 2, 3,4, 5, A1, 4, B1,2, 5, C 2

20、, 4，求：欢迎下载精品学习资源1 ABC； 2 AB- BA；3 PAPC； 4 AB解 （1） ABC11,3,51,3,5 ；（2） ABBA1,2,4,512,4,5 ；欢迎下载精品学习资源（3） P APC, 1,4, 1,4,2,4,2,4欢迎下载精品学习资源 1, 1,4 ；欢迎下载精品学习资源（4） ABAB AB ABBA2,4,5 欢迎下载精品学习资源2设 A=1,2,1,2， B=1,2,1,2 ，试运算欢迎下载精品学习资源（1）（ A B）； （2）（ AB）； （3）A B欢迎下载精品学习资源解 （1） AB 1,2；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） A

21、B（3） AB1,2 ；1,1,1,2,1, 1,2,欢迎下载精品学习资源2,1,2,2,2, 1,2,1,1,1,2,1,1,2,2,1,2,2,2,1,2 3设 A=1 ， 2， 3， 4， 5 ，R=|xA，yA 且 x+y 4 ， S=|xA， y A 且 x+y0 ， 试求 R，S，R S，S R， R-1，S-1，rS， sR解 R1,1 ,1,2,1,3,2,1 ,2,2,3,1 ， SR S， SR，R 11,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1 R ，1S ，欢迎下载精品学习资源r SsRSI AI ARR 1R1,1,2,2,3,3,4,4,5,5 ，欢迎下载精品学习

22、资源1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1 4设 A=1,2,3,4,5,6,7,8 ，R 是 A 上的整除关系， B=2,4, 6 1 写出关系 R的表示式；2 画出关系 R 的哈斯图；3 求出集合 B 的最大元、最小元欢迎下载精品学习资源解 （1） R1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,欢迎下载精品学习资源1,7,1,8,2,2,2,4,2,6,2,8,3,3,3,6,4,4,4,8,5,5,6,6,7,7,8,8（2） 关系 R 的哈斯图如下：（3） 集合 B=2,4, 6无最大元，其最小元是2 五、证明题欢迎下载精品学习资源1. 试证明集合等式： ABC=ABAC证

23、明 任意 xABC ，就 xA ，或 xBC 欢迎下载精品学习资源如xA ，就xAB,xAC ，从而 x AB AC ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如xBC ，就xB,xC ，xAB,xAC ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而 x 所以 A 任意 x AB AC BC AB AC AB AC ，就 xAB 且xAC 欢迎下载精品学习资源由xAB 知， xA 或 xB 欢迎下载精品学习资源如xA ，就 xA BC ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源如xA ，就必有 xB ，由 xAC 知，也有 xC ，从而 xBC ，进而 xA BC 欢迎下载精品学习资源所以 A

24、B ACABC 故 ABC AB AC 2. 试证明集合等式 ABC=ABAC欢迎下载精品学习资源证明 任意 xABC ，就 xA 且 xBC 欢迎下载精品学习资源即xA 且（ xB 或 xC ）即xA 且 xB ，从而 xAB ， 或xA 且 xC ，从而 xAC 欢迎下载精品学习资源于是有 x AB AC ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 ABC AB AC 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源任意 x AB AC ，就 xAB 或xAC 欢迎下载精品学习资源xA 且 xBC ， xABC ；xA 且 xBC ， xABC 如xAB ，就 xA 且 xB ，从而欢迎下载精

25、品学习资源如xAC ，就 xA 且xC ，从而欢迎下载精品学习资源所以 AB ACA BC 故 ABC AB AC 留意：第 1、2 题是重点，这样的证明方法我们要娴熟把握3. 对任意三个集合 A, B 和 C，试证明：如 AB = AC，且 A，就 B=C 证明 如 B，就 ACA B，由于 A，所以 C ，从而 BC 如 B，就 AB，欢迎下载精品学习资源任意 bB ，存在 aA ，使a, bAB ，由于 AB = AC ，所以a, bAC ，从而欢迎下载精品学习资源b C ，故 BC ACAB， C欢迎下载精品学习资源任意 cC ，存在 aA ，使c B ，故 CB 所以 BC a, c

26、AC ，由于 AB = AC ，所以a, cAB ，从而欢迎下载精品学习资源留意： 这个题 09 秋学期的复习时重点强调了，但2021 年 1 月份考卷中的证明题：设 A，B 是任意集合，试证明：如 A A=B B，就 A=B 很多同学不会做，是不应当的事实上这道题并不难：证明：如 A，就 BB A A，所以 B ，从而 AB 如 A，就 A AB B，任意 xA，就 A A，由于 A A=B B，故B B， 就有 xB，所以 AB任意设 xB，就B B， 由于 A A=B B，故A A， 就有 xA，所以 BA故得 A=B大家可以看到，这两个题的证明方法是不仅类似，而且1 月份考题更简单 4试证明：如 R 与 S是集合 A 上的自反关系，就 RS也是集合 A 上的自反关系 证明 任意 aA，因 R 与 S 是集合 A 上的自反关系，所以R，S 从而RS，故， RS也是集合 A 上的自反关系留意：假如把该题的“自反关系”改为“对称关系”，应当怎么证明呢？请大家想一想即试证明：如 R 与 S是集合 A 上的对称关系，就 RS 也是集合 A 上的对称关系（此题是 11 年 7月试卷）证明 任意 a， bA，假如 RS，就R， S 由于 R 与 S 是集合 A 上的对称关系，所以 R，S 从而RS故， RS也是集合 A 上的对称关系欢迎下载精品学习资源欢迎下载