函数的基本性质奇偶性、单调性、周期性、对称性.doc

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1、. .函数的性质奇偶性、单调性、周期性、对称性“定义域优先的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；f(-x)f(x)=1是偶；f(x)f(-x)=-1为奇函数.1假设定义域关于原点对称2假设定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：在上不是奇函数常用性质：1是既奇又偶函数

2、； 2奇函数假设在处有定义，那么必有； 3偶函数满足； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5除外的所有函数的奇偶性满足：1奇函数奇函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 2 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数6任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。2. 单调性定义：函数定义域为A，区间，假设对任意且总有那么称在区间M上单调递增总有那么称在区间M上单调递减应用：一常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：1设值2作差3变形4定号5结论二求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1） 奇函数在对

3、称区间上的单调性一样（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反（3） 复合函数单调性-同增异减 3. 周期性1一般地对于函数，假设存在一个不为0的常数T，使得内一切值时总有，那么叫做周期函数，T叫做周期，kTT的整数倍也是它的周期2如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论1假设，那么是周期函数，是它的一个周期自己证明2假设定义在R上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x =b成轴对称 ab，那么y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。自己证明推论假设定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，那么是周期函数，是它的一个

4、周期3假设；那么是周期函数，2是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2ax) = 2b f(a-x)+f(a+x)=2b证明：必要性设点P(x,y)是y = f(x)图像上任一点，点P(x,y)关于点A (a,b)的对称点P2ax，2by也在y = f(x)图像上， 2by = f (2ax) 即y + f (2ax)=2b故f(x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。充分性设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，那么y0= f(x0) f(x) + f (2ax) =2b

5、f(x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故点P2ax0，2by0也在y = f(x) 图像上，而点P与点P关于点A (a,b)对称，充分性得证。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (ax) 即f(x) = f (2ax) 证明留给读者推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (x)定理3函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (

6、a +x) = f (ax) 或 f(x) = f (2ax)定理4.假设函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x =b成轴对称 ab，那么y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。二不同函数对称性定理5. 函数y = f (a+x)与y = f (bx)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称定理6. 互为反函数的两个函数关于直线y=x对称【典型例题】例1 判断以下函数奇偶性1且2345解：1且奇函数2，关于原点对称奇函数 3，关于原点对称 既奇又偶4考虑特殊情况验证： ；无意义； 非奇非偶5且，关于原点对称为偶函数例21，为何值时，为奇函数；2为何值

7、时，为偶函数。答案：1恒等定理时，奇函数2 恒等定理稳固：定义域为的函数是奇函数。求的值；假设对任意的，不等式恒成立，求的取值X围；解析：简 解：取特殊值法因为是奇函数，所以=0，即又由f1= - f-1知解法一：由知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式例3 求函数的解析式1为R上奇函数，时，解：时， 2为R上偶函数，时，解：时，例4 求以下函数的增区间12答案：1， 2作图 例5假设在区间，求取值X围。答案：分类讨论1当在区间，符合题意当时，要在区间，那么有 例6 ，为偶函数，试比拟的大小关系。解：为偶函数 那么函数关于直线x

8、=2对称在0，2(提示：看离对称轴的远近)例7 为偶函数，假设，求取值X围。解： 例8 求以下函数是否为周期函数1，满足2，满足3，满足4，满足答案：1令 T=2周期函数2 T=4周期函数3 T=44 T=8例9 ，偶函数，周期函数，T=2，那么 ，求当时， 。答案： 例10 ，偶函数，奇函数，那么 。答案：奇偶奇 稳固例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),那么f (x)一定是 (A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x

9、) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数，x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。应选(A)例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，假设g(5) = 1999，那么f(4)= 。 1999； B2000； C2001； D2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x2) 反函数是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函数

10、是:y = 2 + g(x),f(x1) = 2 + g(x),有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选C例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f(x) = x，那么f(8.6 ) = _解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f(x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f(8.6 ) = f(8+0.6 ) = f(0.6 ) = f(0.6 ) = 0.3例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x)

11、,当0x1时，f(x) = x，那么f(7.5 ) = (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f(x)是定义在R上的奇函数，点0，0是其对称中心； 又f(x+2 )= f(x) = f(x)，即f(1+ x) = f(1x)，直线x = 1是y = f(x) 对称轴，故y = f(x)是周期为2的周期函数。f(7.5 ) = f(80.5 ) = f(0.5 ) =f(0.5 ) =0.5 应选(B)【作业】1. 两位学生在思考一个开放题“满足的点称为函数的不动点，请你构造一个分段函数，使其具有无数个不动点，这些不动点构成一个公比不为1的等比数列。两位学生分别构造了

12、一个函数：请你判断，正确的结论是 A. 都对 B. 对错 C. 错对 D. 都错2. 函数与的图像关于 A. y轴对称 B. 原点对称C. 直线x=1对称 D. 关于y轴对称且关于直线x=1对称3. 假设函数在上是减函数，那么的取值X围是 A. B. C. D. 4. 函数在上存在，使，那么的取值X围是 A. B. C. 或 D. 5. 假设，那么它们的大小关系为 A. B. C. D. 6. 如下图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，那么当点P沿着ABCM运动时，以点P经过的路程为自变量，三角形APM的面积函数的图像形状大致是 7. 函数 A. 在1，内单调递增 B. 在

13、1，内单调递减C. 在内单调递增 D. 在内单调递减8. 函数的定义域为，值域为，其反函数为，那么的 A. 定义域为，值域为B. 定义域为，值域为C. 定义域为，值域为D. 定义域为，值域为9. 函数的图象是由函数的图像平移而得到的，如下图，那么的值是 A. B. C. D. 10. 是偶函数，那么图像的对称轴是 A. B. C. D. 11. 对任意，有，时，那么 A. B. C. D. 12. 方程的两个根均大于1，那么的取值X围为 A. B. C. D. 13. 假设函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么 A. B. C. D. 14. 把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三

14、角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 A. B. C. D. 15. 设函数的反函数为，且，那么 。16. 函数的定义域是 。17. 函数在上有定义，当且仅当时，且对任意都有，试证明：1为奇函数；2上单调递减。18. 设是R上的偶函数，1求的值；2证明：在0，+上是增函数。19. 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时求证：是周期函数；当时，求的解析式；计算：一、函数的单调性1单调性的证明定义法：例 判断函数的单调性，并用定义证明。练习：函数，点在的反函数图像上。1求的反函数；2证明在定义域内是减函数2单调性的简单应用：例 11函数的单调增区间是_2在是减函数，那么的取值X围

15、是_练习：假设函数在区间上是减函数，那么实数的取值X围是_高考真题：是上的减函数，那么的取值X围是 A B CD例2 函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记假设在区间上是增函数，那么实数的取值X围是A BC D例3 设函数，给出下述命题：有最小值；当时，的值域为；当时，在区间上有反函数；假设在区间上单调递增，那么实数的取值X围是那么其中正确的命题是_要求：把正确命题的序号都填上例4 函数对任意的，都有，并且当时，求证：在上是增函数；假设，解不等式二函数的奇偶性：例1 设是R上的任意函数,那么以下表达正确的选项是 (A)是奇函数 (B)是奇函数(C) 是偶函数 (D) 是偶函数例2 函数是定义

16、在上的偶函数. 当时，那么当时，_ .练习：函数，假设为奇函数，那么_例3 在1，1上有定义，且满足证明：在1，1上为奇函数；例4 假设奇函数满足，那么_三函数的周期性：例1 函数对于任意实数满足条件，假设那么_。例2 是定义在R上的偶函数，图象关于对称，对任意，有，且求；的值证明：是周期函数；例3 是定义在R上的奇函数，且对一切，恒有求证：是周期函数；假设，求的值。例4 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),那么,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2例5 假设存在常数，使得函数满足()，那么的一个正周期为_例6 定义在R上，最小正周期为5的函数满足，且，那

17、么在区间，方程的解的个数至少为_个例7定义在R上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，那么的大小顺序为_例8 定义在R上的函数满足，那么当的最小值是_例9 函数是一个以4为最小正周期的奇函数，那么 A0B4C4D不能确定例10 f (x)是定义在实数集上的函数，且那么f (2005)= _ .例11 设是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，时，函数，那么时，_例12 定义在R上的函数为周期函数，最小正周期为T，假设函数，时有反函数，那么函数，的反函数为 ABCD例13是周期为2的奇函数，当时，设那么ABCD四反函数：例1 函数的图象与函数的图象关于直线对称，那么A BC D例2 设函数的反函数为，且的图像过点，那么的图像必过ABCD例3 函数 的反函数是AB CD例4 函数y=1+ax(0a1)的反函数的图象大致是ABCD. .word.