高二物理竞赛紧束缚近似下的晶体电子能带课件.pptx

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1、紧束缚近似下的晶体电子能带紧束缚近似下的晶体电子能带n 1n 2n 3V r n 孤立孤立原原子电子电子子能能级级( (晶晶体体N N个格个格点点，能，能级级N N度简度简并并）N N个能级个能级N N个能级个能级 N N个能级个能级r 1En k r原子间距原子间距晶体晶体能能带带紧束缚近似下的晶体电子能带紧束缚近似下的晶体电子能带原子相互接近组成晶体时，电子波函数发生交叠，原子能级原子相互接近组成晶体时，电子波函数发生交叠，原子能级 分裂成能带。交叠越多，能带越宽。不同原子态相互作用很小的分裂成能带。交叠越多，能带越宽。不同原子态相互作用很小的 情况下，原子能级与能带一一对应。在不同原子态

2、相互作用下，情况下，原子能级与能带一一对应。在不同原子态相互作用下， 原子能级不存在一一对应关系，出现原子能级不存在一一对应关系，出现“轨道杂化轨道杂化”。上式对晶体体积积分：上式对晶体体积积分：ENmlmllmiimllmiini 1Nik ( R R ) drik ( R R ) drml(r R ) (r R )e (r R ) (r R )e U (r R ) 1 eiml 1Nmlik( R R ) (r R )U (r R )(r R )drilmmE 选选择择 Rl 0 ，得到得到项项单单独独写写出，得到出，得到：将上式将上式中中 m l, Rm Rl 0mRm 0mnimiik

3、RniiiU (r R ) (r)U (r R ) (r R )dre(r) (r)dr E 令：令：mmiiniin Rdr r R(r)U (r) V (r R )(r)dr U (r) V (r R )(r)晶晶体体场场积积分分相相互互作作用用积积分分得到电子能量本征值：得到电子能量本征值：mime (R )mRm 0ikRE mn,n ime (R )ikREk 假定原子波函数交叠只假定原子波函数交叠只在在 Rn 最临近原子最临近原子（nearestnearest neighbors) neighbors) 间显著存在，则得到电子能量本征值的一级近似：间显著存在，则得到电子能量本征值的

4、一级近似：表示对格表示对格点点Rn最邻近原子求和最邻近原子求和对简单立方晶格，对简单立方晶格，aiakaj坐标原坐标原点点Rn 0上的格点最近邻的上的格点最近邻的6 6个格点原子的位置矢量：个格点原子的位置矢量： a,0,0, 0,a,0, 0,0,a原子电子的原子电子的S S态波函数具有球对称性，态波函数具有球对称性，i r i r所所以以 Rn 0 与与6 6个最近邻原子的相互作用积分相等，个最近邻原子的相互作用积分相等， Rm 得到原子得到原子S S态电子能量本征值的一级近似：态电子能量本征值的一级近似：E(k) i 2 cos(kxa) cos(kya) cos(kza),332211

5、N aN aN azyx2l2l2l, k , k k 123l ,l ,l 0,1,2,能带极小值出现在布里渊区中能带极小值出现在布里渊区中心心 kx 0, ky 0, kz 0Emin i 6能带极大值出现在布里渊区边能带极大值出现在布里渊区边界界 kx / a, ky / a, kz / aEmax i 6能带宽度：能带宽度：E Emax Emin 122 22 a , a , a 对体心立方晶格，对体心立方晶格，a kajai体体心心 Rn 0 上的格点原子最近邻的上的格点原子最近邻的8 8个格点原子的位置矢量：个格点原子的位置矢量：原子电子的原子电子的S S态波函数具有球对称性，态波

6、函数具有球对称性，i r i r所所以以 Rn 0 与与8 8个最近邻原子的相互作用积分相等，个最近邻原子的相互作用积分相等， Rm 得到原子得到原子S S态电子能量本征值的一级近似：态电子能量本征值的一级近似：111bcciE(k) 8 cos( kxa) cos( kya) cos( kza)222,332211N aN aN azyx2l2l2l, k , k k 123l ,l ,l 0,1,2,能带极小值出现在布里渊区中能带极小值出现在布里渊区中心心 kx 0, ky 0, kz 0 8Emin i i 8Emax Emin 16能带极大值出现在布里渊区边能带极大值出现在布里渊区边界

7、界 kx / a, ky / a, kz / a能带宽度：能带宽度：Ebcc Emax 2 2 2222 a , a ,0, 0, a , a , a ,0, a 原子电子的原子电子的S S态波函数具有球对称性，态波函数具有球对称性，i r i rak对面心立方晶格，对面心立方晶格，ajai任一面心原任一面心原子子Rn 0最近邻的最近邻的1212个格点原子的位置矢量：个格点原子的位置矢量：所所以以 Rn 0 与与1212个最近邻原子的相互作用积分相等，个最近邻原子的相互作用积分相等， Rm 得到原子得到原子S S态电子能量本征值的一级近似：态电子能量本征值的一级近似：11fccicos( 1

8、k a) cos( 1 k a) cos( 1 k a) cos( 1 k a)2x2z2y2zE(k) 4 4 cos(kxa) cos(kya)22,332211N aN aN azyx2l2l2l, k , k k 123l ,l ,l 0,1,2,能带极小值出现在布里渊区中能带极小值出现在布里渊区中心心 kx 0, ky 0, kz 0 12Emin i i 12Emax Emin 24能带极大值出现在布里渊区边能带极大值出现在布里渊区边界界 kx / a, ky / a, kz / a能带宽度：能带宽度：Efcc Emax 相互作用积分相互作用积分哈里森给出相互作用积分的表达式：哈里森给出相互作用积分的表达式：8 2 1.23m d 2e2 晶体原子间距晶体原子间距电子质量电子质量对于球对称对于球对称S S态电子，态电子， 21.23md 2对非球对称电子态，相互作用积分与相邻原子的角量子数有关。对非球对称电子态，相互作用积分与相邻原子的角量子数有关。