2022年电大离散数学图论部分期末复习辅导.docx

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1、精品学习资源离散数学图论部分期末复习辅导一、单项挑选题1. 设图 G， v V，就以下结论成立的是 A degv=2 EBdegv= E欢迎下载精品学习资源C. degv2 | E |v VD. degv| E |v V欢迎下载精品学习资源解 依据握手定理 （图中全部结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立；答 C01100100111000001001010102. 设无向图 G 的邻接矩阵为，就 G 的边数为 A 6B 5 C4D 3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的即当结点 vi 与 vj 相邻时，结点 vj 与 vi 也相邻，所以连接结点 vi 与 vj 的一条边在

2、邻接矩阵的第 i 行第 j 列处和第 j 行第 i 列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共有 10 个 1，故有 10 2=5 条边；答 B01011100010001110101111103. 已知无向图 G 的邻接矩阵为，就 G 有（ ）A 5 点， 8 边 B6 点， 7 边C 6 点， 8 边 D5 点， 7 边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5 阶方阵，所以图 G 有 5 个结点，矩阵元素有14 个欢迎下载精品学习资源1，14 2=7，图 G 有 7 条边；答 D4. 如图一所示，以下说法正确选项e A. a, e 是割边adB. a, e 是边割集bcC. a, e ,b, c 是

3、边割集图一D. d, e是边割集定义 3.2.9 设无向图 G=为连通图，如有边集E1E，使图 G 删除了 E1 的全部边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1 的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，就称E1 是 G 的一个边割集如边割集为单元集 e ，就称边 e 为割边（或桥）解 割边第一是一条边，由于答案 A 中的是边集，不行能是割边，因此答案 A 是错误的删除答案 B 或 C 中的边后，得到的图是仍是连通图，因此答案 B、C 也是错误的在图一中，删去 d, e边，图就不连通了，所以答案 D 正确答 D注： 假如该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应当会做如：如图 G=，其中 V= a

4、, b, c,d, e ， E= a, b, a,c , a, e , b,c , b, e , c, e , e,d ，就该图中的割边是什么？5. 图 G 如图二所示，以下说法正确选项A. a是割点bB. b, c是点割集欢迎下载精品学习资源C. b, d 是点割集D. c 是点割集acd图二欢迎下载精品学习资源定义 3.2.7 设无向图 G=为连通图，如有点集V1V，使图 G 删除了 V1 的全部结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V1 的任何真子集后，所得的子图仍是连通欢迎下载精品学习资源图，就称 V1 是 G 的一个点割集 如点割集为单元集 v ，就称结点 v 为割点解 在图二中，删

5、去结点 a 或删去结点 c 或删去结点 b 和 d 图仍是连通的，所以答案A、C、D 是错误的在图二中删除结点b 和 c，得到的子图是不连通图，而只删除结点 b 或结点 c，得到的子图仍旧是连通的，由定义可以知道， b,c 是点割集所以答案 B 是正确的答 B6. 图 G 如图三所示，以下说法正确选项d aA. a, d 是割边B. a, d 是边割集bcC. a, d ,b, d是边割集图三D. b, d 是边割集解 割边第一是一条边， a, d 是边集，不行能是割边在图三中，删除答案B 或 D 中的边后，得到的图是仍是连通图因此答案A、B、D 是错误的在图三中，删去a, d边和b, d边，

6、图就不连通了，而只是删除 a, d边或b, d边，图仍是连通的，所以答案 C 正确7. 设有向图（ a）、（ b）、（ c）与（ d）如图四所示，就以下结论成立的是 图四A（ a）是强连通的B（ b）是强连通的C（ c）是强连通的D（ d）是强连通的复习：定义3.2.5 在简洁有向图中，如在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，就称图 G 是单向（侧）连通 的；如在任何结点偶对中，两结点对相互可达，就称图G 是强连通 的；欢迎下载精品学习资源如图 G 的底图，即在图 G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，就称图G 是弱连通的明显，强连通的肯定是单向连通和弱连通的，单向连通的肯定

7、是弱连通，但其逆均不真定理 3.2.1 一个有向图是强连通的，当且仅当G 中有一个回路，其至少包含每个结点一次单侧连通图判别法： 如有向图 G 中存在一条经过每个结点至少一次的路，就G 是单侧连通的；答 A（有一条经过每个结点的回路） 问： 上面的图中，哪个仅为弱连通的？答： 图d是仅为弱连通的请大家要复习“弱连通”的概念8. 设完全图 K n 有 n 个结点n 2，m 条边，当（）时， K n 中存在欧拉回路A m为奇数Bn 为偶数C n 为奇数Dm 为偶数解 完全图 K n 每个结点都是 n 1 度的，由 定理 4.1.1 的推论知 K n 中存在欧拉回路的条件是 n 1 是偶数，从而 n

8、 为奇数；答 C提示： 前面提到 n 阶无向完全图Kn 的每个结点的度数是 n- 1，现在要问 ：无向完全图 Kn 的边数是多少？答： nn1/29. 如 G 是一个汉密尔顿图，就G 肯定是 A平面图B对偶图C欧拉图 D连通图定义4.2.1 给定图G，如存在一条路经过图 G的每个结点一次且仅一次，就该路称为汉密尔顿路；如存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，就该回路称为汉密尔顿回路；欢迎下载精品学习资源具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图 由定义可知，汉密尔顿图是连通图 答 D10. 如 G 是一个欧拉图，就 G 肯定是 A平面图B汉密尔顿图C连通图 D对偶图定义 4.1.1给定无孤立结点

9、图 G，如存在一条路经过图G 的每条边一次且仅一次，就该路称为 欧拉路（即，欧拉路中没有重复的边，并且包含了图中的每条边）如存在一条回路经过图G 的每条边一次且仅一次，就该回路称为 欧拉回路 具有欧拉回路的图就称为 欧拉图由定义可知，欧拉图是连通图 答 C11. 设 G 是连通平面图，有 v个结点， e 条边， r 个面，就 r= A e v2Bve2C ev2D ev2答 A（定理 4.3.2：欧拉公式 v e r2）问： 假如连通平面图 G 有 4 个结点， 7 条边，那么图 G 有几个面？ 12无向树 T 有 8 个结点，就 T 的边数为 A 6B7C8D 9 答 B13. 无向简洁图

10、G 是棵树，当且仅当 A G 连通且边数比结点数少1B G 连通且结点数比边数少1C G 的边数比结点数少 1D G 中没有回路答 A（定理 5.1.1（树的等价定义）14. 已知一棵无向树 T 中有 8 个顶点， 4 度、3 度、2 度的分支点各一个， T 的树叶数为欢迎下载精品学习资源A 8 B5 C 4 D3解 这棵无向树 T 有 7 条边，全部结点的度数之和为 14，而 4 度、3 度、2 度的分支点各一个共 3 个结点占用了 9 度，所以剩下的 5 个结点占用 5 度，即这 5 个结点每个都是 1 度结点，故有 5 片树叶答 B15. 设 G 是有 n 个结点， m 条边的连通图，必

11、需删去 G 的 条边，才能确定 G 的一棵生成树欢迎下载精品学习资源A. mnC mn1 B mn1D nm1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源答 A（n 个结点的连通图的生成树有n1 条边，必需删去 m n1 条边）欢迎下载精品学习资源011111001110000110011101016. 设无向图 G 的邻接矩阵为，就 G 的边数为 A.1 1B6C 7D 14 答 C17. 如图二（下图）所示，以下说法正确选项A e 是割点B a,e 是点割集C b, e 是点割集D d 是点割集图二答 A欢迎下载精品学习资源18. 设有向图（ a）、（ b）、（ c）与（ d）如图六（下图）所

12、示，就以下结论成立的是图六A（ a）只是弱连通的B（ b）只是弱连通的C（ c）只是弱连通的 D（ d）只是弱连通的 答 D19. 无向完全图 K4 是（）A. 欧拉图 B汉密尔顿图C非平面图 D树答 B20. 以下结论正确 的是 A无向完全图都是欧拉图B. 有 n 个结点 n1 条边的无向图都是树C. 无向完全图都是平面图D. 树的每条边都是割边 答 D二、填空题1. 已知图 G 中有 1 个 1 度结点， 2 个 2 度结点， 3 个 3 度结点， 4 个 4 度结点，就 G的边数是解 设 G 有 x 条边，就由握手定理，112233442x ， x15答 152. 设给定图 G如右由图所

13、示 ，就图 G 的点割集是解 从图 G 中删除结点 f，得到的子图是不连通欢迎下载精品学习资源图，即结点集 f 是点割集；从图 G 中删除结点 c 和 e，得到的子图是不连通图，而只删除 c 或 e，得到的子图仍旧是连通的，所以结点集 c, e 也是点割集而其他结点集都不满意点割集的定义的集合，所以应当填写： f 、 c, e答f、c,e提示： 如 f 是图 G 的割点，就 f是图 G 的点割集，删除 f 点后图 G 是连通吗？3. 设 G 是一个图，结点集合为V，边集合为 E，就 G 的结点等于边数的两倍 答 的度数之和4. 无向图 G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 答 G 的结点度数都

14、是偶数 （定理 4.1.1的推论）5. 设 G= 是具有 n 个结点的简洁图，如在G 中每一对结点度数之和大于等于，就在 G 中存在一条汉密尔顿路答 n 1（定理 4.2.2 ）6. 如图 G= 中具有一条汉密尔顿回路，就对于结点集 V 的每个非空子集 S，在G 中删除 S 中的全部结点得到的连通分支数为 W，就 S中结点数 |S|与 W 满意的关系式为 答 W |S|（ 定理 4.2.1 ）7. 设完全图 K n 有 n 个结点n 2，m 条边，当时， K n 中存在欧拉回路 答 n 为奇数 （同一、 8 题）8. 结点数 v 与边数 e 满意关系的无向连通图就是树 答 e v 1（ 定理

15、5.1.1（树的等价定义）9. 设图 G 是有 6 个结点的连通图，结点的总度数为 18，就可从 G 中删去条边后使之变成树解 由握手定理（ 定理 3.1.1）知道图 G 有 18 2=9 条边，又由 定理 5.1.1 中给出的图欢迎下载精品学习资源T 为树的等价定义之一是“图 T 连通且 e=v- 1”，可以知道图 G 的生成树有 5 条边， 从而要删去 4 条边答 410. 设正就 5 叉树的树叶数为 17，就分支数为 i =答 4（定理 5.2.1：m-1i=t-1 ）三、判定说明题 （判定以下各题，并说明理由）1. 假如图 G 是无向图，且其结点度数均为偶数，就图G 存在一条欧拉回路

16、解 错误只有当 G 是连通图且其结点度数均为偶数时，图G 才存在一条欧拉回路2. 如下图所示的图 G 存在一条欧拉回路解 错误由于图 G 有两个奇数度（ 3 度）结点，所以不存在欧拉回路注： 这是一个汉密尔顿图，但不是欧拉图；可见汉密尔顿图不肯定是欧拉图 其实，欧拉图也不肯定是汉密尔顿图如下图所示，图（ 1）是欧拉图又是汉密尔顿图，图（2）是欧拉图但不是汉密尔顿图，图（ 3）不是欧拉图但它是汉密尔顿图，图（4）不是欧拉图也不是汉密尔顿图；欢迎下载精品学习资源3. 如下图所示的图 G 不是欧拉图而是汉密尔顿图图 G解 正确图 G 有 4 个 3 度结点 a， b， d， f，所以图 G 不是欧拉

17、图图G 有汉密尔顿回路abefgdca，所以图 G 是汉密尔顿图4. 设 G 是一个有 7 个结点 16 条边的连通 简洁图，就 G 为平面图 解 错误由定理 4.3.3 知，如 G 有 v 个结点 e 条边，且 v 3，就 e3v 6但此题中， 1637 6 不成立5. 设 G 是一个连通平面图，且有 6 个结点 11 条边，就 G 有 7 个面 解 正确由欧拉定理，连通平面图G 的结点数为 v，边数为 e，面数为 r，就 v e+r=2于是有 r=2 v+e=2 6+11=7问：“完全图 K6 是平面图”是否正确？答 不正确由于完全图 K6 有 6 个结点 15 条边，且 15 3 6-

18、6=12，即 e3v-6 对 K6不成立，所以K6 不是平面图欢迎下载精品学习资源四、运算题1设 G=， V= v1 ， v2， v3 ， v4， v5 ， E= v1,v3 ，v2,v3， v2,v4， v3 ,v4 ， v3,v5， v4,v5 ，试1 给出 G 的图形表示；2 写出其邻接矩阵；3 求出每个结点的度数；4 画出其补图的图形 解 （ 1） G 的图形为：（2） ）图 G 的邻接矩阵为：0010000110A110110110100110（3） ）图 G 的每个结点的度数为：degv1 1 ， degv22 ， degv3 4 ， degv43 ， degv5 2 （4） ）由

19、关于补图的 定义 3.1.9 可知，先在图 G 补充边画出完全图（见下面左图）， 然后去掉原图的边，可得图 G 补图（见下面右图）：欢迎下载精品学习资源留意：补图中，假如没有标出结点 v3，就是错的 2图 G=，其中 V= a, b, c,d,e ，E= a, b, a, c, a, e, b, d, b, e, c, e, c, d, d, e ，对应边的权值依次为 2、1、2、3、6、1、4 及 5，试（1） ）画出 G 的图形；（2） ）写出 G 的邻接矩阵；（3） ）求出 G 权最小的生成树及其权值解 （ 1） G 的图形如左下图：（ 2） G 的邻接矩阵为：0110110011A10

20、0110110111110（3）图G有5个结点，其生成树有4 条边，用 Kruskal 算法求其权最小的生成树T ：第 1 步，取具最小权 1 的边a,c；第 2 步，取剩余边中具最小权 1 的边c,e；第 3 步，取剩余边中不与前 2 条边构成回路的具最小权 2 的边a,b；欢迎下载精品学习资源第 4 步，取剩余边中不与前 3 条边构成回路的具最小权 3 的边b,d欢迎下载精品学习资源所求最小生成树 T 如下图，其权为W T 11237 欢迎下载精品学习资源留意：在用避圈法求最小的生成树的关键是：“取图中权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，许多同学只留意到取权数最小的边了，而忽视了“不

21、构成圈”的要求；假如题目给出如解 1 中所示赋权图，要求用Kruskal 算法（避圈法）求出该赋权图的最小生成树，大家应当会吧3. 已知带权图 G 如右图所示1 求图 G 的最小生成树； 2运算该生成树的权值解 （ 1）图 G 有 6 个结点，其生成树有 5 条边，用 Kruskal 算法求其权最小的生成树 T ： 第 1 步，取具最小权 1 的边；第 2 步，取剩余边中具最小权 2 的边；第 3 步，取剩余边中不与前 2 条边构成回路的具最小权 3 的边； 第 4 步，取剩余边中不与前 3 条边构成回路的具最小权 5 的边； 第 5 步，取剩余边中不与前 4 条边构成回路的具最小权 7 的边

22、所求最小生成树 T 如右图（ 2）该最小生成树的权为W T 1 2 3 5 7 18 欢迎下载精品学习资源4. 设有一组权为 2,3,5,7,17,31，试画出相应的最优二叉树，运算该最优二叉树的权 解 （ Huffman 算法）：第一组合 2+3，求带权 5,5,7,17,31的最优二叉树；再组合 5+5，求带权 7, 10,17,31的最优二叉树； 然后组合 7+10，求带权 17, 17,31的最优二叉树； 连续组合 17+17，求带权 31, 34 的最优二叉树； 最终组合 31+34，得 65，这是树根所带的权；可从树根开头往下画，即得所求最优二叉树T 如下图：所求最优二叉树 T 的

23、权为：wT 2355473172311131讲评：作业中最优二叉树往往都能画对了，但运算总权值时可能会把有些权的层数运算错了，导致总权值运算错误，大家肯定要细心；留意：这 4 个运算题的解题方法大家肯定要把握；补充： 教材第 101 页例3给定如 图3.3.3所示有向图，其邻接矩阵以及邻接矩阵的乘积如下：欢迎下载精品学习资源01000101001010002000A01000 ， A 21010000001000100001000001020002020020200040003A020004， A2020000001000100001000001从上面的矩阵中可以得到一些结论，如：（1） ）从

24、A 2中第1行第3列的为 1可知，结点 v1与v3之间有一条长度为 2的路；（2） ）从A 3中第1行第2列的为 2可知， v1与v2之间有 2条长度为 3的路；（3） ）从A 4中第2行第2列的为 4可知，在结点 v2有4条长度为 4的回路假如改成问题：试求：（1） ）图G中结点 v1与v3之间长度为 2的路径条数； 1条（2） ）图G中v1与v2之间长度为 3的路径条数；2条（3） ）图G中经过 v2的长度为 4的回路条数4条欢迎下载精品学习资源五、证明题证明题同学一般都做不好，缘由是对证明题方法没有把握，也是对一些概念不清晰所造成的；因此，期望大家仔细学习教材和老师讲课中的证明方法，并通

25、过作业逐步把握做证明题的方法；1. 设 G 是一个 n 阶无向简洁图， n 是大于等于 3 的奇数证明图 G 与它的补图 G 中的奇数度顶点个数相等证明 设GV , E， GV , E就 E 是由 n 阶无向完全图 Kn 的边删去 E 所得到的所以对于任意结点 uV ， u 在 G 和G 中的度数之和等于u 在 Kn 中的度数由欢迎下载精品学习资源于 n 是大于等于 3 的奇数，从而Kn 的每个结点都是偶数度的（n1 2 度），于欢迎下载精品学习资源是如 uV 在 G 中是奇数度结点，就它在G 中也是奇数度结点故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等欢迎下载精品学习资源2. 设连通图 G 有 k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加欧拉图k 条边才能使其成为2欢迎下载精品学习资源证明 由定理 3.1.2 知， k 必为偶数要使这 k 个奇数度结点变成偶数度结点，从而使图 G 变成欧拉图，可在每两个奇数度结点间添加一条边故在图G 中至少要添k加 2 条边才能使其成为欧拉图欢迎下载