2022年工程数学习题集复变函数积分变换.docx

《2022年工程数学习题集复变函数积分变换.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年工程数学习题集复变函数积分变换.docx（52页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品学习资源第 1 次 复变函数（ 1）一、填空题；欢迎下载精品学习资源1. 设 z1i 2i3i ，就 z = 欢迎下载精品学习资源3i 2i3欢迎下载精品学习资源2. 设 z5 , arg zi ,就 z= 4欢迎下载精品学习资源3. 不等式 z2z25 所表示的区域是曲线的内部；4. 复数 13i 的三角表达式为欢迎下载精品学习资源二、请运算1i 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、已知z1和z2 是两个复数，证明2z1z222z1z22 Re z1 z2 欢迎下载精品学习资源四、以下坐标变换公式写成复数形式；欢迎下载精品学习资源1） 平移公式：x x1a1，y y1b1欢

2、迎下载精品学习资源2） 旋转公式：x x1 cosy x1 siny1 sin y1 cos欢迎下载精品学习资源五、指出以下各题中点z 的轨迹或所在范畴，并作图；1） z56 ；2 ） z2i1；欢迎下载精品学习资源3 z3z14 ；4z31z 2欢迎下载精品学习资源六、将以下方程（ t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：欢迎下载精品学习资源1） zt1i ；2 ） za costib sin t a, b 为实常数 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源23） zti2 ；4tzaeitbe it欢迎下载精品学习资源第 2 次 复变函数（ 2）一、填空题1.lim 1z22 z

3、4 z1 i欢迎下载精品学习资源2. 由映射f zz2 得到的两个二元实函数u x, yv x, y.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 函数f zz 在 z z0 时极限为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 已知映射z3 , 就点 zi 在该映射下在平面的象为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、对于映射w1 z21 ，求出圆周 |z|=4 的像；z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、函数 w21） x1把以下 z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？z2y 4 ；2 ） yx ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3x1 ；4 x12y21 .欢迎

4、下载精品学习资源四、设函数f z 在 z0 连续且f z00 ，那么可找到z0 的小邻域，在这邻域内f z0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源五、设f z1 zz, z0 . 试证当 z0 时 f z 的极限不存在；欢迎下载精品学习资源2izz欢迎下载精品学习资源* 六、设limz z0f z A ，证明函数f z 在z0 的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源数 M0 ，使在z0 的某一去心邻域内有f zM .欢迎下载精品学习资源第三次 解读函数（ 1 ）一、填空题1. 设2. 导函数在区域 D 解读的充要条件为53. 设欢迎下载精品学习资

5、源4. 已知函数f z2z2i ，就该函数的导数为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、争论下面函数的可导性，假如可导，求出f / z .欢迎下载精品学习资源221） f zxiy欢迎下载精品学习资源2） f zz Im z欢迎下载精品学习资源三 假如是 的解读函数，证明欢迎下载精品学习资源四、设为解读函数，试确定， 的值.五、证明柯西黎曼方程的极坐标形式为.* 六 、 设的 解 读 函 数 ， 如 记欢迎下载精品学习资源一、填空题第四次 解读函数（ 2 ）欢迎下载精品学习资源1） 1 22） i i 主值是 .ez13） limz0z欢迎下载精品学习资源4） 函数f zz Im zRe

6、 z 仅在点 z处可导 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5 如函数f zxayi xby 在复平面上解读，就ab =欢迎下载精品学习资源二、求出以下全部解；1；2.三解方程欢迎下载精品学习资源四、证明：当 y时，趋于无穷大 .欢迎下载精品学习资源五、求Ln3i , Ln 34i 和它们的主值 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源六. 求， exp 1+/4，和 1i i的值.欢迎下载精品学习资源一、填空题第五次 复积分的概念、柯西古萨定理_欢迎下载精品学习资源1） 设 c 为沿原点z0 到点y 2z1isin的直线段，就2 z dz ；cz欢迎下载精品学习资源2） 设 c 是椭

7、圆x21，就dz ；欢迎下载精品学习资源4C z2欢迎下载精品学习资源3） 设 c 是 zei， 从到的一周，就Re zdz；c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4） 设 c 为正向圆周z3 ，就_zzdz；cz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、沿原点路线运算积分3 iz2dz0欢迎下载精品学习资源（ 1） 自原点至 3+i 的直线段；（ 2） 自原点沿实轴至 3，再由 3 铅直向上至 3+i ；（ 3） 自原点沿虚轴至 i，再由 i 沿水平方向向右至3+i ；欢迎下载精品学习资源三、求积分3z2dz 的值，其中 C 为：C欢迎下载精品学习资源（ 1）从 1i 到 34i 的直

8、线段；（ 2）圆周 z1i1的正向；欢迎下载精品学习资源四、 试用观看法得出以下积分的值，并说明观看时所依据的是什么？C 是正向单位圆周z1；欢迎下载精品学习资源dz（ 1）2c z2z（ 2）4dzc z12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）cze2dz （4）czdziz2欢迎下载精品学习资源2欢迎下载精品学习资源五、证明sin zCz2dz2e ，其中 C 是单位圆z1的一周；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源六、运算积分1dz欢迎下载精品学习资源z 1 1z21欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源七、设f z 在原点的某邻域内连续，试证明欢迎下载精品学习资源欢迎

9、下载精品学习资源lim2f rei d2f 0欢迎下载精品学习资源r00欢迎下载精品学习资源第六次 复合闭路定理 原函数与不定积分欢迎下载精品学习资源一、填空题：1 设 c 为负向圆周 z4 ，就c z柯西积分公式ez5 dz ；i 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 设 c 为正向圆周 z1，就cos 2zdz；欢迎下载精品学习资源3 积分i zcosz2dz 的值为；0C 2 z23z1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源34 积分i e2zdz=；i欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5 设 c 为正向圆周 z5 ，就Cz23 z12 z3dz 的值为；欢迎下载精品学习资

10、源二、沿指定曲线的正向运算以下积各积分dzez欢迎下载精品学习资源1z2ca2 ,c : zaa;（ 2）5 dz,c : z1.zc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）dz, c : z3;（ 4）sin zdz2;欢迎下载精品学习资源cz92z z21, c : z2ic欢迎下载精品学习资源三、 运算以下函数沿正向圆周的积分（ 1）43cz1z2idz, 其中 c： z4 ；（ 2）2icz2dz, 其中1c : z16sin四、 运算积分4czz21 dz, 其中 C 分别为：1 z11；22 z11；23 z2.五、 运算以下各题1（ 1）0zsin zdz; （2）i12

11、iz 2dz六、求积分ze dz, 从而证明ecoscossin dz 1z0欢迎下载精品学习资源一 填空题第七次 高阶导数公式 解读函数与调和函数的关系欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1） 、设f z sin2d2z，其中 z2, 就f 3 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2） 、设 C 为负向圆周 z4 ，就c zez5 dz ；i 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源23） 、设 C 为任意实常数，那么由调和函数ux2y2 确定的解读函数f zuiv 是；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4） 、如函数u x, yx3axy 为某一解读函数的虚部，就常数a；欢

12、迎下载精品学习资源二 运算以下积分欢迎下载精品学习资源（ 1）c c1coszdz, 其中32czc1 : z2 为正向，c2 : z3 为负向；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）2z2z12dz, c : z2;欢迎下载精品学习资源c z1欢迎下载精品学习资源（ 3）c z113 z13dz, 其中 C 为复平面内不过1 的一条正向简洁闭曲线；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三 以下各已知调和函数求解读函数f zuvi欢迎下载精品学习资源(1) uxy x24xyy2 ;(2) 2vx2y, f 20;y 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源四、证明ux2y2 ,

13、 vx2x都是调和函数，但是y2f zuiv 不是解读函数；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源五、设 vepxsin y, 求 p 的值使 v为调和函数，并求出解读函数f zuiv ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源六、运算积分1C z2dz 的值，并由此运算12 cosd00 54 cos欢迎下载精品学习资源第八次复数项级数 幂级数欢迎下载精品学习资源一、填空题欢迎下载精品学习资源（ 1）如幂级数c zi n 在 znn 0i 处发散，那么该级数在z2 处的敛散性为；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）幂级数2i n z2nn 01 的收敛半径 R =；欢迎下载精品

14、学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）极限lim2nni；欢迎下载精品学习资源n1ni欢迎下载精品学习资源（ 4）幂级数 nn 01zn 的和函数为；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、以下数列 an 是否收敛？假如收敛，求出它们的极限；nsin i欢迎下载精品学习资源1） an1i n2； 2） an 1ni； 3） ann1n欢迎下载精品学习资源三、判别以下级数的肯定收敛性与收敛性；欢迎下载精品学习资源n65i 8n1）n 0；2 ）ncosin2n0欢迎下载精品学习资源2n3）；n 0 sin in四、求以下幂级数的收敛半径；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源n n. 2n1

15、）nzn 1；2 ）ein 1/ nnz；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3）1n 1i n zn；4 ）n34i n z2n1欢迎下载精品学习资源五、把以下各函数绽开成z 的幂函数，并指出它们的收敛半径；欢迎下载精品学习资源11） 1z3；2）11；z2 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源六、求nnn 212i n的值；欢迎下载精品学习资源一、填空题（ 1）函数arctan z 在 z1第九次 泰勒级数 洛朗级数0 处的泰勒绽开式为欢迎下载精品学习资源（ 2）函数ezez 在 0| z |内的洛朗绽开式为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）函数esin z 在 z

16、 10 处泰勒绽开式的收敛半径为n欢迎下载精品学习资源（ 4）设zz1nan z1 , z11 ，就 a 3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 5）函数1z zi 在1zi内的洛朗绽开式是欢迎下载精品学习资源二、求以下各函数在指定点z0 处的泰勒绽开式，并指出它们的收敛半径：欢迎下载精品学习资源01） z1 , zz11 ；2 ）zz 1 z, z02 ；2欢迎下载精品学习资源013） z2, z01 ；4 ）41, z1i 3z欢迎下载精品学习资源三、把以下各函数在指定的圆环域内绽开成罗朗级数；11）,0| z | 1;2| z2 |；z z1z2欢迎下载精品学习资源2） z21,1

17、| z |32 z3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源13）2 ,0z1z| z |1;0| z1 |1 ；欢迎下载精品学习资源四、设 C 为正向圆周 z3 ，利用洛朗级数绽开式运算以下积分：1）1dz ；2）zdz ；欢迎下载精品学习资源C z z1 2C z1 z2欢迎下载精品学习资源一、填空题：第十次 留数（ 1）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. 设 z0 为函数 z2sinz2 的 m 级零点，那么 m欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 假如z0 是 f z 的 mm1) 级零点，那么1z0 是f z 的级零点；欢迎下载精品学习资源3. z1 是函数 z1

18、sin的z1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. z1 是 f zsin z的 级极点；欢迎下载精品学习资源 z13二、以下函数有些什么奇点？假如是极点，指出它的级：11）22z z1欢迎下载精品学习资源2） 3z1z2z1欢迎下载精品学习资源sin zz3）3z欢迎下载精品学习资源4）ez1 z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5）11z21e z 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一、填空题：第十一次 留数（ 2）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1 设 za 为函数f z 的 m 级极点，那么Resf z , a；欢迎下载精品学习资源f z欢迎下载精品学习资源2

19、 积分1z3 e z dz；z 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源z3 Re s2z1, 2=2 z欢迎下载精品学习资源二、求以下函数在有限奇点处的留数：欢迎下载精品学习资源z1）z211e2 z2）42 zz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源13） z2z413z4）cos z欢迎下载精品学习资源211欢迎下载精品学习资源5） zsinz6）zsin z欢迎下载精品学习资源三、利用留数运算以下积分（圆周均取正向）欢迎下载精品学习资源e2z1）2 dz2z152243 dz欢迎下载精品学习资源|z| 2 z1|z| 3 z1 z2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3|z|

20、11 za n zbndz（其中为正整数，且 | a | 1,| b |1,| a | | b |）欢迎下载精品学习资源* 五 运算以下积分211） d053sin欢迎下载精品学习资源x22） dx01x4xsin x3） 1x2 dx欢迎下载精品学习资源一、填空题（ 1） 将单位圆 z* 第十二次 共形映射1映射为圆域R 的分式线性变换的一般形式为；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） 把上半平面Im z0 映射成单位圆 z1 且满意1i0112i 的分3欢迎下载精品学习资源z式线性变换；欢迎下载精品学习资源（ 3） 映射e 将带形域 0Im z3映射为；4欢迎下载精品学习资源（

21、 4） 一般分式映射的性质有，；欢迎下载精品学习资源（ 5） 将点2, i,2 映射为1,i ,1 的分式线性映射是；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、求z2 在 zi 处的伸缩率和旋转角；问：将z2 经过点 zi 且平行于实轴正向欢迎下载精品学习资源的曲线的切线方向映射成平面上哪一方向？并作图；欢迎下载精品学习资源三、求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满意条件：1欢迎下载精品学习资源1f 20 ， f 11 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12f 20 ， arg f1 ；22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3） f 1 20 ， arg f 1 0 ；2欢

22、迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源四、求 分 式 线 性 映 射f z， 它 将Im z0 映 射 成1 且满 足 条 件f i 0 ，欢迎下载精品学习资源argf i；2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源五、证明任何一个分式线性映射waz czb都可以认为 addbc1 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一、填空题第十三次傅立叶变换（ 1 ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）设 a0 ， ft eat , e at ,t0，就函数t0f t 的傅氏积分为；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）设f t sin2 t ，就F ft ；欢迎下载精品学习资

23、源欢迎下载精品学习资源（ 3）设f tt ，就F ft ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 4）设F w2ww0 .，就 F1 F w=；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 5）设f t sin2 t ，就F ft =；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、运算一下函数的傅氏变换：A,0t欢迎下载精品学习资源1） 、矩形脉冲函数f t 0,；other欢迎下载精品学习资源2） 、f t 1t 2 ,t 21；0,t 21欢迎下载精品学习资源3） 、f t 0,t0；e t sin 2t ,t0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源34） 、f t cos t ；欢迎下

24、载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5） 、sgnt t t1,t0；1,t0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、已知某函数f t 的傅氏变换为F wsin w w，求该函数f t ；欢迎下载精品学习资源* 四、求高斯分布函数f tt 212e 22的频谱函数；欢迎下载精品学习资源2一、填空题第十四次傅立叶变换（ 2 ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）f t sint2cos t ，就F ft ；欢迎下载精品学习资源F cos t2sin 2t ；欢迎下载精品学习资源（ 2） F f tt0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）设f t t1 ，就 F f

25、t；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 4）设f t e jw0 t .，就F ft ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、利用性质运算函数f t 的傅氏变换：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1） 、f t sinw0t ut ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2） 、f t esin w 0t ut ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源t3） 、f t ejw 0tutt 0欢迎下载精品学习资源0,t0sin t,0t欢迎下载精品学习资源三、如f1 t t, f 2 t2 ，欢迎下载精品学习资源e,t00,other欢迎下载精品学习资源求 f1 t *

26、f 2t ；欢迎下载精品学习资源四、如F1 wF f1 t , F2 wF f 2 t ，证明：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源F f t f t1 F w * F w欢迎下载精品学习资源12122欢迎下载精品学习资源一、填空题第十五次拉普拉斯变换（ 1 ）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1) 设 L f ttF s ，0 就 L ef t =；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2） 设f t 2 1tcos at ，就 L f t =；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3） 设f te t ut1) ，就 L f t =；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4） 设 2t ，就 L 2t=；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5） 设f tsin t ，就 L 3f t =；欢迎下载精品学习资源二、求以下函数的拉氏变换欢迎下载精品学习资源1）、f t sin t cost2）、f tt 23t2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3）、f te2 tsin 6t4）、f t e te 2tdt0t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源