2022年广州一模理科数学试题以及解答.docx

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1、精品学习资源2021 年广州市一般高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷类型： A2021.3欢迎下载精品学习资源本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分考试用时120 分钟留意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上；用 2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上；2. 挑选题每道题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上；3. 非挑选题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉

2、原先的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液；不按以上要求作答的答案无效；4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答；漏涂、错涂、多涂的，答案无效；5. 考生必需保持答题卡的洁净；考试终止后，将试卷和答题卡一并交回；欢迎下载精品学习资源参考公式： 锥体的体积公式V1 Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12222x1x2xn欢迎下载精品学习资源方差 sx1nxx2xxnx，其中 x.n欢迎下载精品学习资源一、挑选题：本大题共8 小题，每道题 5 分，满分 40 分在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题

3、目要求的欢迎下载精品学习资源1. 已知复数abii 1i（其中a, bR ， i 是虚数单位），就 ab 的值为欢迎下载精品学习资源A 2 B1 C 0D 2欢迎下载精品学习资源2. 已知全集 UR ，函数 y1的定义域为集合A ，函数 yx1log 2 x2 的定义域为集合 B ，就欢迎下载精品学习资源集合 eU ABA 2, 1 B2,1 C,2 D1,欢迎下载精品学习资源3. 假如函数 fxsinx60 的相邻两个零点之间的距离为，就的值为12欢迎下载精品学习资源A 3B 6C 12D 24欢迎下载精品学习资源4. 已知点 P a，b（ ab0 ）是圆 O ： x2y2r 2 内一点，直

4、线 l 的方程为axbyr 20 ，那么直欢迎下载精品学习资源线 l 与圆 O 的位置关系是欢迎下载精品学习资源A 相离 B相切 C相交D 不确定欢迎下载精品学习资源5. 已知函数 fx2x1，对于任意正数 a， x1x2a 是 fx1fx2a 成立的欢迎下载精品学习资源A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件欢迎下载精品学习资源6. 已知两个非零向量a 与 b ，定义aba b sin，其中为 a 与 b 的夹角如a =3,4 ，欢迎下载精品学习资源b =0,2 ，就 ab 的值为A 8 B6 C 8D 6欢迎下载精品学习资源7. 在 ABC 中，的概率为A

5、BC60 ， AB2 ， BC6 ，在 BC 上任取一点 D ，使 ABD 为钝角三角形欢迎下载精品学习资源1112A BCD63238. 从 0，1， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8，9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标x, y, z ，如 xyz 是 3 的倍数，就满意条件的点的个数为A 252B 216C 72D 42二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每道题 5 分，满分 30 分欢迎下载精品学习资源（一）必做题（ 9 13 题）9. 如图 1 是一个空间几何体的三视图，就该几何体的体积为2222欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学

6、习资源210. 已知 2kx11 dx4 ， 就实数 k 的取值范畴为2正主视图2侧左视图欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源211. 已知幂函数 ym5m7xm2在区间 0,上单调递增，62欢迎下载精品学习资源就实数 m 的值为欢迎下载精品学习资源12. 已知集合Ax 1 x 2 ，Bx xa 1，如 A IBA ，2欢迎下载精品学习资源就实数 a 的取值范畴为俯视图图 1欢迎下载精品学习资源13. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上争论数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数 ，依据点或小石子能排列的外形对数进行分类，如图2 中的实心点个数 1 ， 5， 12，欢

7、迎下载精品学习资源22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a11，第 2个五角形数记作a25 ，第 3个五角欢迎下载精品学习资源形数记作a312 ，第 4 个五角形数记作a422，如按此规律连续下去，就a5，如欢迎下载精品学习资源an145 ，就 n欢迎下载精品学习资源151222图 2（二）选做题（ 14 15 题，考生只能从中选做一题）B14（几何证明选讲选做题）如图3，圆 O 的半径为 5 cm ，点 P 是弦 AB 的中点，CP欢迎下载精品学习资源OP3 cm，弦 CD 过点 P ，且 CPCD1 ，就 CD 的长为 cm D3A欢迎下载精品学习资源15（坐标系与参数方程选做题）在

8、平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线 C 的O欢迎下载精品学习资源参数方程分别为l ：xy1s,1s（ s为参数）和 C ：x ty t22,（ t 为参数），图 3欢迎下载精品学习资源如 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，就AB三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分 12分）欢迎下载精品学习资源已知函数f xtan 3x4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）求 f的值；9欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）设3,，如 f2342 ，求 cos的值4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源17（本小题满分 1

9、2分）如图 4 所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4 人）在期末考试中的数学成果乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示甲组乙组欢迎下载精品学习资源已知甲、乙两个小组的数学成果的平均分相同（ 1）求 a 的值；（ 2）求乙组四名同学数学成果的方差；（ 3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成果之差的肯定值为X ，求随机变量 X 的分布列和均值（数学期望）（ 温馨提示：答题前请认真阅读卷首所给的运算公式及其说明）978669图 47a35欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源18（本小题满分 14分）如图 5 所示，在三棱锥 PABC 中，ABBC6

10、，平面 PAC平面 ABC ， PDAC 于点欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D ， AD1 ， CD3 ， PD3 P欢迎下载精品学习资源（ 1）证明 PBC 为直角三角形；（ 2）求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值3 / 21ADC B图 5欢迎下载精品学习资源219（本小题满分 14 分）欢迎下载精品学习资源等比数列an 的各项均为正数，2a4, a3,4 a5 成等差数列，且 a32a2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）求数列an的通项公式；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）设 b2n5a ，求数列b的前 n 项和 S 欢迎下载精品学习资

11、源nnnn2n12n320（本小题满分 14分）y2欢迎下载精品学习资源已知椭圆x21的左，右两个顶点分别为A 、 B 曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点，离心率为4欢迎下载精品学习资源5 的双曲线设点 P 在第一象限且在曲线C 上，直线 AP 与椭圆相交于另一点 T （ 1）求曲线 C 的方程；欢迎下载精品学习资源（ 2）设 P 、 T 两点的横坐标分别为x1、x2 ，证明：x1 x21；uur uur欢迎下载精品学习资源（ 3）设TAB 与POB （其中 O 为坐标原点）的面积分别为S1 与S2 ，且 PAgPB15 ，求欢迎下载精品学习资源S 2S 2 的取值范畴12欢迎下载精品学习

12、资源21（本小题满分 14分）x2x3xn欢迎下载精品学习资源设函数f xex e为自然对数的底数 ，gn x1x2.3.L（ nN * ）n.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）证明：f x g1 x ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）当 x0 时，比较f x与 gn x 的大小，并说明理由；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 3）证明： 1123222L2ngn1e（ nN* ）欢迎下载精品学习资源234n14 / 21欢迎下载精品学习资源2021 年广州市一般高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明： 1 参考答案与评分标准指出

13、了每道题要考查的主要学问和才能，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依据试卷主要考查的学问点和才能对比评分标准给以相应的分数2. 对解答题中的运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4. 只给整数分数，挑选题和填空题不给中间分一、挑选题：本大题考查基本学问和基本运算共8小题，每道题 5分，满分 40分题号12345678答案DBCABDCA二、

14、填空题：本大题查基本学问和基本运算，表达挑选性共7 小题，每道题5 分，满分30分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题第13 题仅填对 1 个，就给 3 分欢迎下载精品学习资源4391032 , 2311 312 1,2 13 35，1014 6 2 15 2欢迎下载精品学习资源三、 解答题：本大题共 6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（ 本小题满分 12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等学问，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解才能）欢迎下载精品学习资源（ 1） 解： f9tan34欢迎下载精品学习资源

15、欢迎下载精品学习资源1 分tan3tan43 分欢迎下载精品学习资源1tantan34 4 分3123 13欢迎下载精品学习资源（2）解：因为欢迎下载精品学习资源3ftan5 分欢迎下载精品学习资源3444tan欢迎下载精品学习资源 6 分 7 分tan2 欢迎下载精品学习资源所以 sin2 ，即 sin2coscos22由于 sincos1 ，由、解得cos21 9 分5欢迎下载精品学习资源因为, 32，所以co5s，5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源sin2510 分5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 coscoscos 44sinsin4欢迎下载精品学习资源11 分5

16、22523 10525210欢迎下载精品学习资源12 分17（ 本小题满分 12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等学问，考查或然与必定的数学思想方法，以及数据处理才能、运算求解才能和应用意识）（1）解：依题意，得18789969618790a9395 ，1 分44解得a3 . 2 分（ 2） 解： 依据已知条件，可以求得两组同学数学成果的平均分都为x92 . 3 分所以乙组四名同学数学成果的方差为欢迎下载精品学习资源s218792 242939229392295929 .欢迎下载精品学习资源 5 分（ 3 ） 解 ： 分 别 从 甲 、 乙 两 组 同 学 中

17、 各 随 机 选 取 一 名 同 学 ， 共 有 441 6种 可 能 的 结果 6 分这两名同学成果之差的肯定值X 的全部情形如下表：乙X甲 87899696870299936433936433958611所以X的所有可能取值为0，1，2，3，4， 6，8，9. 8 分欢迎下载精品学习资源由表可得P X0116， P X1216， P X2116， P X34 ，16欢迎下载精品学习资源P X4216， P X6316， P X8116， P X92 .16欢迎下载精品学习资源所以随机变量X 的分布列为：012346891214231210 分1616161616161616XP随机变量 X

18、 的数学期望为欢迎下载精品学习资源EX0112213442638192欢迎下载精品学习资源11 分16161616161668171616欢迎下载精品学习资源12 分164. 欢迎下载精品学习资源18（ 本小题满分 14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等学问，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能）（ 1） 证明 1： 由于平面 PAC平面 ABC ，平面 PAC平面 ABCAC ， PD平面 PAC ，PDAC ，所以 PD平面ABC 1 分记 AC 边上的中点为 E ，在 ABC 中， ABBC ，所以 B

19、EAC 欢迎下载精品学习资源因为AB6B ，CAC4，所以欢迎下载精品学习资源22BEBCCE22622 3 分欢迎下载精品学习资源由于 PDAC ，所以 PCD 为直角三角形P由于 PD3 ， CD3 ，2222所以 PCPDCD3323 4 分欢迎下载精品学习资源连接 BD ，在 Rt BDE 中，由于 BEE2 ， DE1 ，ADC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 BDBE 2DE 222123 5 分B欢迎下载精品学习资源由于 PD平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 PDBD 在 Rt PBD 中，由于 PD3 ， BD3 ，所以22欢迎下载精品学习资源22PBPD

20、BD3366 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 PBC 中，由于 BC6 ， PB6 ， PC23 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 BC 2PB 2PC2 欢迎下载精品学习资源所以P为直角三角形7 分证明 2： 由于平面 PAC平面 ABC ，平面 PAC I 平面 ABCAC ， PD平面 PAC ，PDAC ，所以 PD平面ABC 1 分记 AC 边上的中点为 E ，在 ABC 中，由于 ABBC ，所以 BEAC 欢迎下载精品学习资源因为AB6B ，CAC4，所以欢迎下载精品学习资源2222BEBCCE622 3 分欢迎下载精品学习资源连接 BD ，在 Rt

21、BDE 中，由于BED90o ， BE2 ， DE1 ，欢迎下载精品学习资源所以欢迎下载精品学习资源22B2D4分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 BCD 中，由于 CD3 ， BC6 ， BD3 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以B2C，BD所以 C欢迎下载精品学习资源B5分欢迎下载精品学习资源由于 PD平面 ABC ， BC平面 ABC ，所以B6分由于 BDPDD ，所以 BC平面 PBD 由于 PB平面 PBD ，所以 BCPB 所以P为直角三角形7分（ 2） 解法 1： 过点 A 作平面 PBC 的垂线，垂足为 H ，连 PH ，就APH为直线AP与平面PBC所

22、成的角8 分由（1）知，ABC的面积欢迎下载精品学习资源S ABC1ACBE 222 9 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因为PD3，所以欢迎下载精品学习资源V1SPD122326 10 分P ABCABC333由（ 1）知 PBC 为直角三角形， BC6 ， PB6 ，欢迎下载精品学习资源所以 PBC 的面积S PBC1BCPB1663 欢迎下载精品学习资源2211 分欢迎下载精品学习资源由于三棱锥APBC 与三棱锥 PABC 的体积相等，即VA PBCVP ABC ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即13AH26，所以欢迎下载精品学习资源3326AH12 分3在 Rt P

23、AD 中，由于 PD3 ， AD1 ，2所以欢迎下载精品学习资源2A2313P分欢迎下载精品学习资源由于 sin263AH6APH欢迎下载精品学习资源AP23欢迎下载精品学习资源所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为6 14 分3解法 2： 过点 D 作 DM AP ，设 DMPCM ，就 DM 与平面 PBC 所成的角等于 AP 与平面 PBC 所成的角8 分P由（ 1）知 BCPD ， BCPB ，且 PDPBP ，M所以 BC平面 PBD 由于 BC平面 PBC ，所以平面 PBC平面 PBD 过点 D 作 DNPB 于点 N ，连接 MN ，ADNC就 DN平面 PBC 所以

24、DMN 为直线 DM 与平面 PBC 所成的角 10 分B在 Rt PAD 中，由于 PD3 ， AD1 ，所以2222欢迎下载精品学习资源APPDAD312 11欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分由于 DM AP ，所以 DMCD ，即 DM3，所以欢迎下载精品学习资源APCA243DM12 分2欢迎下载精品学习资源由（ 1）知 BD3 ， PB6 ，且 PD3 ，欢迎下载精品学习资源所以欢迎下载精品学习资源DNPDBD33613欢迎下载精品学习资源分由于 sinPBDMN626DN26 ，欢迎下载精品学习资源DE332所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为6 14 分3解

25、法 3： 延长 CB 至点 G ，使得 BGBC ，连接 AG 、PG ，8 分P欢迎下载精品学习资源在 PCG 中，PBBGBC6 ，10 / 21KEDAC欢迎下载精品学习资源所以CPG90o ，即 CPPG 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 PAC 中，由于 PC2 3 ， PA2 ， AC4 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 PA2PC 2AC 2 ，欢迎下载精品学习资源所以 CPPA 由于 PA I PGP ，所以 CP平面PAG 9 分过点 A 作 AKPG 于点 K ，由于 AK平面 PAG ， 所以 CPAK 由于 PG I CPP ，所以 AK平面 P

26、CG 所以APK 为直线 AP 与平面 PBC 所成的角11 分由（ 1）知， BCPB ，所以 PGPC23 在 CAG 中，点 E 、 B 分别为边 CA 、 CG 的中点， 所以欢迎下载精品学习资源AG2BE分22 12欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 PAG 中， PA2 ， AG2 2 ， PG2 3 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22所以 PAAG2PG，即欢迎下载精品学习资源PAAG 13 分欢迎下载精品学习资源由于 sinAPKAG226欢迎下载精品学习资源PG233所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为6 14 分3解法 4： 以点 E 为坐标

27、原点，以 EB ， EC 所在的直线分别为x 轴， y 轴建立如图的空间直角坐标系Exyz ，欢迎下载精品学习资源 8 分欢迎下载精品学习资源就 A 0,2,0 ， B2,0,0， C 0,2,0， P 0,1,3 Pz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是 AP0,1,3， PB2,1,3， PC0,3,3 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设平面 PBC 的法向量为 nx, y, z ，EADCy欢迎下载精品学习资源n PB0,就n PC0.x B2 xy3z0,即3 y3 z0.取 y1，就 z3 ， x2 所以平面PBC的一个法向量为n2,1,3 12分设直线 AP 与平面

28、 PBC 所成的角为，欢迎下载精品学习资源就 sincosAP,nAP n46 欢迎下载精品学习资源APn263所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为614 分3如第（ 1）、（ 2）问都用向量法求解，给分如下：（ 1）以点 E 为坐标原点，以 EB ， EC 所在的直线分别为x 轴， y 轴建立如图的空间直角坐欢迎下载精品学习资源标系Exyz ，Pz 1 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 B2,0,0， C 0,2,0， P 0,1,3 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是 BP2,1,3， BC2, 2,0EADCy欢迎下载精品学习资源由于 BP BC2,1,32,2

29、,00 ，Bx欢迎下载精品学习资源所以 BPBC 欢迎下载精品学习资源所以 BPBC 所以P为直角三角形7分欢迎下载精品学习资源（ 2）由（ 1）可得，A 0, 2,0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是 AP0,1,3， PB2,1,3， PC0,3,3 欢迎下载精品学习资源设平面 PBC 的法向量为 nx, y, z ，欢迎下载精品学习资源n PB就0,2xy即3z0,欢迎下载精品学习资源n PC0.3y3 z0.取 y1，就 z3 ， x2 所以平面PBC的一个法向量为n2,1,3 12分设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为，欢迎下载精品学习资源就 sincosAP,nAP

30、 n46 欢迎下载精品学习资源APn263所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为6 14 分319（ 本小题满分 14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等学问，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括才能、运算求解才能和创新意识）欢迎下载精品学习资源（ 1） 解： 设等比数列an的公比为 q ，依题意，有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a2a434a5 ,2即欢迎下载精品学习资源a2a 2.32欢迎下载精品学习资源a3a4a2 a2a5,2 .2 分欢迎下载精品学习资源32所以a q2a q2a q ,311分a q22 a q .211欢迎下载精品学习资源由于a1 ,a10，q0，解之得a1 ,12或q1 .2欢迎下载精品学习资源12q1.5 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又a10,q0，所以欢迎下载精品学习资源1a1 , q1 ，6 分欢迎下载精品学习资源22所以