2022年幂法和反幂法求矩阵特征值_课程设计.docx

《2022年幂法和反幂法求矩阵特征值_课程设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年幂法和反幂法求矩阵特征值_课程设计.docx（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品学习资源题幂法和反幂法求矩阵特点值课程设计目具随机产生一对称矩阵，对不同地原点位移和初值至少取 3 个分别使用幂法求运算矩体阵地主特点值及主特点向量，用反幂法求运算矩阵地按模最小特点值及特点向量，并比内较不同地原点位移和初值说明收敛.容1.仔细读题，明白问题地数学原形； 要2.挑选合适问题求解地数值运算方法； 求3.设计程序并进行运算；4.对结果进行说明说明；对于幂法和反幂法求解矩阵特点值和特点向量地问题将从问题分析，算法设计和流程图，理论依据，程序及结果进行阐述该问题.一问题地分析：求 n 阶方阵 A 地特点值和特点向量，是实际运算中常常遇到地问题，如：机械、结构或电磁振动中地固有值问题

2、等.对于 n 阶矩阵 A ，如存在数和 n 维向量 x 满意Ax=x（ 1）就称为矩阵 A 地特点值， x 为相应地特点向量 .采用由高等代数学问可知，特点值是代数方程欢迎下载精品学习资源1方|I-A|=n +an 1 + +a+a n =0（2）欢迎下载精品学习资源n1法地根 .从表面上看，矩阵特点值与特点向量地求解问题好像很简洁，只需求解方程及（ 2）地根，就能得到特点值，再解齐次方程组结（I-A ） x=0（ 3）果地解，就可得到相应地特点向量.说上述方法对于n 很小时是可以地 .但当 n 稍大时，运算工作量将以惊人地速度增大，并且由于运算带有误差，方程（2）未必是精确地特点方程，自然就

3、不必说求解明方程（ 2）与（ 3 ）地困难了 .幂法是一种运算矩阵主特点值（矩阵按模最大地特点值）及对应特点向量地迭代方法，特殊是用于大型稀疏矩阵.反幂法是运算海森伯格阵或三角阵地对应一个给定近似特点值地特点向量地有效方法之一.二算法设计及流程图T1、幂法算法欢迎下载精品学习资源（ 1）取初始向量u（ 2）运算0（例如取 u 0=1,1, 1） ,置精度要求，置 k=1.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 k kv=Au1,m k =maxv k k k , u= v/ m k欢迎下载精品学习资源1k1（ 3）如| m k = m k|，就停止运算（ m作为肯定值最大特点值，u k 作为

4、相应地特欢迎下载精品学习资源征向量）否就置 k=k+1 ，转（ 2）2、反幂法算法1（ 1）取初始向量u 0 （例如取 u 0 =1,1, T ） ,置精度要求，置 k=1.欢迎下载精品学习资源（ 2）对 A 作 LU 分解，即 A=LU（ 3）解线性方程组Ly k =u k（ 4）运算1 ,Uvk =y k 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源m k =maxv k , u k = v k / m欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源k1kn（ 5）如 |m k =m k|，就停止运算（1/m作为肯定值最小特点值， u k 作为相应地欢迎下载精品学习资源特点向量）；否就置k=k+1 ，

5、转（ 3）.幂法流程图：欢迎下载精品学习资源开头输入 A；m,u,index=powA,1e-6k=0；m1=0v=A*u欢迎下载精品学习资源vmax,i=maxabsvm=vi ；u=v/mabsm-m1 1e-6index=1 ；break ；输出： m，u，index终止m1=m；k=k+1欢迎下载精品学习资源反幂法流程图欢迎下载精品学习资源开头输入A；m ,u,indexk=0；m1=0v=invA*u欢迎下载精品学习资源vmax,i=maxabsvm=vi ；u=v/mabsm-m1|2 | |n |就运算最大特点值与特点向量地迭代格式为欢迎下载精品学习资源 k kv=Au1,m k

6、 =maxvk k k, u= v/ m k（ 1）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其中 maxvk 表示向量 v k 肯定值地最大重量.欢迎下载精品学习资源2、对于幂法地定理k按式（ 1）运算出 m和 u k 满意欢迎下载精品学习资源lim m k =k,lim u k =1kx1 maxx1欢迎下载精品学习资源（二）反幂法算法地理论依据及推导反幂法是用来运算肯定值最小地特点值突然相应地特点向量地方法.是对幂法地修改，可以给出更快地收敛性.1、反幂法地迭代格式与收敛性质设 A 是非奇特矩阵，就零不是特点值，并设特点值为|1 | |2 | |n 1|n |就按 A1 地特点值肯定值地大

7、小排序，有欢迎下载精品学习资源1|n11| |n 11欢迎下载精品学习资源n对 A1 实行幂法，就可得A1 地肯定值最大地特点值1/和相应地特点向量，即A 地肯定值最小地特点值和相应地特点向量.由于用 A1 代替 A 作幂法运算，因此该方法称为反幂法，反幂法地迭代格式为欢迎下载精品学习资源k 1 kv= Au1,m k =maxvk k k, u= v/ m k（ 2）欢迎下载精品学习资源2、对于反幂法地定理k按式（ 2）运算出地m和 u k 满意：欢迎下载精品学习资源1lim m k =,knlim u k =kxn max xn 欢迎下载精品学习资源在式（ 2）中，需要用到 A1 ，这给运

8、算带来很大地不便利，因此，把（2）式地第一式欢迎下载精品学习资源改为求解线性方程组A v k = u k 1（ 3）欢迎下载精品学习资源但由于在反幂法中，每一步迭代都需求解线性方程组（3）式，迭代做了大量地重复运算，为了节约工作量，可事先把矩阵A 作 LU 分解，即 A=LU所以线性方程组（3）改为欢迎下载精品学习资源Ly k =u k1 ,Uv k =y k欢迎下载精品学习资源四、算法程序设计代码幂法程序，在 matlab 中建立一个 M 文件并储存 .%pow.mfunction m,u,index,k=powA,u,ep,it_max if nargin4it_max=1000 ；end

9、if nargin3 ep=1e-5；end欢迎下载精品学习资源n=lengthA ；index=0 ；k=0 ；m1=0 ；m0=0 ；I=eyen ；T=A-m0*I ；while k=it_maxv=T*u ；vmax,i=maxabsv ；m=vi ；u=v/m ；if absm-m1ep ；index=1 ；break；end m=m+m0 ；m1=m ；k=k+1 ；end在 matlab 输入面板，输入A=rand （ 4）； %产生一个 4 维随机矩阵B=A+A；u=1 1 1 1 ； %设立初始向量m,u,index,k=powB， u,ep,it_max% 最多可省略 2

10、个参数程序终止 .在 M 文件中可以通过转变m0 地值转变原点位移，从而达到原点位移加速.反幂法程序设计代码：在 matlab 中建立一个 M 文件并储存 .%pow_inv.m functionm,u,index,k=pow_invA,u,ep,it_max if nargin4it_max=1000 ；endif nargin3 ep=1e-5；endn=lengthA ；index=0 ；k=0 ；m1=0 ；m0=0 ；I=eyen ；T=A-m0*I ；invT=invT ；while k=it_maxv=invT*u ；vmax,i=maxabsv ；m=vi ；u=v/m ；if

11、 absm-m1B=rand4 ；A=B+B A =0.26750.57760.63441.31300.57761.15030.76410.13670.63440.76410.02570.41931.31300.13670.41931.2248 u=1 1 1 1 ； m,u,index,k=powA,u m =2.6813u =0.85760.69340.56231.0000index = 1k =49修改 M0=1e-3 m =2.6814u =0.8576欢迎下载精品学习资源0.69340.56231.0000index = 0k =1001修改 M0=0 % 此时为幂法m =2.681

12、5u =0.85760.69350.56231.0000index = 1k = 10修改 U=1 2 3 4修改 M0=1e-4 m =2.6813u =0.85760.69340.56231.0000index = 1k =9欢迎下载精品学习资源修改 M0=1e-3 m =2.6805u =0.85760.69340.56221.0000index = 1k = 7修改 M0=0m =2.6814u =0.85760.69340.56231.0000index =1k = 9修改 U=3 5 6 7修改 M0=1e-4m =2.6819u =0.85770.6937欢迎下载精品学习资源0.

13、56241.0000index = 1k = 7修改 M0=1e-3 m =2.6814u =0.85760.69340.56231.0000index = 0k =1001修改 M0=0m =2.6820u =0.85770.69370.56241.0000index = 1欢迎下载精品学习资源k =7总结以上 ,幂法如下：Um0muindexk0.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.00001491 1 1 10.0012.68140.5876 0.6934 0.5623 1.00000100102.68150.8576 0.6935 0.5623 1.000

14、01100.00012.68130.8576 0.6934 0.5623 1.0000191 2 3 40.0012.68050.8576 0.6934 0.5622 1.00001702.68140.8576 0.6934 0.5623 1.0000190.00012.68190.8577 0.6937 0.5624 1.0000173 5 6 70.0012.69140.8576 0.6934 0.5623 1.00000100102.6920.8577 0.6937 0.5624 1.000017反幂法结果显示：在m0 为 0 时欢迎下载精品学习资源M0=0.001U=1 1 1 1欢迎

15、下载精品学习资源M0=0.1 u=1 1 1 1欢迎下载精品学习资源M0=0 u=1 3 5 7欢迎下载精品学习资源M0=0.1 u=1 3 5 7欢迎下载精品学习资源M0=0.5 u=1 3 5 7欢迎下载精品学习资源M0=0 u=2 3 4 5欢迎下载精品学习资源M0=0.1 u=2 3 4 5欢迎下载精品学习资源M0=0.7 u=2 3 4 5欢迎下载精品学习资源综上，反幂法结果如下：um0muindexk1 1 1 10.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641150.0010.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364116欢

16、迎下载精品学习资源五、结果分析采纳幂法和反幂法，求矩阵地最大和最小特点值，从原理上看，这两种方法都是迭代法，因此迭代初始向量地挑选对运算结果会产生肯定影响，主要表现在收敛速度上.同时，原点位移m 地选取也影响收敛地速度阵 A 地大致明白 .但原点位移m0 地适当选取依靠于对矩成员1007024104 辛志贤1007024107 张 容1007024108 罗言月00.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641161 3 5 70.50.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.23641270.10.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.23641202 3 4 50.70.7091-0.6962 -0.4497 0.2196 1.0000150.10.3847-0.8995 1.0000 0.2726 -0.236411700.3847-0.8996 1.0000 0.2726 -0.2364119欢迎下载