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1、一、是非题第十二章常微分方程A学习文档 仅供参考1. 任意微分方程都有通解; 2. 微分方程的通解中包含了它全部的解;3. 函数 y3 sin x4 cos x 是微分方程 yy0 的解;4. 函数 yx2ex 是微分方程 y2 yy0 的解;5. 微分方程 xyln x0 的通解是 y12ln x2C C 为任意常数 ;6. ysin y 是一阶线性微分方程; 27. yx3 y 3xy 不是一阶线性微分方程; 8. y2 y5 y0 的特点方程为 r2r50 ;9. dydx1 xy2xy 2 是可别离变量的微分方程; 二、填空题1. 在横线上填上方程的名称 y3ln xdxxdy0 是;
2、 xy2x dxyx2 y dy0 是; x dydx xyy lnyx2y是;xsin x 是; yy2 y0 是;2. ysin xyxcos x 的通解中应含个独立常数;2x3. ye的通解是;4. ysin 2 xcos x 的通解是;5. xy2x 2 y 2x 3 yx41是阶微分方程;66. 微分方程 yyy0 是阶微分方程;17. y所满意的微分方程是;x8. y2 y x的通解为;9. dxydydy0 的通解为;x2 y510. 10dxx1x1 2 ,其对应的齐次方程的通解为;11. 方程 xy1x2 y0 的通解为;123 阶微分方程 yx3 的通解为;三、挑选题1微分
3、方程xyy3x yy 4 y0 的阶数是 ;A3B4C5D 22微分方程 yx 2 yx51 的通解中应含的独立常数的个数为 ;A3B5C4D 23. 以下函数中,哪个是微分方程dy2xdx0 的解;A y2xB yx2C y2 xD yx4. 微分方程 y23y 3 的一个特解是 ;3A yx1B y3x2C y2x CD y3C 1x5函数 ycos x 是以下哪个微分方程的解 ;A yy 0B y2 y0C yny0D yycos x6. yC exC e x 是方程 yy0 的,其中 C , C 为任意常数;1212A. 通解 B 特解 C 是方程全部的解D 上述都不对x7. yy 满
4、意y |x 02 的特解是 ;A. yex1B xy2eC yx2 e2D y3 e8. 微分方程 yysinx 的一个特解具有形式 ;A y*asin xB y *a cosxC y*x asin xb cosxD y*acosxbsin x9. 以下微分方程中, 是二阶常系数齐次线性微分方程;A. y2 y0B yxy3 y20C 5 y4x0D y2 y1010. 微分方程 yy0 满意初始条件 y 01的特解为 ;A exB ex1C ex1D 2ex11. 在以下函数中,能够是微分方程yy0 的解的函数是 ;A. y1B yxC ysin xD yex12. 过点1,3且切线斜率为2
5、 x 的曲线方程 yy x 应满意的关系是 ;A y2xB y2xC y2 x,y 13D y2x , y 1313. 以下微分方程中,可别离变量的是 ;A. dyye dxxB dy dxk xa by k , a , b 是常数C dysin yx dxD yxyy 2 ex14. 方程 y2 y0 的通解是 ;A. ysin xB y4 e2 xC yC e2 xD yex15. 微分方程 dxdyyx0 满意y |x 34 的特解是 ;Ax 2y225B 3 x4 yCC x2y2CD x2y 2716. 微分方程 dydx1y0 的通解是 y;xA CB CxC 1C xxD xC1
6、7. 微分方程 yy0 的解为;A. exB e xC exe xDex218. 以下函数中,为微分方程xdxydy0 的通解是 ;A. xyCB x 2y 2CC Cxy0DCxy019. 微分方程2 ydydx0 的通解为 ;A y2xCB yxCC yxCD yxC20. 微分方程cos ydysinxdx 的通解是 ;A. sinxcos yCB cos ysin xCC cos xsin yCD cos xsin yC21. ye x 的通解为 y;A. e xB e xC e xC1 xC2D e xC1xC222. 根据微分方程通解定义,ysinx 的通解是 ;A. sin xC
7、1xC2Bsin xC1C2C sin xC1xC2D sinxC1C2四、解答题1. 验证函数 yC e 3xe2x C 为任意常数 是方程 dydxe 2x3 y的通解,并求出满意初始条件y |x 00 的特解;2. 求微分方程x y 21 dxy 1x2 dy0 的通解和特解;y |x 011y2解:C , 2x 2y 211x23. 求微分方程 dydxytanxy的通解;x解: sin yxCx ;yxy4. 求微分方程yx 的特解;y |x 12sin x解: y 22x2ln x2 ;5. 求微分方程 yy cosxe的通解;解: ye sin x xC6. 求微分方程 dydx
8、ysin x x的通解;解: y1 sin x xx cos xC77. 求微分方程x1 y2 yy |x 01x1 20的特解;解: y32x1 231x1 238. 求微分方程 y2 y xx21满意初始条件 x0 , y1 , y3 的特解;解: yx 33x19. 求微分方程y2 yy满意初始条件 x0 , y1 , y2 的特解;解: arctan yx或 y4tan x410 验 证 二 元 方 程 x 2xyy 2C 所 确 定 的 函 数 为 微 分 方 程x2 y y2xy 的解;11. 求微分方程ex yex dxex yey dy0 的通解;解: ex1 ey1C12.
9、求 dydxy tan xsecx , y |x 00 的特解;解: yx cos x13. 验证 y1cosx , y2sinx 都是 y2 y0 的解, 并写出该方程的通解;14. 求微分方程 y2 yx2 x的通解;解: yCx2x 2 ln x15. 求微分方程 y1 yex x0 满意初始条件 y 10 的特解;解: yeex3xx16. 求微分方程 dy2ydxx12x1的通解;解: y2x1x1C217. 求微分方程xdx1yydy1x0 满意条件 y 01的特解;解: 2 y3x33 y 2x 252 x18. 求微分方程 yy2 y0 的通解;解: yC exC2e1x19.
10、 求微分方程 y2 y5 y0 的通解;解: yeC1 cos2xC2 sin 2 x20. 求微分方程 y4 y4 y0 的通解;解: yC1C2 xe 2 x21. 试求 yx 的经过点 M0,1且在此点与直线 yx1 相切的积分曲线;2解: y1 x361 x12B一、是非题1. 可别离变量微分方程不都是全微分方程;2. 假设y1 x, y 2x 都是 yP x yQ x 的特解,且y1 x与 y2x 线性无关,就通解可表为 y xy1 xC y1 xy2 x;3. 函数 ye 1xe2 x 是微分方程 y12y12 y0 的解;4. 曲线在点x, y处的切线斜率等于该点横坐标的平方,就
11、曲线所满意的微分方程是 yx 2C C 是任意常数 ;5. 微分方程 ye2xy ,满意初始条件y |x 00 的特解为 ey1 e2 x21;二、填空题1. y1cosx与 y2sin x 是方程 yy0 的两个解,就该方程的通解为;2. 微分方程 y2 y3y0 的通解为;3. 微分方程 y2 yy0 的通解为;4. 微分方程 ye2x 的通解是;5. 微分方程 yy 的通解是;6. 微分方程三、挑选题dy2 xy 的通解是;dx1微分方程 y4 y4 y0 的两个线性无关解是 ;Ae 2 x 与 2e2 xB e 2x 与 xe 2xC e2 x 与 xe2xD e 2 x 与 4e 2
12、 x2以下方程中,不是全微分方程的为 ;A 3x26xy2 dx6x 2 y4y 2 dy0B ey dxx ey2y dy0C y x2 y dxx 2dy0D x 2y dxxdy03. 以下函数中,哪个函数是微分方程s tg 的解;A. sgtB sgt 2C s1 gt 22D s1 gt 224. 以下函数中,是微分方程 y7 y12 y0 的解;A yx3B yx 2C ye3 xD ye2 x5. 方程 1x2 yxy0 的通解是 ;1 2AyC1x2B yC1x2C y1 x 3Cx2D yxCxe 26. 微分方程 yln xdxx lnydy 满意y |x 11 的特解是
13、;A ln 2 xln 2 yB ln 2 xln 2 y1C ln 2 xln 2 y0D ln 2 xln 2 y17. 微分方程 1x 2 dy1y2 dx0 的通解是 ;A arctan xarctan yCB tan xtan yCC lnxln yCD cotxcot yC8. 微分方程ysinx 的通解是 ;A ysinxB ysinxC ysinxC1xC2D ysinxC1 xC29. 方程 xyy3 的通解是 ;A. y四、解答题C3B y3 xxCC yC3D yC3xx1. 求微分方程 y9 y24x6 cos3x2 sin 3x 的通解;解: yC1xcos3xC2x
14、 2x sin x3x22. 求微分方程 y7 y6 ysinx 的通解;eC1解: y6xC ex17 cos x 745 sin x23. 求微分方程3x22xyy 2 dxx 22xy dy0的通解;解: y 2xyx2CxC一、是非题1. 只要给出 n 阶线性微分方程的 n 个特解,就能写出其通解;2. 已知二阶线性齐次方程yP xyQ xy0的一个非零解 y ,即可求出它的通解; 二、填空题1. 微分方程 y4 y5 y0 的通解是;2. 已知 y1, yx , yx 2 某二阶非齐次线性微分方程的三个解,就该方程的通解为;3. 微分方程 y2 y2 yex 的通解为;三、挑选题1.
15、 微分方程 yy1xx x2的通解为 ;1Aarctan xCB 1 arctan xC xC 1 arctan xC xD arctan xCx2. 微分方程 yy1的通解是 ;A yC exB yC ex1C yC ex1D yC1ex3. xyyy |x 103的解是;A y3 11xB y3 1xC y11xD y1x4. 微分方程 dydxytanxy的通解为 ;xA sin yCxB sin y1xC sinCxD x1sinxxCx5yyCx7*25. 已知微分方程 yp x yx1 2 的一个特解为 yx1 2 ,就此微分3方程的通解是 ;27A C2 x1 2x13227BC
16、2x1 227x111227C C x1x1 211D x1x1 236. 微分方程 yyex1 的一个特解应具有形式 式中a ,b 为常数 ;A aexbB axe xbC aexbxD axexbx四、解答题1. 设 yxe 是微分方程 xyp x yx 的一个解,求此微分方程满意条件y |xln 20 的特解;解:代入 yex 到方程 xyp x yx 中,得 p xxe xx原方程为 xyxe xxyxyex 1C ee x , yex1y1 xln 2 , y0 C1e 2 ;yex1e x 1e2;2. 已知 y1xexe2x , yxexe, y3xexe2 xe x 是某二阶线
17、性非齐次2x32微分方程的三个解,求此微分方程;解: y1y3e x , yye2x2e x 均是齐次方程的解且线性无关;xC1eCe2x2e x是齐次方程的通解;当 C12 ,C21 时,齐次方程的2特解为e2 xe x 、 e2x 都是齐次方程的解且线性无关;x C1eC e2x 是齐次方程的通解;2由此特点方程之根为 -1 ,2,故特点方程r 2r20 ;相应的齐次方程为 yy2 y0故所求的二阶非齐方程为yy2 yf xy1 是非齐次方程的特解代入上式得f x12xex所以 yy2 y12x ex 为所求的微分方程;3. 已知 f 01,试确定 f2x ,使 exf x ydxf x
18、dy0 为全微分方程,并求此全微分方程的通解;解: Pexf xy, Qf x ,由 QP 得xyxdxfxexf x ,即 fxf xex f xee e dxCex xC f 01C , f x2exx1,x2得全微分方程: eex1xx2ydxex1 dy0 2解得 ux, yx0dx0y exx01 dy 2exx1 y ;2故此全微分方程的通解为exx1 yC;2一、是非题第十二章微分方程A1; 2; 3 ; 4; 5; 6; 7; 8; 9;二、填空题1. 在横线上填上方程的名称可别离变量微分方程;可别离变量微分方程;齐次方程;一阶线性微分方程;二阶常系数齐次线性微分方程;23;
19、3 1 e 2x4C1 xC 2 ; 4 1 sin 2 x4cos xC1 xC 2 53;62; 7 yy 20;8 yCx 2 ; 9 x2y 2C ;10 y2C x1; 11 yx 2Cxe 2;12 y1x6120C1xC 2 xC 3 ;三、挑选题1D; 2 A;3B; 4 B;5C;6A;7B;8C;9A;10A;11C;12C;13B;14C;15A;16B;17B;18B;19A;20D;21C;22A 四、解答题1. 验证函数 yC e 3xe2x C 为任意常数 是方程 dydxe 2x3 y的通解,并求出满意初始条件y |x0 的特解;2. 求微分方程x y 21 d
20、xy 1x2 dy0 的通解和特解;y |x 012解: 1yC , 2x 2y 21;1x23. 求微分方程 dydxytan xy 的通解;x解: sin yxCx ;yxy4. 求微分方程yy |x 12x 的特解;sin x解: y 22x2ln x2 ;5. 求微分方程 yy cosxe的通解;解: ye sin x xC ;6. 求微分方程 dydxysin x x的通解;解: y1 sin x xx cos xC ;77. 求微分方程x1 y2 yy |x 01x1 20的特解;解: y32x1 231x1;238. 求微分方程 y2 y xx21满意初始条件 x0 , y1 ,
21、 y3 的特解;3解: yx3x1;9. 求微分方程y2 yy满意初始条件 x0 , y1 , y2 的特解;解: arctan yx或 y4tan x;410 验 证 二 元 方 程 x 2xyy 2C 所 确 定 的 函 数 为 微 分 方 程x2 y y2xy 的解;解:略;11. 求微分方程ex yex dxex yey dy0 的通解;解: ex1 ey1C ;12. 求 dydxy tan xsecx , y |x 00 的特解;解: yx;cos x13. 验证 y1cosx , y2sinx 都是 y2 y0 的解,并写出该方程的通解;解:略;14. 求微分方程 y2 yx2
22、x的通解;解: yCx2x 2 ln x ;15. 求微分方程 yex1 yex x0 满意初始条件 y 10 的特解;解: yex ;3x16. 求微分方程 dy2ydxx12x1的通解;解: y2x1x1C;217. 求微分方程xdx1yydy1x0 满意条件 y 01的特解;解: 2 y3x33 y 2x 25 ;18. 求微分方程 yy2 y0 的通解;解: yC exC2e2 x ;1x19. 求微分方程 y2 y5 y0 的通解;解: yeC1 cos2xC2 sin 2 x ;20. 求微分方程 y4 y4 y0 的通解;解: yC1C2 xe 2 x;21. 试求 yx 的经过
23、点 M0,1且在此点与直线 yx1 相切的积分曲线;2解: y1 x361 x1 ;2B一、是非题1; 2; 3; 4; 5;二、填空题1. yC1 cosxC2 sin x ; 2 yC1eC e3 x;3 yC1C2 xex ;4 y1 e2x8C x 2C 2 xC3 ;5 yC exC2 6 yC ex211三、挑选题1C;2C;3C;4C;5D;6 A; 7 A; 8 C; 9 A 四、解答题1. 求微分方程 y9 y24x6 cos3x2 sin 3x 的通解;解: yC1xcos3xC2x 2x sin x3x ;22. 求微分方程 y7 y6 ysinx 的通解;eC1解: y
24、6xC ex17 cos x 745 sin x ;23. 求微分方程3x22xyy 2 dxx 22xy dy0的通解;解: y 2xyx2C ;xC一、是非题21; 2; 二、填空题x1 ye2xC1 cosxC2 sin x; 2 yC1 x1Cx 211 ;3 yeC1 cosxC2 sin x1三、挑选题1B;2C;3A;4A;5D;6 D 四、解答题1. 设 yex 是微分方程 xyp x yx 的一个解,求此微分方程满意条件y |xln 20 的特解;解:代入 yex 到方程 xyp x yx 中,得 p xxe xx原方程为 xyxe xxyxx2yex 1C ee x , y
25、ex1y1 xyexln 2 , ye x 11e20 C;1e 2 ;2. 已知 y1xexe2 x , yxexex , yxexe2 xe x 是某二阶线性非2332齐次微分方程的三个解,求此微分方程;解: y1y3e x , yye2x2e x 均是齐次方程的解且线性无关;xC1eCe2x2e x是齐次方程的通解;当 C12 ,C21 时,齐次方程的2特解为e2 xe x 、 e2x 都是齐次方程的解且线性无关;x C1eC e2x 是齐次方程的通解;2由此特点方程之根为 -1 ,2,故特点方程r 2r20 ;相应的齐次方程为 yy2 y0故所求的二阶非齐方程为yy2 yf xy1 是非齐次方程的特解代入上式得f x12xex所以 yy2 y12x ex 为所求的微分方程;3. 已知 f 01,试确定 f2x ,使 exf x ydxfx dy0 为全微分方程,并求此全微分方程的通解;解: Pexf xy, QQPf x ,由得xyxdxfxexf x ,即 fxf xex f xee e dxCex xC f 01C , f x2exx1,2得全微分方程: exexx12ydxexx1 dy0 2解得 ux, yx0dx0y exx01 dy 2exx1 y ;2故此全微分方程的通解为exx1 yC;2
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