2022年平面向量经典精品结论总结.docx

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1、1、向量有关概念 ：平面对量 复习基本学问点及经典结论总结8（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量,留意向量和数量的区分；向量常用有向线段来表示,留意不能说向量就是有向线段,为什么？（向量可以平移） ；如已知 A （ 1,2）,B （ 4,2）,就把向量 AB 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是（答：（ 3,0 ）（ 2）零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,留意 零向量的方向是任意的；（ 3）单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB 共线的单位向量是（ 4）相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；AB ；| AB |（

2、5） 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量,记作：a b , 规定零向量和任何向量平行 ；提示 ：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（由于有 0 ；三点 A、B、C共线AB、AC共线；（ 6）相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；如以下命题： （ 1）如 ab ,就 ab ；（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同；（ 3）如ABDC ,就 ABCD 是平行四边形；

3、（ 4）如 ABCD 是平行四边形,就 ABDC ；（ 5）如 ab, bc ,就 ac ；（ 6）如 a / b, b / c ,就 a / c ；其中正确选项（答：（ 4）（ 5）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后；（ 2）符号表示法： 用一个小写的英文字母来表示,如 a ,b , c 等；（ 3）坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i , j 为基底,就平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y ,称x, y 为向量 a 的坐标, a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如向量

4、的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同；3. 平面对量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1 、 2 ,使 a=1 e1 2 e2；如（ 1） 如 a1,1,b1, 1,c 1,2,就 c （答： 1 a3 b ）；（ 2） 以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是A.22e0,0, e1, 2B.e 1,2, e5,7C. e3,5, e6,10D. e2,3,e13,（答：B ）；（ 3）1212121224已知 AD, BE 分别是ABC 的边BC, AC 上的中线, 且ADa, BEb ,就 BC

5、可用向量a,b 表示为（答：24ab ）；（ 4） 已知 ABC 中,点 D 在 BC 边上,且33CD2 DB, CDr ABsAC,就 rs 的值是 （答： 0）4、实数与向量的积 ：实数与向量 a 的积是一个向量, 记作a ,它的长度和方向规定如下：1aa , 2当0 时,a 的方向与 a 的方向相同, 当0；当 P 点在线段 P1 P 2 的延长线上时 1；当 P 点在线段 P 2 P1 的延长线上时10 ；如点 P 分有向线段P1P2 所成的比为,就点 P分有向线段P P 所成的比为 1 ；如如点 P 分 AB 所成的比为 3,就 A 分 BP 所成的比为（答：7 ）2 1（ 3）线

6、段的定比分点公式 ：设 P x, y 、P x4, y ,P x, y 分有向线段3xx1x2PP 所成的比为,就1,111222x1 2x1x2 2yy1y2 1特殊地,当 1 时,就得到线段 P1 P 2 的中点公式yy1y2 2；在使用定比分点的坐标公式时,应明确x, y , x1, y1 、 x2 , y2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比；如（ 1）如 M（ -3, -2）, N（ 6,-1）,且 MP1 MN,就点 P 的坐3标为（答：6,7 ）；（ 2） 已知3Aa,0, B3,2a ,直线

7、 y1ax 与线段 AB交于 M ,且 AM22MB ,就a 等于（答：或）11. 平移公式 ：假如点P x, y按向量ah,k平移至P x , y ,就xxhyyk；曲线f x, y0按向量ah,k 平移得曲线 f xh, yk0 .留意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（ 2） 向量平移具有坐标不变性； 如（ 1）按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点（答：（,）；（ 2）函数 ysin2x的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是y cos2x1,就 a （答： ,1 ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首

8、尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；（ 2） | a | b | | ab | | a | b | ,特殊地,当 a、b 同向或有 0| ab | | a |b | a | b | | ab |； 当 a、b反 向 或 有 0|ab | | a | b | a |b | | ab |； 当 a、b不 共 线| a | b | | ab | | a | b | 这些和实数比较类似 .（ 3）在 ABC 中,如A x , y, B x , y, Cx, y,就其重心的坐标为Gx1x2x3 , y1y2y3；112233如如 ABC的三边的中点分别为 （ 2,1）、（ -3 ,4）、（ -1 ,

9、-1 ）,就 ABC的重心的坐标为33 （答： 24, ）； 33 PG1 PAPBPC 3G 为 ABC 的重心,特殊地PAPBPC0P 为 ABC 的重心； PA PBPB PCPCPAP 为 ABC的垂心；向量AB| AB |AC 0 所在直线过ABC 的内心 是BAC 的角平分线所在直线 ；AC | | AB | PC| BC| PA| CA | PB0PABC的内心；（ 3）如 P 分有向线段P1P2所成的比为,点 M 为平面内的任一点,就MPMP1 1MP2 ,特殊地 P 为 P1P2 的中点MPMP1MP2 ；2（ 4）向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C 共线存在实数、 使得 PAPBPC且1 .如平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A3,1 , B1,3 , 如点 C 满意 OC1 OA2 OB, 其中1,2R 且121, 就点 C 的轨迹是（答：直线 AB）