2022年平行四边形与三角形中位线.docx

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1、精品学习资源平行四边形学问梳理1. 平行四边形的定义：（1） 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2） 表示：平行四边形用符号“”来表示如图，在四边形ABCD 中， AB DC ， AD BC，那么四边形ABCD 是平行四边形平行四边形 ABCD 记作“ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”留意：平行四边形中的对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角；而三角形的对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角；2. 平行四边形的性质（1） 边：平行四边形的对边平行且相等（2） 角：平行四边形的对角相等（3） 对角线：平行四边形的对角线

2、相互平分（4） 对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心3. 平行四边形的判定方法（1） 定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2） 用平行四边形的判定定理识别：判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定定理：对角线相互平分的四边形是平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4. 三角形中位线（ 1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线每个三角形都有三条中位线（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半欢迎下载精品学习资源典型例题学问点一：平行四边形的性质的应用例 1.已知：ABCD 的对角线 A

3、C 、 BD 相交于点 O，EF 过点 O 与 AB 、CD 分别相交于点 E、 F求证： OE OF，AE=CF ，BE=DF 思路分析 ：1） 题意分析 ：此题考查平行四边形的性质应用；2） 解题思路 ：求证线段相等可利用三角形全等，即证出OE 、OF 所在三角形全等，即AOE COF ；解答过程 ：四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD ， 1 2 3 4又 OA OC（平行四边形的对角线相互平分）， AOE COF（ AAS ）OE OF， AE=CF （全等三角形对应边相等）四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD （平行四边形对边相等）AB AE=CD CF 即 BE=D

4、F 解题后的摸索：利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等；其关键是依据所要证明的全等三角形，挑选需要的边、角相等条件；例 2. 已知四边形 ABCD 是平行四边形， AB 10cm， AD 8cm， AC BC ，求 BC 、CD 、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积思路分析 ：1） 题意分析2） 解题思路：此题考查平行四边形的性质与勾股定理的应用；：由平行四边形的对边相等，可得BC 、CD 的长，在RtABC 中，由勾股定欢迎下载精品学习资源理可得 AC 的长再由平行四边形的对角线相互平分可求得OA 的长，依据平行四边形的面积运算公式：平行四边形的面积=底高（高为此底上的高），可求

5、得ABCD的面积；解答过程 ：在ABCD 中， AB 10cm， AD 8cm，BC=AD=8cm 、CD=AB=10cm ； AC BC ， 在 Rt ABC 中，由勾股定理ABCD 的面积 =8 6=48cm2 解题后的摸索：这道题考查平行四边形面积的运算解题时需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用该公式运算在以后的解题过程中，仍会遇到需要应 用勾股定理来求高或底的问题；学问点二：平行四边形判定定理的应用例 3. 已知：如图，ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O， E、F 是 AC 上的两点，并且AE=CF 求证：四边形 BFDE 是平行四边形思路分析 ：1）

6、题意分析 ：此题考查平行四边形的判定；2） 解题思路 ：这道题是平行四边形的性质与判定的综合运用；此题有多种解法，其中利用对角线相互平分的性质来证明较为简洁；解答过程 ：在ABCD 中，对角线 AC 、 BD 交于点 O，AO=CO ， BO=DO AE=CFAO AE=CO CF， OE=OF四边形 BFDE 是平行四边形解题后的摸索： 你仍有其他的证明方法吗？比较一下，哪种证明方法简洁；例 4. 已知：如图， ABBA ， BCCB ， CAAC 欢迎下载精品学习资源求证：（ 1） ABC B， CAB A， BCA C；（2） ABC 的顶点 A 、 B、 C 分别是 BC各A边的中点思

7、路分析 ：1） 题意分析 ：此题考查平行四边形的性质与判定的综合运用2） 解题思路 ：依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知四边形ABCB是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得所求结论；解答过程 ：（1） ABBA ， CB BC，四边形 ABCB 是平行四边形 ABC B（平行四边形的对角相等）同理 CAB A， BCA C（2）由（ 1）证得四边形 ABCB 是平行四边形同理，四边形ABAC是平行四边形AB BC， AB AC（平行四边形的对边相等）BC AC同理 BA CA， ABCB ABC 的顶点 A 、B、C 分别是 BC的A边 BC、CA、AB的中点解题后的摸索：此题

8、要求同学能敏捷和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题；例 5. 已知：如图，ABCD 中， E、 F 分别是 AD 、BC 的中点，求证： BE=DF 思路分析 ：1） 题意分析 ：此题考查平行四边形的判定定理及性质的运用；2） 解题思路 ：证明 BE=DF ，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF 是平行四边形，通过比较，可以看出其次种方法简洁解答过程 ：四边形 ABCD 是平行四边形，AD CB ， AD=CB E、F 分别是 AD 、BC 的中点，DE BF，且 DE=1/2AD ， BF=1/2BC 欢迎下载精品学习资源DE=BF 四边形 BEDF 是平行四边形（一

9、组对边平行且相等的四边形是平行四边形）BE=DF 解题后的摸索：此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复 杂，但层次分明，且利用学问较多，因此要求同学应具有清楚的证明思路；例 6. 已知：如图，ABCD 中， E、F 分别是 AC 上两点，且 BE AC 于 E， DF AC 于F求证：四边形 BEDF 是平行四边形思路分析 ：1） 题意分析 ：此题考查平行四边形的判定定理及性质的运用；2） 解题思路 ：由于 BE AC 于 E， DF AC 于 F，所以 BE DF 此时需再证明 BE=DF

10、 ， 这需要证明 ABE 与 CDF 全等，由角角边证明即可解答过程 ：四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD ，且 AB CD BAE= DCF BE AC 于 E，DF AC 于 F，BE DF，且 BEA= DFC=90 ABE CDF （AAS ）BE=DF 四边形 BEDF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）解题后的摸索：解题的关键是把握平行四边形的判定方法，会综合运用平行四边形的判定方法和性质会应用这些方法进行几何的推理证明，并通过学习，增强分析问题、查找最 佳解题途径的才能学问点三：三角形中位线的应用例 7. 已知：如图（ 1），在四边形 ABCD 中，

11、E、 F、G、H 分别是 AB 、BC 、CD 、 DA 的中点欢迎下载精品学习资源求证：四边形EFGH 是平行四边形 思路分析 ：1） 题意分析 ：此题考查三角形中位线定理的应用2） 解题思路 ：由于已知点E、F、G、H 分别是各边的中点，可以设法应用三角形中位线的性质找到四边形EFGH 各边之间的关系由于四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形，所以可添加帮助线，连接AC 或 BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证解答过程 ：连结 AC （图（ 2），在 DAC 中，H 、G 是 AD 、DC 的中点，AH=HD ， CG=GD ，HG AC ， HG=1/2AC （三

12、角形中位线性质） 同理 EF AC ， EF=1/2AC HG EF，且 HG=EF 四边形 EFGH 是平行四边形解题后的摸索：在今后的复杂图形中，当已知中同时显现中点的条件时，我们要留意三角形中位线性质的运用，进一步证明线段平行或倍分问题；提分技巧1. 复习全等三角形和四边形的有关学问2. 学过本节内容后，应把握平行四边形的性质和判定方法，可从三方面记忆；从边看；从对角线看；欢迎下载精品学习资源从角看；3. 明白平行四边形学问的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；

13、三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题4. 平行四边形的概念、性质、判定都是特别重要的基础学问，这些学问是本章的重点内容，同学们要娴熟地把握这些学问同步练习（答题时间：60 分钟） 一、挑选题1. 如图 1，在平行四边形 ABCD 中，以下各式不肯定正确选项（）2. 如图 2，在ABCD 中， EF/AB ，GH/AD ，EF 与 GH 交于点 O，就该图中的平行四边形的个数共有（）A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 11 个3. 以下给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A. AB CD ， AD=BCB.AB=AD， CB=C

14、D C.AB=CD ，AD=BCD.B= C， A= D4. 如图 3，在ABCD 中， B=110，延长 AD 至 F，延长 CD 至 E，连接 EF，就 E+F 的值为（）欢迎下载精品学习资源A. 110B. 30C. 50D. 70 欢迎下载精品学习资源5. 如图 4，ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O，将 AOD 平移至 BEC 的位置， 就图中与 OA 相等的其他线段有（）A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条D. 4 条欢迎下载精品学习资源6. 如图 5，点 D 、E、F 分别是 AB 、BC 、CA 边的中点，就图中的平行四边形一共有（）A. 1 个 B. 2

15、个 C. 3 个D. 4 个二、填空题1. 在平行四边形 ABCD 中，如 A B=70，就 A= ， B= ，C=， D=2. 在ABCD中 ， AC BD ， 相 交 于 O ， AC=6 ， BD=8 ， 就 AB=， BC= 3. 如图 6，已知ABCD 中， AB=4 ，BC=6 ， BC 边上的高 AE=2 ，就 DC 边上的高 AF 的长是4. 如 图7 ， ABC中 ， D 、 E分 别 是 AB 、 AC边 的 中 点 ， 且 DE=6cm ， 就BC=5. 用 40cm 长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3： 2，就长边是 cm ， 短边是cm.欢迎下载精品学习

16、资源6. 如图 9，ABCD 中， DB=DC ， C=70，AE BD 于 E，就 DAE= 度；7. 如图 10， E、F 是ABCD 对角线 BD 上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形 AECF 是平行四边形三、解答题1. 如图 11，在ABCD中，已知对角线AC 和 BD 相交于点 O， AOB 的周长为 25， AB=12 ，求对角线 AC 与 BD 的和；2. 已知如图 12，在ABCD 中，延长 AB 到 E，延长 CD 到 F，使 BE=DF ，就线段 AC 与EF 是否相互平分？说明理由；3. 如图 13，ABCD 中， BD AB ， AB=12cm ， AC=26

17、cm ，求 AD 、BD 的长欢迎下载精品学习资源4. 如图 14， E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点， AF=CE ，DF=BE ， DF BE 求证：（ 1） AFD CEB （2）四边形 ABCD 是平行四边形试卷答案一、1. D2. C3. C4. D5. B6. C欢迎下载精品学习资源二、1. 125，55， 125 ， 55欢迎下载精品学习资源2. 5， 53. 34. 12cm 5. 12， 8 6. 207. BE=DF （或 BAE= DCF 等）三、1. 解：由于 AOB 的周长为 25， 所以 OA+OB+AB=25，又 AB=12 ，所以 OA+OB=25 12=13，由于平行四边形的对角线相互平分，所以AC+BD=2OA+2OB=2（ OA+OB ） =213=262. 解：线段 AC 与 EF 相互平分 .理由是：连接AF ， EC；四边形 ABCD 是平行四边形；AB CD ，即 AE CF，AB =CD ， BE=DF ， AE=CF四边形 AECF 是平行四边形，AC 与 EF 相互平分 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载