2022年平面向量总结.docx

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1、平面对量总结一. 向量有关概念 :平面对量概念、方法、题型总结1. 向量的概念 :既有大小又有方向的量 ,留意向量与数量的区分；向量常用有向线段来表示,留意不能说向量就就是有向线段 ,为什么？ 向量可以平移 ；如:uuur已知 A1,2,B4,2, 就 把向 量 AB 答:3,0 r按 向 量 a 1,3 平 移 后得 到 的 向 量就 是2. 零向量 :长度为 0 的向量叫零向量 ,记作: 0 ,留意零向量的方向就是任意的 ;uuurABuuur3. 单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 与 AB平行的单位向量就是uuur;| AB |4. 相等向量 :长度相等且方向相同的两个向

2、量叫相等向量,相等向量有传递性 ;5. 平行向量 也叫共线向量 :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量 ,记作: a b ,规定零向量与任何向量平行 ；提示:相等向量肯定就是共线向量 ,但共线向量不肯定相等 ;两个向量平行与与两条直线平行就是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合 ;r平行向量无传递性 ！ 由于有 0 ;uuuruuur三点 A、B、C 共线AB、AC 共线;6. 负向量 :长度相等方向相反的向量叫做负向量；a 的负向量就是 a ；如rr以下命题 :1如 abuuuruuurrr,就ab ；2两个向量相等的充要条件就是它们

3、的起点相同,终点相同； 3 如 ABDC , 就 ABCD 就是平行四边形；4 如 ABCD 就是平行四边形, 就uuuruuurrr rrrrrr rrrrABDC；5如 ab,bc ,就 ac ；6如a / b,b / c ,就 a / c ；其中正确的就是 答:45二. 向量的表示方法 :1. 几何表示法 :用带箭头的有向线段表示 ,如 AB ,留意起点在前 ,终点在后 ;2. 符号表示法 :用一个小写的英文字母来表示 ,如a ,b , c 等;3. 坐标表示法 :在平面内建立直角坐标系 ,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为rrr基底,就平面内的任一向量 a 可

4、表示为 axiy jx, y ,称 x, y 为向量 a 的坐标 , a x, y 叫做向量 a 的坐标表示；假如 向量的起点在原点 ,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 ,此向量称作位置向量；uruur三. 平面对量的分解定理 :假如 e1 与 e2 就是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对该平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数1 、 2 ,使a = 1ure1 2uure2 ；如rrrrr1 如 a1,1,b1, 1,c 1,2 ,就c 用 a , b 表示1 r3 r(2) 以下向量组中 ,能作为平面内全部向量基底的就是答:ab ;22uruururuurA、 e10,0, e21,

5、 2B、 e1 1,2, e25,7uruururuur13C、 e13,5, e26,10D、 e12,3,e2,24答:B;(3) 已知r ruuur uuurAD, BE 分别就是ABC 的边BC, AC 上的中线 ,且uuurr uuurr ADa, BEbuuur,就 BC可用向量 a,b 表示为 答: 2 r4 r ;(4) 已知 ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD2 DB, CDr ABs AC,就rab33s 的值就是答:0四. 实数与向量的积 : 实数 与向量 a 的积就是一个向量 ,记作a ,它的长度与方向规定如rr下: 1aa , 2 当 0 时,a 的方向与

6、a 的方向相同 ,当 0; 当 P 点在线段 P1 P2 的延长线上时1; 当 P点在线段 P2 P1 的延长线上时10 ; 如点P 分有向线段uuuur P1P2所成的比为,就点 P 分有向线段uuuurP2 P1 所成的比为1 ；如uuur如点 P 分 AB 所成的比为3uuur,就 A 分 BP 所成的比为 4uuuur答:7 33. 线段的定比分点公式 :设 P1 x1, y1 、P2 x2, y2 , Px,y 分有向线段P1P2所成的比为,x x1x2就1y y1y21,特殊地 ,当 1 时,就得到线段 P1 P 2x的中点公式yx1x2 2y1y22；在使用定比分点的坐标公式时

7、,应明确 x,y , x1,y1、 x2 , y2 的意义 ,即分别为分点 ,起点,终点的坐标；在详细运算时应依据题设条件 ,敏捷地确定起点 ,分点与终点 ,并依据这些点确定对应的定比 ；如1 如 M-3,-2,N6,-1, 且 MP1MN,就点 P 的坐标为 3答:6,7 ;32 已知Aa,0, B3,2a ,直 线 y1 ax 与线段交于 M , 且uuuuruuur, 就 a 等于ABAM22MB十一、向量中一些常用的结论:(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量与为零向量, 要留意运用 ;答:或 rrrrrrrrrrrrr(2) | a | b | | ab | | a | b | ,

8、特殊地, 当 a、b 同向或有 0| ab | | a | b |rrrrrrrrrrrrrrrrr| a | b | | ab | ; 当 a、brrrrrr反向或有 0| ab | | a |b | a | b | | ab | ; 当 a、b 不共线| a | b | | ab | | a | b | 这些与实数比较类似 、(3) 在 ABC 中,如 A x , y, B x , y,C x, y, 就其重心的坐标为 Gx1x2x3 , y1y2y3；如11223333如ABC 的三边的中点分别为 2,1 、-3,4、-1,-1,就 ABC 的重心的坐标为 答: 2 , 4 ;3 3uu

9、uruuuruuuruuur1G 为 ABC 的 重心 , 特殊地uuuruuuruuurrP 为PG3 PAPBPC PAPBPC0ABC 的重心;uuuruuuruuuruuuruuuruuur PA PBPB PCPCPAP 为 ABC 的垂心;uuuruuur向量uAuBuruAuCur 0 所在直线过 ABC 的内心 就是 BAC 的角平分线所在| AB | AC |直线;uuuruuuruuuruuuruuuruuurr| AB | PC| BC| PA| CA | PB0uuuurPABC 的内心;uuuruuuuruuuur(4) 如 P 分有向线段P1P2所成的比为, 点 M 为平面内的任一点 , 就 MP uuuuruuuurMP11MP2 ,特殊地 P 为 P1P2 的中点uuuruuuruuuruuurMPMP1MP2 ;2u uruuuruuru(5) 向量 PA、PB、PC 中三终点 A、B、C且1 、如共线存在实数、 使得 PAPBPC平面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点A3,1 , B1,3, 如点 C 满 足OC1OA2OB , 其中1 ,2R 且 121, 就点 C 的轨迹就是 答: 直线 AB