2022年平面向量总结2 .docx

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1、一. 向量有关概念 :平面对量概念、方法、题型总结1. 向量得概念 :既有大小又有方向得量 ,留意向量与数量得区分、向量常用有向线段来表示,留意不能说向量就就是有向线段 ,为什么？ 向量可以平移 ；如:已知 A ,2,B4,2, 就 把向 量按 向量 -1,3 平移 后得 到得 向量 就是答: ,0 2. 零向量 :长度为 0 得向量叫零向量 ,记作:,留意零向量得方向就是任意得 ;3. 单位向量 :长度为一个单位长度得向量叫做单位向量 与平行得单位向量就是 ;4. 相等向量 :长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量,相等向量有传递性 ;5、平行向量 也叫共线向量 :方向相同或相反得非零向量、

2、叫做平行向量,记作:,规定零向量与任何向量平行 、提示:相等向量肯定就是共线向量 ,但共线向量不肯定相等 ;两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合 ;平行向量无传递性 ！ 由于有 ;三点共线共线 ;.负向量 :长度相等方向相反得向量叫做负向量；得负向量就是；如以下命题 :1如,就；2两个向量相等得充要条件就是它们得起点相同,终点相同； 3如,就就是平行四边形； 4如就是平行四边形 ,就； 如,就；6如,就、其中正确得就是_ 答:45二、向量得表示方法 :1；几何表示法 :用带箭头得有向线段表示 ,如,留意起点在前 ,终点在

3、后 ;2. 符号表示法 :用一个小写得英文字母来表示 ,如,等;3. 坐标表示法 : 在平面内建立直角坐标系 ,以与轴、轴方向相同得两个单位向量,为基底 ,就平面内得任一向量可表示为 ,称为向量得坐标 ,=叫做向量得坐标表示； 假如向量得起点在原点 ,那么向量得坐标与向量得终点坐标相同 ,此向量称作位置向量；三；平面对量得分解定理 :假如与就是同一平面内得两个不共线向量,那么对该平面内得任一向量,有且只有一对实数、 ,使=；如1 如,就 用,表示(2) 以下向量组中 ,能作为平面内全部向量基底得就是A；B；C；D；(3) 已知分别就是得边上得中线 ,且,就可用向量表示为 (4) 已知中,点在边

4、上 ,且,就得值就是 答:;答:;答:;答:0四、实数与向量得积 :实数与向量得积就是一个向量,记作,它得长度与方向规定如下 :当0时, 得方向与得方向相同 ,当 0 时, 得方向与得方向相反 ,当时 ,留意:0；五；平面对量得数量积 :1. 两个向量得夹角 :对于非零向量 ,作,称为向量 ,得夹角 ,当=0 时,同向,当=时,反向,当时,垂直；2. 平面对量得数量积 :假如两个非零向量 ,它们得夹角为 ,我们把数量叫做与得数量积或内积或点积 ,记作:,即=；规定:零向量与任一向量得数量积就是 0,留意数量积就是一个实数, 不再就是一个向量 ；如1 BC 中,就 (2) 已知,与得夹角为 ,就

5、等于 (3) 已知,就等于 _ 已知就是两个非零向量 ,且,就得夹角为 3、在上得投影 为,它就是一个实数 ,但不肯定大于 0；如已知, 且, 就向量在向量上得投影为答:-9 ;答:1;答:;答:答:4. 得几何意义 : 数量积等于得模与在上得投影得积；.向量数量积得性质 :设两个非零向量 ,其夹角为 ,就:;当,同向时,=,特殊地 ,;当与反向时 ,= ;当为锐角时 ,0,且不同向 ,就是为锐角得必要非充分条件 ;当为钝角时 ,0,且不反向 ,就是为钝角得必要非充分条件;非零向量 ,夹角得运算公式 :; ；如(1) 已知,假如与得夹角为锐角 , 就得取值范畴就是 (2) 已知得面积为 ,且,

6、如,就夹角得取值范畴就是 _ (3) 已知与之间有关系式 ,用表示 ;求得最小值 ,并求此时与得夹角得大小答:或且;答:;六、向量得运算 : 1、几何运算 :答:; 最小值为 ,向量加法 : 利用“平行四边形法就 进行,但“平行四边形法就”只适用于不共线得向量,如此之外 ,向量加法仍可利用“三角形法就” :设,那么向量叫做与得与 ,即;向量得减法 :用“三角形法就” :设,由减向量得终点指向被减向量得终点、留意:此处减向量与被减向量得起点相同； 如1 化简: ; ; 如正方形得边长为 1,就=_ (3) 如 O 就是所在平面内一点 ,且满意,就得外形为 (4) 如为得边得中点 ,所在平面内有一

7、点 ,满意,设,就得值为 (5) 如点就是得外心 ,且,就得内角为 2.坐标运算 :设,就:向量得加减法运算 :,、如(1) 已知点,如,就当 _ 时,点 P 在第一、三象限得角平分线上答: ;答:;答:直角三角形 ;答:2;答:;(2) 已知,就(3) 已知作用在点得三个力 ,就合力得终点坐标就是实数与向量得积 :； 答: ; 答: 或 ; 答: 9,1如,就,即一个向量得坐标等于表示这个向量得有向线段得终点坐标减去起点坐标；如设,且,就 C、得坐标分别就是 答:;平面对量数量积 :；如已知向量 =sinx,co , =snx,sin,1,0；1如 x=,求向量、得夹角 ;如 x,函数得最大

8、值为 ,求得值向量得模 : ；如已知均为单位向量 , 它们得夹角为 , 那么= _ 两点间得距离 : 如, 就；如七；向量得运算律 :1；交换律 :,;2；结合律 :,;3；安排律 :,；如 答: 或; 答:;以下命题中 : ; ; ; 如, 就或; 如就;；其中正确得就是 答: 提示:1向量运算与实数运算有类似得地方也有区分:对于一个向量等式 ,可以移项 , 两边平方、两边同乘以一个实数 ,两边同时取模 ,两边同乘以一个向量 ,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量 ,切记两向量不能相除 相约 ; 向量得“乘法”不满意结合律 , 即,为什么？八；向量平行 共线 得充要条件 :都就是

9、非零向量；2(3) 如如(1) 如向量,当时与共线且方向相同2 已知,且,就 设,就 k=_ 时,A,C 共线九、向量垂直得充要条件 :；特殊地； 如1 已知,如,就答:2;答:4;答:2 或 1 答:; 以原点与 A4, 为两个顶点作等腰直角三角形OAB,就点得坐标就是 3 已知向量 ,且,就得坐标就是 十、线段得定比分点 :答:1,3或,-1;答:1；定比分点得概念 :设点 P 就是直线 PP上异于 P、得任意一点 ,如存在一个实数 ,使,就叫做点 P 分有向线段所成得比 ,点叫做有向线段得以定比为得定比分点 ;2、得符号与分点得位置之间得关系 :当点在线段 PP 上时0; 当 P 点在线

10、段 PP 得延长线上时 ; 当 P 点在线段 PP 得延长线上时 ; 如点 P 分有向线段所成得比为 ,就点 P 分有向线段所成得比为、 如如点分所成得比为 ,就分所成得比为 答:3；线段得定比分点公式 :设、,分有向线段所成得比为 ,就,特殊地 ,当 1 时,就得到线段 PP 得中点公式；在使用定比分点得坐标公式时,应明确 ,、满意义 ,即分别为分点 ,起点, 终点得坐标；在详细运算时应依据题设条件 ,敏捷地确定起点 ,分点与终点 ,并依据这些点确定对应得定比； 如 如 M-3,-2, ,1,且,就点 P 得坐标为 已知,直线与线段交于 ,且,就等于 十一、向量中一些常用得结论:1 一个封闭

11、图形首尾连接而成得向量与为零向量, 要留意运用 ; 2, 特殊地, 当同向或有; 当反向或有 ; 当不共线 这些与实数比较类似 、(3) 在中,如, 就其重心得坐标为、 如答:;答:2 或 如ABC得三边得中点分别为 2,1 、-3,4、 1,-1,就 BC得重心得坐标为 _ 答:;为得重心 , 特殊地为得重心 ;为得垂心 ;向量所在直线过得内心 就是得角平分线所在直线 ;得内心 ;(4) 如分有向线段所成得比为 , 点为平面内得任一点 , 就, 特殊地为得中点 ; 向量中三终点共线存在实数使得且、 如平面直角坐标系中 , 为坐标原点 , 已知两点 , 如点满意 , 其中且, 就点得轨迹就是 _ 答: 直线 A