经典奥数时钟问题.doc

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1、. .时钟问题解法与算法公式时钟问题的关键点：时针每小时走30度分针每分钟走6度分针走一分钟转6度时，时针走05度，分针与时针的速度差为55度。请看例题：【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的时机有：A1次 B2次 C3次 D4次【解析】时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为次，还要验证：根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/55= 16又4/1160，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/55 = 49又1/1160，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经历证，选B可以。【例题2】在某时刻，某钟表时

2、针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，那么此时刻为A10点15分B10点19分C10点20分D10点25分【解法1】时针1011点之间的刻度应和分针2025分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，那么分针必在这一X围，而选项中加上6分钟后在这一X围的只有10点15分，所以答案为A。【解法2】常规方法设此时刻为X分钟。那么6分钟后分针转的角度为6X+6度，那么此时刻3分钟前的时针转的角度为053度，以0点为起始来算此时时针的角度为053+1030度。所谓“时针与分针成一条直线即053+10306+6=180度，解得=15分钟。 著

3、名数学难题：时钟的时针和分针由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，下面介绍几例，并研究它们的解法。例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？解：钟表上把一个圆分成了60等分，假设时针从12点开场走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；直至回到12点两针又重合后，又开场重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：12xx=60m，其中m=1，2， 度为1小时，对分针来说1个刻度就是1

4、分钟。所以，12点以后出现第 出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出，它们 如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开场的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。例2 ：挂钟比标准时间每小时慢2分钟；台钟比挂钟每小时快2分钟，闹钟比台钟每小时慢2分钟，手表比闹钟每小时要快2分钟。试问：手表走时是否标准，假设不标准时，判断是快还是慢，快多少或慢多少？为什么？解：(1)标准时间走60分钟时，挂钟时间走58分。(2)因为台钟比挂钟每小时快2分钟，所以挂钟走60分钟时，台钟走62分钟。设当标准时间走60分时，即挂钟走58分，台钟走x1分钟，那么

5、(3)因为闹钟比台钟每小时慢2分钟，所以台钟走60分钟时，闹钟走58分钟。设当标准时间走60分，台钟走x1分时，闹钟走x2分，那么(4)因为手表比闹钟每小时快2分钟，所以闹钟走60分钟时，手表走62分钟。设当标准时间走60分时，闹钟走x2分，手表走x3分，那么答：手表走时不准，走慢了，每小时慢0.133分，即大约慢8秒。例3 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需多少分钟？解：设在钟盘面上时针转过x格后，它与分针重叠，这时分针转动了(45x)分，由于分针转动的速度是时针的12倍，所以有方程例4 时钟的分针和时针在24小时中，形成过多少次直角？解：因为时针1小时转动30，所以1分钟转动0.5，分针

6、每分钟转动6设x分钟后，时针与分针成直角，那么有方程x(60.5)=90 针24小时会有多少次差90的倍数呢？设有n次，那么由此解得n=88在这88次中，时针与分针所成角度分别为90，180，270，360，其中180，360不合要求，因此总共有44次直角。(注：我们用两针重合的方法也可算出同样的结果。)例5 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟后，可以成为一条直线？ 直线上。也可这样解：设经x分钟后两针在一直线上，这时分针转动了x分的刻度，而时 例6 在早上不到6点时，某人看了一下手表，发现分针与时针很接近，还差3分钟就重合了，问此时是什么时间？解：设此时是5时x分，在手外表上，因

7、为分针1分钟转动6，时针1小时转动30，那么1分钟转动0.5，时针从0点到5点x分转动了(1500.5x)度，分针从0分到x分转动了6x度。因为此时分针还差3分钟与时针重合，即还差36=18，所以有方程1500.5x6x=18解之，得x=24所以，此时为5时24分。下面是关于时钟的一个更精彩的算题。我们知道爱因斯坦是一位伟大的物理学家，他是相对论的奠基人，他的科学成就使人类跨越了一个时空。有一次爱因斯坦卧病在床，他的一位朋友来探望他，为解除他的烦闷，他的朋友出了一个问题让他思考。设想钟表的位置在12点整，这时把长短针对调一下，它们的位置还是合理的。但是，在6点整时，如果把长短针对调，就成了一个

8、笑话，因为这时短针正指在12，而长针正指在6，这种情况不可能发生。那么，钟表的长短针在什么位置，它们对调后能使得在新的位置上所指的仍是实际上可能的时间？爱因斯坦悠然地对他朋友说，这个问题对病床上的人确是一个很好的消遣，只可惜它消磨不了我太多时间。说着他坐起身来，在纸上画了一个草图，然后写出了问题的解答，所花的时间比你们听这个故事的时间还短。问题是怎样解决的呢？第一类情况，当时针与分针重合时，它们可以对调。这种情况在例1中已经解决，总共在钟面上有11个位置。除此以外还有没有其他可能呢？设时钟走了x个刻度，分针走了y个刻度，仿照例1有方程当两针对调后，就变成时针走了y个刻度，分针走了x个刻度。如果

9、设分针已在此之前走了n圈，又可得方程把m，n看成数解这个方程组，得由0x，y60，m，n为正整数，可知m，n只能取从0到11，总共有144组解。其中当m=0，n=0与m=11，n=11时，两针都是在12这个位置, 当m=n时，就是第一类情况中的11个重合的位置。当mn时，可求出其余的两针不重合时的另外的132个位置。对一个卧病之人，爱因斯坦的思维仍这样敏捷，不禁使后人为这位巨匠的天赋而惊叹。行测试题精选解答：时钟问题常见种类与解法1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5210小格。而分针每分钟可追及1小格，要两针重合，分针必须追

10、上10小格，这样所需要时间应为10分钟。解： 5211010分答：2点10分时，两针重合。2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针指向12，时针指向4，分针在时针后5420小格。因分针比时针速度快，要成直线，分针必须追上时针20小格并超过时针30小格后，才能成一条直线。因此，需追及2030小格。解： 543015054分答：在4点54分时，分针和时针在同一条直线上。3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？分析：分针与时针成直角，相差15小格或在前或在后，一点时分针在时针后515小格，在成直角

11、，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需追及5115小格或追及5145小格。解： 511512021分或514515054分答：在1点21分和1点54分时，两针都成直角。4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。每整点，是几点敲几下；半点敲一下请你算一算小明从几点开场看书？看到几点完毕的？分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：第一次成一条直线时刻是：03013032分即12点32分。第二

12、次成一条直线时刻是：513013538分即 1点38分。第三次成一条直线的时刻是：52301 4043分即 2点43分。如果从12点32分开场，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下不合题意如果从1点38分开场到2点43分，共敲3下。因此，小明应从1点38分开场看书，到2点43分时完毕的。5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60555分，即速度是标准钟速度的 。2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午

13、5点30分时，此挂钟共慢了5171227分，也就是此挂钟要差27分才到5点30分。3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因它的速度是标准时钟速度的，实际走完这27分所要时间应是27。解： 51712 27 分 2730分答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时分为12大格，按“分分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的，两针速度差是分针的速度的，分针每小时可追及。例1：从5时整开场，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线?5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者

14、之间间隔为25个小格(外表上每个数字之间为5个小格)，如果要成直线，那么分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都走11/12个小格可知，此段时间为55/(11/12)=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。例2：从6时整开场，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合?6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。例3：在8时多少分，时针与分针垂直?8时整时，分针指向正上方，时针指向

15、左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格(分针落后时针)，也就是分针比时针多走了25个小格，此段时间为25/(11/12)=300/11分钟;另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格(但分针超过时针)，也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/(11/12)=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。由上面三个例题可以看出，求解此类问题(经过多少时间，分针与时间成多少夹角)时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法

16、。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不管两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的根底，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、

17、快捷。例4：从9点整开场，经过多少分，在几点钟，时针与分针第一次成直线?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此段时间为15/(11/12)=180/11分钟。例5：一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟?9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/(11/12)=540/11分钟。例6：时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线?

18、时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/(11/12)=360/11分钟。【针对性练习】1. 十点与11点之间，两针在什么时刻成直线(不包括重合情况)？( )A. 10时21 分 B. 10时22 分 C.10时21 D.10时21 分2 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？3。分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？4。钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？5。在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？6.9点过多少分时，时针和分针离“9的

19、距离相等，并且在“9的两边？【参考答案详解】1. 答案A满足. 分针：6度/分 时针0.5度/分，十点时，两针夹角为60度，设需要时间为x分，那么如图有60-0.5x=180-6x，x= 分，即10时分两针成直线。答案A满足。2. 现在是下午3点，从现在起时针和分针什么时候第一次重合？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分3点整，时针在分针前面15格，所以第一次重合时，分针应该比时针多走15格，即90度， 用追及问题的处理方法解：90/(6-0.5)度/分=16 分钟，所以下午3点16 分钟，时针和分针第一次重合。3. 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？解析：

20、分针：6度/分 时针0.5度/分当两针第一次重合到第二次重合，分针比时针多转360度。所以两针再次重合需要的时间为：360/(6-0.5)=720/11分，一昼夜有：2460=1440分，所以两针在一昼夜重合的次数：1440分/(720/11)分/次=22次4. 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？解析：分针：6度/分 时针0.5度/分5点零8分，时针成角：530+80.5=154度，分针成角：86=48度，所以夹角是154-48=106度。5 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？解析：整4点时，分针指向12，时针指向4。此时，时针领先分针20格。时，分两针成直角，必须使时针

21、领先分针15格，或分针领先时针15格。因此，在一样时间内，分针将比时针多走 (20-15)格或(20+15)格。(20-15)/(1-1/12)=60/11,即4点5 分， (20+15)/(1-1/12)=38 分，即4点38 分。6. 9点过多少分时，时针和分针离“9的距离相等，并且在“9的两边？解析：设经过X分，0.5X=270-6X ,解得X=540/13分，所以答案是9点过41 分。行测数学运算：时钟问题作者:公务员考试网 时间:2010-01-08 | 公务员考试论坛 | 来源:中国公务员考试信息网行测数学运算：时钟问题根本知识点：1.设时钟一圈分成了12格，那么时针每小时转1格，

22、分针每小时转12格。2.时针一昼夜24小时转2圈，分针一昼夜转24圈。3.钟面上每两格之间为30，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。4.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180也是22次。【例1】清晨5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？A. 30度 B. 60度 C. 90度D. 150度答案D解析清晨5点时，时针和分针相差5格，那么530150。【例2】中午12点整时，钟面上时针与分针完全重合。那么到当晚12点时，时针与分针还要重合了多少次？A. 10 B. 11 C. 12 D. 13答案B解一从中午12点到晚上12点，时针走了1圈，分针走了12圈，比时针多走了11圈

23、。因此，时针与分针重合了11次。选择B。解二根据根本知识点：由于时针和分针24小时内重合22次，所以12小时内重合11次。【例3】小李开了一个多小时会议，会议开场时看了手表，会议完毕时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1小时多少分？ #中国公务员考试信息网 A. 51 B. 47C. 45 D. 43答案A解析根据题意，会议开了1个多小时，那么分针应该转了1圈多不到2圈，时针转了1格多不到2格。由于“时针和分针恰好互换了位置，所以时针和分针所转角度之和应该是整整两圈。假设这个过程经过了T小时，时针12小时转一圈，那么T小时应该转了T/12圈；分针1小时转一圈，T小时应

24、该转了T圈，那么T+T/122，得到T24/13小时，约合1小时51分。【例4】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，那么此时刻为几点几分？A. 10点15分 B. 10点19分 C. 10点20分 D. 10点25分答案A解析代入B、C、D，很明显，这三个时刻的3分钟之前都还是10点多，因此时针在钟面上的“10与“11之间，而这三个时刻6分钟之后已经至少是25分了，即分针已经在钟面上的“5上或者之后了。我们知道，钟面上的“10与“11之间反过来对应的是“4与“5之间，所以这三个选项对应的时间与条件不符，所以选择A。核心提示

25、钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式TT0+111T0，其中：T为追及时间，即分针和时针要“到达条件要求的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“到达条件要求的时间。 例5从钟表的12点整开场，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠中间相隔的时间是。A. 43分钟B. 45分钟C. 49分钟D. 61分钟 答案C解析从12点整往后，时针与分针第一次垂直到再一次重叠的静态时间T045分钟，根据公式，其间隔时间TT0+T0/1149分钟。【例6】国家2006一类-45、国家2006二类-45从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的时机有多少次?A. 1次 B. 2次 C. 3次 D

26、. 4次答案B解一从12时到13时，时针旋转了30；分针旋转了360。分针与时针所成的角度从0变化到330其中包括90和270，因此有2次成直角的时机。选择B。解二根据公式：从12点开场算，时针与分针成直角的“静态时间为15分钟或45分钟，追及时间为15+1511=16411、45+4511=49111分钟，所以垂直两次。【例7】XX2021年时针与分针在5点多少分第一次垂直？A. 5点10分 B. 5点101011分 C. 5点11分 D. 5点12分答案B解析根据公式：时针与分针5点后第一次成直角的“静态时间为10分钟，追及时间为10+1011=101011分钟，所以选择B。 强华公务员

27、【例8】时针与分针两次垂直的间隔有多长时间？A. 32 B. 32811分 C. 33分 D. 34分答案B解一根据公式：时针与分针两次垂直间隔的“静态时间为30分钟，代入公式算得追及时间为 30+3011=32811分钟，所以选择B。解二根据根本知识点：时针与分针24小时内垂直44次，所以垂直间隔为：246044=32811分钟。核心提示当时钟问题涉及“坏表时，其本质是“比例问题。解题的关键是抓住“标准比，按比例计算。【例9】国家2005二类-46有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准了标准时间，那么钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是多少?A. 11点整 B. 1

28、1点5分 C. 11点10分 D. 11点15分答案C解析标准比：标准时间走60分钟时，慢钟走57分钟。此时，慢钟从4点30分走到10点50分，一共走了6小时20分，合380分钟，假设标准时间走了x分钟，那么：x380=6057，可得：x400分钟。说明标准时间比慢钟快400-38020分钟，慢钟走到了10点50分，实际上应该是11点10分了。【例10】国家2005一类-46一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。那么此时的标准时间是多少？ A. 9点15分 B. 9点30分 C.

29、 9点35分 D. 9点45分答案D解析快钟、慢钟与标准时间的差的标准比为13。假设现在是9点x分快钟显示10点整，慢钟显示9点整，那么60-xx-013，解得：x45。所以标准时间是9点45分。 时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具,生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有： 求时间差： 例：从上午五点十五分到下午两点四十五分之间，共有多少时间？ A.8小时 B.8小时30分 C.9小时30分 D.9小时50分 解析：这种属于最简单的时钟问题。答案是14.45-5.15=9.30 C求慢快表在几小时后显示什么时间？ 例：有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分的时候，把钟对准

30、了标准时间，那么钟走到当天上午10点50分的时候，标准时间是( )。 A11点整 B11点5分 c1l点1O分 D11点15分 解析：慢表显示经过的时间是：10：50-4：30=6小时20分钟=380分钟，实际经过的时间应该是：38060-3/60=400分钟=6小时40分钟，答案为C：4：30+6：40=11：10。 例：一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。那么此时的标准时间是( )。 A9点15分 B 9点30分 c9点35分 D 9点45分 解析：这是2个不准确的时钟问题

31、，也是这种问题的一个延伸。 我们可以看到，在一个小时内，快钟与慢钟有4分钟的差距，而4分钟里面，1分钟时快走造成的，3分钟时慢走造成的。所以当它们快慢钟的差距有60分钟时，那么一样，1/4的时间=15分钟时快走造成的，3/4的时间45分钟时慢走造成的。所以标准时间为9点45分，答案为D。 戴晓东总结：其实这种类型题是较为简单的，关键把握一点，就是不准确的时钟与标准时间的比例关系，也就是常说的一小时慢快多少，然后再推广到几个小时后，而这种比例是不变的。 延伸：通过第二道例题，大家可以多少感觉到，有点像路程问题，其实这正是解决时钟问题中较困难问题的一个核心思想。下面，我们继续往下看，来看看时钟问题

32、中较为困难的类型。 求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。 例：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点，时针与分针重合多少次？ 万学金路戴晓东强调要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。 一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1小时时间，分针走60个小格，时针只走了5个小格，所以每小时分针比时针多走55个小格。 解析：就此题而言，可以看作是跑道同向相遇问题： 时针: v1=5格/小时 分针：v2=60格/小时 n*60=v2-v1*12 即：重合一次，多走60个格，假设重合了N次，所以多走了n*60；再有，一小时多走60-5个格

33、，总共走了12小时，所以多走了60-5*12个格。 解出：n=11 例：从6时整开场，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？ 解析：6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/55=6/11小时=360/11分钟。 例：一个指在九点钟的时钟，多少分钟后时针与分针第一次重合？ 解析：9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针与时针重合，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/55小时=540/11分钟。 总

34、结：这类题型其本质就是追击问题。我们知道在追击问题中，关键是要知道路程差，速度差。而在时针与分针重合问题中，路程差就是时针分针之间有多少个小格，速度差就是一小时差55格前面已经分析过。所以本着这两点，这类问题可以迎刃而解。 大家可以看看下面这两个问题：供大家思考，也是对这类问题的延伸。 例：爷爷家的老式钟的时针与分针每隔66分钟重合一次,这只钟每昼夜慢多少分钟? 解析：正常的钟每隔(12/11)小时=(720/11)分钟重合一次， 爷爷家的老式钟是726/11分钟重合一次，慢了6/11分钟。 每小时这个钟就会慢【(6/11)/(720/11)】*60=1/2分钟。 一昼夜共慢了1/2*24=1

35、2分钟。 时针分针讨论了不少，我们稍微换一换，看看分针和秒针的问题。 例：1个小时内分针和秒针共重叠 次。 A.60 B.59 C.61 D.55 这个题目很多人认为是61次，我们来讨论一下： 首先，从一个理想状态来研究，因为理想状态也是其中的符合条件的情况，比方正点时刻 分针和秒针都是在12上 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，。58，59，60 我们来仔细分析 当0分钟时刻，分针秒针都是在一起，算1次重叠。但是在01之间却是没有重合的，因为当秒针从12转一圈之后回到12，此时的分针已经偏离12，1格子的角度了。从12分钟时刻开场，秒针和分针就开场在其每分钟的间隙之间重叠了。当到了59

36、60分钟之间，最后是分针和秒针同时到达12上，形成了最后一次重复。在5960间隙里面也是没有重合的。 这样我们就可以把开场0位置上的重合看作是01上的重合，60上的重合看作是5960之间的重合，整个过程就发现就是60次。 其次：如果不是理想状态。这个题目就出现了2个结果。就是看间隔。59个间隔至少有59次相遇。第一次的间隔没有。 这里有一个问题，很多人认为 当出现整点到整点时刻是不是不包含两端的端点时刻。如果题目没有交代的情况下是包涵的，跟植树问题是样的。如果交代了，自然按照题目交代的情况来做。时钟问题经典例题详解例：现在是2 点，什么时候时针与分针第一次重合？析：2 点时候，时针处在第10

37、格位置，分针处于第0 格，相差10 格，那么需经过10 / 11/12分钟的时间。例：中午12 点，时针与分针完全重合，那么到下次12 点时，时针与分针重合多少次？析：时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60 格，那么分针追赶时针一次，耗时60 /11/12 720/11 分钟，而12 小时能追随及12*60 分钟/ 720/11 分钟/次=11 次，第11 次时，时针与分针又完全重合在12 点。如果不算中午12 点第一次重合的次数，应为11 次。如果题目是到下次12 点之前，重合几次，应为11-1 次，因为不算最后一次重合的次数。2.分针与秒针秒针每秒钟走一格，分针每60 秒钟走一格，

38、那么分针每秒钟走1/60 格，每秒钟秒针比分针多走59/60 格例：中午12 点，秒针与分针完全重合，那么到下午1 点时，两针重合多少次？析：秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60 格，那么秒针追分针一次耗时，60 格/ 59/60 格/秒= 3600/59 秒。而到1 点时，总共有时间3600 秒，那么能追赶，3600 秒/ 3600/59 秒/次=59 次。第59 次时，共追赶了，59 次*3600/59 秒/次=3600 秒，分针走了60 格，即经过1 小时后，两针又重合在12 点。那么重合了59 次。3.时针与秒针秒针每秒走一格，时针3600 秒走5格，那么

39、时针每秒走1/720 格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。例：中午12 点，秒针与时针完全重合，那么到下次12 点时，时针与秒针重合了多少次?析：重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60 格，每秒钟追719/720 格，那么要一次要追60 /719/720=43200/719 秒。而12 个小时有12*3600 秒时间，那么可以追12*3600/43200/719710次。此时重合在12 点位置上，即重合了719 次。4.成角度问题例：在时钟盘面上，1 点45 分时的时针与分针之间的夹角是多少？析：一点时，时针分针差5 格，到45 分时，分针比时针多走了11/12*4541.25 格，那

40、么分针 此时在时针的右边36.25 格，一格是360/606 度，那么成夹角是,36.25*6=217.5 度。5.相遇问题例：3 点过多少分时，时针和分针离“3的距离相等，并且在“3的两边？析：作图，此题转化为时针以每分1/12 速度的速度，分针以每分1 格的速度相向而行，当时针和分针离3 距离相等，两针相遇，行程15 格，那么耗时15 / 1+ 1/12 =180/13 分。例：小明做作业的时间缺乏1 时，他发现完毕时手表上时针、分针的位置正好与开场时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？析：只可能是这个图形的情形，那么分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和

41、分针共走了60 格，而时针每分钟1/12 格，分针1 格，那么总共走了60/ (1/12+1)=720/13 分钟，即花了720/13 分钟。钟表上的追及问题新课标提倡，数学走进生活，教科书中出现了与日常生活密切相关的钟表问题。例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：1重合；2成平角；3成直角。许多同学面对此题，束手无策，不知如何解决。实际上，因为分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：一. 格数法钟外表的外周长被分为60个“分格，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用

42、时针与分针旋转的“分格数来解决这个问题。解析1设3点x分时，时针与分针重合，那么分针走x个分格，时针走个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程，解得。所以3点16分时，时针与分针重合。2设3点x分时，时针与分针成平角。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成平角。3设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，

43、分针比时针多走了30分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成直角。二. 度数法对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360，所以时针1分钟转过的角度是0.5，分针1分钟转过的角度是6。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。解析1设3点x分时，时针与分针重合，那么时针旋转的角度是0.5x，分针旋转的角度是6x。整3点时，时针与分针的夹角是90，当两针重合时，分针比时针多转了90，于是得方程，解得。2设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90+180=270，于是得方程，解得。3设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了，于是

44、得方程，解得。练一练1. 钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？2. 钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？3. 钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40的角？4. 钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？参考答案：1. 9点49分；2. 5点43或5点10分；3. 3点9分或3点23分；4. 2点43分。1、钟表指针重叠问题 时钟问题详细讲解我只是在论坛看到相关内容，并加以整理：一、重合问题1、钟表指针重叠问题中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？2006国家考题A、10 B、11 C、12 D、13 答案B2、中午1

45、2点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？A、60 B、59 C、61 D、62 答案B讲讲第2题，如果第2题弄懂了第1题也就懂了！给大家介绍我认为网友比拟经典的解法：考友1.其实这个题目就是追击问题，我们现在以钟表上的每一刻度为一个单位，这时秒针的速度就是是分针速度的60倍，秒针和分针一起从12点的刻度开场走，多久分针追上时针呢？我们列个方程就可以了，设分针的速度为1格/秒，那么秒针的速度就是60格/秒，设追上的时候路程是S，时间是t，方程为(1+60)tS 即61tS，中午12点到下午1点，秒针一共走了3600格，即S的X围是0S3600，那么t的X围就是0t3600/61,即0t59.02，因为t