2022年平面解析几何知识点总结与训练.docx

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1、苏教版必修 21. 直线的倾斜角与斜率：第 2 章 平面解析几何（ 1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,假如把x 轴围着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角 .倾斜角 0,180 ,90 斜率不存在 .（ 2）直线的斜率：ky2y1 xx , ktan（ P x , y 、P x , y ） .12x2x12. 直线方程的五种形式：111222（ 1）点斜式： yy1k xx1 直线 l 过点P1 x1,y1 ,且斜率为 k 注：当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为xx0 （ 2）斜截式： ykxbb 为直线 l 在 y

2、 轴上的截距 .yy1（ 3）两点式：xx1yy , xx .y2y1x2x11212注： 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线； 方程形式为：x2x1 yy1 y2y1 xx1 0 时,方程可以表示任意直线（ 4）截距式：xay1（ a,b 分别为 x 轴 y 轴上的截距,且 a b0,b0 ）注：不能表示与 x 轴垂直的直线, 也不能表示与y 轴垂直的直线, 特殊是不能表示过原点的直线（ 5）一般式： AxByC0其中 A 、B 不同时为 0一般式化为斜截式：yA xCBB,即,直线的斜率：kA B注：（ 1）已知直线纵截距 b ,常设其方程为 ykxb 或 x0 已知直线横截距x0 ,

3、常设其方程为x myx0 直线斜率 k 存在时, m 为 k 的倒数 或 y0 已知直线过点 x0 , y0 ,常设其方程为y k xx0y0或x x0 （ 2）解析几何中讨论两条直线位置关系时,两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合3. 直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.（ 1）直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点（ 2）直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点（ 3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点4. 两条直线的平行和垂直：（ 1）如l1 :y k1xb1 , l2 :yk2xb2 l1 / l 2k1k2 ,b1b2 ； l1l

4、2k1k21 .（ 2）如l1 : A1xB1 yC10 , l 2 :A2xB 2 yC 20 ,有 l1 / l 2A1B2A2 B1且A1C 2A2C1 l1l 2A1A2B1B20 5. 平面两点距离公式： P x , y 、 P x , y , P P xx 2 yy 2 x 轴上两点间距离：ABxx111222121x0212BAx1x 2线段 P P的中点是M x, y ,就21200y1y 2y026. 点到直线的距离公式：Ax0By0C点 P x0 , y0 到直线l： AxByC0 的距离： d7. 两平行直线间的距离：A2B 2两条平行直线8. 直线系方程：l1： AxB

5、yC10, l2： AxByC 20 距离： dC1C2A2B 2（ 1）平行直线系方程： 直线 ykxb 中当斜率 k 肯定而 b 变动时,表示平行直线系方程 与直线l : AxByC0 平行 的直线可表示为AxByC10 过点Px0, y0 与直线l : AxByC0 平行 的直线可表示为：A xx0 B yy00 （ 2）垂直直线系方程： 与直线l : AxByC0 垂直的直线可表示为BxAyC10 过点Px0, y0 与直线l : AxByC0 垂直 的直线可表示为：B xx0 A yy0 0 （ 3）定点直线系方程： 经过定点P0 x0,y0 的直线系方程为yy0kxx0 除直线xx

6、0 , 其中 k 是待定的系数 经过定点P0 x0,y0 的直线系方程为A xx0 B yy0 0 , 其中A, B 是待定的系数（ 4）共点直线系方程： 经过两直线l1： A1xB1 yC10, l 2：A2xB2 yC 20 交点的直线系方程为 A1 xB1 yC1 A2 xB2 yC2 0 除 l2 ,其中 是待定的系数9. 曲线C1 :f x,y0 与 C2 : g x,y0 的交点坐标方程组f x, y0 的解 gx, y010. 圆的方程：（ 1）圆的标准方程： xa2 yb 2r 2 （ r0 ）（ 2）圆的一般方程： x 2（ 3）圆的直径式方程：y2DxEyF0D 2E 24

7、 F0 如 A x1, y1,Bx2 , y2 ,以线段 AB 为直径的圆的方程是： xx1 xx2 yy1 yy2 0 注： 1 在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是（ 2）一般方程的特点：D ,E , r 221D 22E 24 F x2 和y 2 的系数相同且不为零；没有 xy项； D 2E 24F0（ 3）二元二次方程Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表示圆的等价条件是： AC0 ； B0 ； D 2E 24 AF0 11. 圆的弦长的求法：（ 1）几何法：当直线和圆相交时,设弦长为l ,弦心距为 d ,半径为 r ,就：“半弦长 2 +弦心距 2 =半径 2 ” l 22d 2r

8、 2 ；（ 2）代数法：设 l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为A x1 , y1, B x2 , y2 ,就| AB |1k 2| xAxB |11 | y k 2Ay B |（其中| x1x2 |,| y1y2 |的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或 x ,利用韦达定理求解）12. 点与圆的位置关系：点Px0,y0 与圆 xa 2 yb2r的位置关系有三种2 P 在在圆外 P 在在圆内 P 在在圆上dr x0dr x 0dr xa) 2a) 2a) 2 y0 y0 yb) 2b) 2b 2r 2 r 2 r 2 【 P 到圆心距离 d ax 2by 2 】000013. 直线与圆的位

9、置关系：222AaBbC直线 AxByC0 与圆 xa ybr的位置关系有三种d:A2B2圆心到直线距离为 d ,由直线和圆联立方程组消去x （或 y ）后,所得一元二次方程的判别式为dr相离0 ； dr相切0 ； dr相交0 14. 两圆位置关系 : 设两圆圆心分别为O1, O2 ,半径分别为r1, r2 ,O1O2ddr1r2外离4条公切线 ； dr1r2内含无公切线 ；dr1r2外切3条公切线 ； dr1r2内切1条公切线 ；r1r2dr1r2相交2条公切线 15. 圆系方程： x 2y2DxEyF0D 2E 24 F0（ 1）过点A x1, y1 ,B x2 ,y2 的圆系方程：xx1

10、 xx2 yy1 yy2 xx1 y1y2 yy1 x1x2 0 xx1 xx2 yy1 yy2axbyc0 , 其中axbyc0 是直线 AB 的方程（ 2）过直线l： AxByC0 与圆 C : x2y 2DxEyF0 的交点的圆系方程：2x 2y 2DxEyF AxByC0 , 是待定的系数（ 3）过圆C1 : xy2D xE1 yF10 与圆C2 : xy2D xE2 yF20 的交点的圆系方程：122x2y 2D1xE1 yF1 x2y 2D xE 2 yF2 0 , 是待定的系数2特殊地,当1时, x2y2D xE yF x2y 2D xE yF 0 就是 D1D2 x E1E2

11、y111222F1F2 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线216. 圆的切线方程：（ 1）过圆 x2y 2r 2 上的点P x0, y0 的切线方程为 :x0 xy0 yr（ 2）过圆 xa) 2 yb 2r 2 上的点Px0,y0 的切线方程为 : xa x0a yb y0b) r2（ 3）过圆 x2y 2DxEyF0 上的点P x0 , y0 的切线方程为 :x0 xy0 yD x0xE y0yF0 22222(4) 如 Px0 ,y0 是圆 xyr外一点 , 由 P x0 ,y0 向圆引两条切线 ,切点分别为 A,B就直线 AB的方程为xx0yy0r(5) 如 Px0

12、 ,y0 是圆 xa 2 yb 2r 2 外一点 ,由 Px0 ,y0 向圆引两条切线 ,切点分别为A,B 就直线 AB的方程为 x0a xa y0b ybr2（ 6）当点Px0, y0 在圆外时,可设切方程为yy0k xx0 ,利用圆心到直线距离等于半径,22即 dr ,求出 k ；或利用0 ,求出 k 如求得 k 只有一值,就仍有一条斜率不存在的直线xx0 17. 把两圆 x2y 2D xE1 yF10 与 xy 2D xE 2 yF 20 方程相减1即得相交弦所在直线方程:18. 空间两点间的距离公式: D1D 2 x E1E 2 y F1F 2 0 如 A x , y , z , B

13、x, y , z ,就 ABxx 2yy 2zz 211119. 对称问题：（ 1）中心对称：222212121 点关于点对称：点 直线关于点对称：A x1 , y1 关于M x0 , y0 的对称点A2 x0x1,2 y0y1 法 1：在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标,由两点式求直线方程法 2：求出一个对称点,在利用（ 2）轴对称：l1 / l 2 由点斜式得出直线方程2 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与对称点的中点在直线上点 A、A关于直线 l 对称AA lk AAkl 1AA 中点在 l上AA 中点坐标满意 l方程 直线关于直线对

14、称： （设a, b 关于 l 对称）法 1：如a, b相交,求出交点坐标,并在直线a 上任取一点,求该点关于直线l 的对称点如 a / l ,就b / l,且 a,b 与 l 的距离相等法 2：求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程（ 3）点 a, b 关于 x 轴对称： a,-b 、关于 y 轴对称： - a, b 、关于原点对称： - a,-b 、点 a, b 关于直线 y=x 对称： b, a 、关于 y= - x 对称： - b,-a 、关于 y = x + m 对称： b - m、a +m 、关于 y= - x+m 对称： - b+m 、- a+m

15、 x1x2x3y1y2y320. 如A x1 , y1, B x2 , y2 , C x3 , y3 ,就 ABC 的重心 G 的坐标是,3321. 各种角的范畴：（ 1） 两个向量的夹角0（ 2） 直线的倾斜角 0180180两条相交直线的夹角090（ 3） 两条异面线所成的角090直线与平面所成的角090斜线与平面所成的角0一、挑选题90二面角 01801. 文2022 山东潍坊 如圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线4x 3y 0 和 x 轴都相切,就该圆的标准方程是 7A x 32 y 3 2 1B x 22y 12 1C x 12y 3 2 1 3D. x2 2 y 12

16、1 理2022厦门三中阶段训练以双曲线 x2 y2 1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是63A x2y2 23x2 0B x 32 y2 9C x2y2 23x 2 0D x 32y2 32. 已知两点 A 1,0,B0,2 ,点 P 是圆 x 12y2 1 上任意一点,就 PAB 面积的最大值与最小值分别是 111A 2,24 5B.24 5,14521C.5, 4 5D.25 2, 25 23 文2022 延边州质检 已知圆 x 12y 12 1 上一点 P 到直线 3x 4y 30 距离为 d,就 d 的最小值为 4A 1B.52C.5D 2 理2022 安徽合肥六中 已

17、知圆 C 的方程为 x2 y2 2x 2y 1 0,当圆心 C 到直线 kx y 4 0 的距离最大时, k 的值为 11A. 3B.511C 3D 54. 方程 x2 y2 4mx 2y 5m 0 表示的圆的充要条件是 1A. m141C m4D m1 45. 2022 北京海淀区 已知动圆 C 经过点 F0,1 ,并且与直线 y 1 相切,如直线 3x 4y 20 0 与圆 C有公共点,就圆 C 的面积 A 有最大值B有最小值C有最大值4D有最小值46 文已知 ab,且 a2sinacos 0,b2sin bcos 440,就连结 a,a2,b,b2两点的直线与单位圆的位置关系是 A 相交

18、B相切C相离D不能确定7 2022 吉林省质检 圆 x2 y2 2x 6y 5a 0 关于直线 yx 2b 成轴对称图形,就a b 的取值范畴是A , 4B , 0C 4, D 4, 9文已知不等式组x0 y0x 2y 40表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：x a2 y b2 r2 及其内部所掩盖,就圆 C 的方程为 A x 12y 22 5B x 22y 12 8C x 42y 12 6D x 22 y 12 5x2y210 文2022 烟台诊断 已知圆 C 的圆心为 Cm,0 , mb0有一个公共点 A3,1 ,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点(1) 求圆 C 的标准方程；a2b2(2) 如点 P 的坐标为 4,4,摸索究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,如能,求出椭圆E 和直线 PF1 的方程； 如不能 ,请说明理由11 文设 O 点为坐标原点,曲线x2 y2 2x 6y1 0 上有两点 P、Q 关于直线 x my 4 0 对称,且OP 0.OQ(1) 求 m 的值；(2) 求直线 PQ 的方程