2022年平方差公式与完全平方公式知识点总结.docx

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1、名师总结优秀学问点乘法公式的复习一、平方差公式a+ba-b=a2-b 2归纳小结公式的变式,精确敏捷运用公式：22 位置变化, x yy xxy2222 符号变化,x yx yxyxy222244 指数变化, xyxyxy22 系数变化, 2a b 2a b4ab 换式变化, xyz mxyz m22xyz mx2y2z m z m x2y2z2zm zm m2 x2y2z22zm m2 增项变化, x y z x y z22x yz2x y x yz222xxy xy yzx22xy y2z2 连用公式变化, x y x y x2y2x2y2x2y2 x4y422 逆用公式变化, x y z

2、x y zx y zx y zx y zx y z2x2y 2z 4xy 4xz完全平方公式活用:把公式本身适当变形后再用于解题；这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式：21. ab22. ab2aba 2b2222abab23. ab222ab2 ab24. ab2ab4ab敏捷运用这些公式, 往往可以处理一些特别的运算问题, 培育综合运用学问的才能；例 1已知 ab2 , ab1,求a 2b 2 的值；例 2已知 ab8 , ab2 ,求 ab2 的值；解： ab 2a 22abb 2ab2a 22 abb 2 ab 2ab 24ab ab 24ab =

3、ab 2 ab8, ab2 ab 2824256例 3 已知 ab4, ab5 ,求 a 2b 2 的值；解： a 2b22ab2ab422526三、学习乘法公式应留意的问题（一）、留意把握公式的特点,认清公式中的“两数” 例 1 运算-2 x2-52 x2-522分析： 此题两个因式中 “ -5 ”相同,“2x2”符号相反, 因而“-5 ”是公式 a+b a- b= a- b2中的 a,而“ 2x”就是公式中的 b2例 2 运算- a +4b 22222分析：运用公式 a+b=a +2ab+b 时,“ - a ”就是公式中的 a,22“ 4b”就是公式中的 b；如将题目变形为 4 b- a

4、时,就“ 4b”是公2式中的 a,而“ a ”就是公式中的 b（解略）（二）、留意为使用公式制造条件 例 3 运算2 x+y- z+52 x- y+z+5 分析：粗看不能运用公式运算, 但留意观看,两个因式中的“2x”、“ 5”两项同号,“ y”、“ z”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式例 5 运算2+122 +124+128+1 分析：此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但如添上一项（ 2-1 ）, 就可运用公式,使问题化繁为简（三）、留意公式的推广222运算多项式的平方,由 a+b =a +2ab+b ,可推广得到： a+b+c 2=a2+b2+c2+2ab

5、+2ac+2bc2可表达为： 多项式的平方, 等于各项的平方和, 加上每两项乘积的 2 倍例 6 运算2 x+y-3解：原式 =2 x2+y2+-32+2 2x y+2 2x-3+2 y-3=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y（四）、留意公式的变换,敏捷运用变形公式2例 7已知： x+2y=7,xy=6,求 x-2 y 的值例 10 运算2 a+3b 2-22 a+3b5 b-4 a+4 a-5 b 2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法绽开后运算,但逆用完全平方公式,就运算更为简便四、怎样娴熟运用公式： 熟识常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一样或不能直接用公式运算,

6、此时要依据公式特点,合理调整变化,使其满意公式特点常见的几种变化是：1、位置变化如（ 3x+5y）（ 5y 3x）交换 3x 和 5y 的位置后即可用平方差公式运算了2、符号变化如（ 2m 7n）（ 2m 7n）变为（ 2m+7n）（ 2m 7n）后就可用平方差公式求解了 （摸索：不变或不这样变, 可以吗？）223、数字变化如 98102,99 ,91 等分别变为（1002）（100+2）,22（1001）,（90+1）后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化如（ 4m+ n ）（2m n ）变为 2（2m+ n ）（ 2m n ）2444后即可用平方差公式进行运算了（四）、留意公式的敏捷运用

7、有些题目往往可用不同的公式来解, 此时要挑选最恰当的公式以2222使运算更简便如运算（ a +1） （ a 1） ,如分别绽开后再相乘,就比较繁琐, 如逆用积的乘方法就后再进一步运算, 就特别简便 即2224284原式= （a +1）（ a 1） =（ a 1） =a 2a +1对数学公式只会顺向 （从左到右） 运用是远远不够的, 仍要留意逆向（从右到左）运用如运算（11 ）（ 1221 ）（ 1231 ）（ 1242 1 ）（1 91 ）,如分别算出各因式的值后再行相乘, 不仅运算繁难,210而且简洁出错如留意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,就可巧解此题即原式 =（11 ）（ 1+

8、 1 ）（ 11 ）（ 1+ 1 ）（ 11 ）（ 1+ 1 ）= 1 3 2 24 29 11 =331 11 = 11 10102233101021020有时有些问题不能直接用乘法公式解决, 而要用到乘法公式的变222222式,乘法公式的变式主要有： a +b =（a+b） 2ab,a +b =（a b） +2ab等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效2222如已知 m+n=7, mn= 18,求 m+n ,m mn+ n的值面对这样的问题就可用上述变式来解,2222即 m+n =（ m+n） 2mn=7 2（ 18） =49+36=85,2222m mn+ n = （ m+n） 3m

9、n=7 3（ 18） =103以下各题,难不倒你吧？！21、如 a+ 1 =5,求（ 1） a2+ 1aa,（ 2）（ a1 ） 2 的值a2、求（ 2+1）（22+1）（ 24+1）（ 28+1）（ 216+1）（232+1）（ 264+1） +1的末位数字（答案： 1. （ 1） 23；（ 2） 212. 6）222五、乘法公式应用的五个层次2乘法公式： a ba b=a b , a b=a 2ab b ,a ba 2 ab b2=a 3b3第一层次正用即依据所求式的特点,仿照公式进行直接、简洁的套用 例 1 运算 2x y2x y 其次层次逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用 例 2 运

10、算第三层次活用 ：依据待求式的结构特点,探寻规律,连续反复使用乘法公式；有时依据需要制造条件,敏捷应用公式248例 3 化简： 2 1212121 184分析直接运算繁琐易错, 留意到这四个因式很有规律, 假如再增加一个因式“ 2 1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解2解原式=2 12 1212 121 1224816=21212 121 1=2 第四层次变用 ：解某些问题时,如能娴熟地把握乘法公式222333的一些恒等变形式,如 ab =a b 2ab,a b =a b 3aba2 b 等,就求解特别简洁、明快2例 5 已知 ab=9,ab=14,求 2a 2b的值2222解：ab=

11、9,ab=14, 2a 2b =2a b 2ab=29 214=106 ,22222第五层次综合后用：将 a b=a 2ab b 和a b =a222222 2ab b 综合,2可得 a b a b=2a b ；a b a b=4ab；等,合理地利用这些公式处理某些问题显得新奇、简捷例 6 运算： 2x yz52x yz 5 解：原式= 1 2x+y-z+5+2x-y+z+52- 12222442x+y-z+5-2x-y+z+522=2x 5y z=4x 20x 25 y2yz z乘法公式的使用技巧：提出负号：对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以防止负号多带来的麻烦；例1、 运用乘法公式运

12、算：2（ 1） -1+3x-1-3x； （ 2） -2m-1转变次序：运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列次序,可以使公式的特点更加明显 .2例2、 运用乘法公式运算：（ 1）114a-b - 31a34b -;（ 2） x-1/2x+1/4x+1/2逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a2-b 2 = a+ba-b,逆用积的乘方公式,得 an bn=ab n, 等等,在解2题经常会收到事半功倍的成效；例3、 运算：（1）x/2+52-x/2-5;（ 2）a-1/22a2+1/42a+1/2 2合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项

13、调到各因式的前面,视为一组；符号相反的项放在后面, 视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行运算；运算：（ 1） x+y+11-x-y;（ 2）2x+y-z+52x-y+z+5.先提公因式,再用公式例 2.运算： 8 xy4 xy24简析：通过观看、比较,不难发觉,两个多项式中的x 的系数成倍数, y 的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,如将第一个多项式中各项提公因数2 出来,变为 2 4 xy,就可利用乘法公式；4三.先分项,再用公式例 3.运算： 2 x3y22x3y6简析：两个多项中好像没多大联系, 但先从相同未知数的系数着手观看,不难发觉, x 的系数相同, y 的系数互为相反数,符合乘法公式；进而分析如何将常数进行变化；如将2 分解成 4 与 2 的和,将 6 分解成 4 与 2 的和,再分组,就可应用公式绽开；四.先整体绽开,再用公式例 4.运算： a2b a2b1简析： 乍看两个多项式无联系, 但把其次个整式分成两部分, 即a2b1 ,再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可绽开；六.先用公式,再绽开例 6.运算： 11112232114211102简析：第一个整式 112 2可表示为 1221,由简洁的变化,2可看出整式符合平方差公式, 其它因式类似变化, 进一步变换成分数的积,化简即可；