2022年平面向量知识点归纳与例题练习.docx

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1、一：学问框架图；平面对量二、具体学问要点讲解； 重点学问回忆1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量, 有二个要素：.2. 向量的表示方法：用有向线段表示；用字母a、 b 等表示；平面对量的坐标表示：分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、 j 作为基底；任作一个向量a ,由平面对量基本定理知,有且只有一对实数x 、 y ,使得 axiyj , x, y 叫做向量 a 的（直2角）坐标,记作 a x, y ,其中 x 叫做 a 在 x轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,特别地, i1,0 , j0,1 , 00,0 ；ax2y；如A x1, y1 , B x2,

2、y2 ,就 ABxx , yy, AB xx 2 yy 2212121213. 零向量、单位向量：长度为的向量叫零向量,记为0 ； 长度为个单位长度的向量,叫单位向量. （注：a就是单位向量）| a |4. 平行向量：方向的向量叫平行向量； 我们规定与任一向量平行 .向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a b c . 共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5. 相等向量：相等且相同的向量叫相等向量. 6向量的基本运算（1）向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法就或三角形法就进行；坐标运算：设a =x 1, y1,b =x 2,y 2 就 a+b=, a- b=；2平面对量

3、的数量积： ab=；设 a =x 1, y 1,b =x 2,y 2 就 ab=；（3）两个向量平行的充要条件=（ b 不是零向量） 如=x 1,y 1 ,=x 2,y 2 ,就；（4）两个非零向量垂直的充要条件是=；设=x 1,y 1 ,=x 2 ,y 2 ,就；.向量的加法、减法：求两个向量和的运算,叫做向量的加法； 向量加法的三角形法就和平行四边形法就；向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差；即： ab =a + b ；差向量的意义：OA=a ,OB = b , 就 BA = ab平面对量的坐标运算：如a x1 , y1 , b x2, y2 ,就 ab x1x

4、2 , y1y2 ,abx1x2 , y1y2 , ax,y ；向量加法的交换律 ： a + b = b + a ；向量加法的结合律： a + b + c = a + b + c 7. 实数与向量的积：实数 与向量 a的积是一个向量,记作： a（1） | a |=| |a |；（ 2） 0 时 a 与 a 方向相同； 0 时 a 与 a 方向相反； =0 时a = 0 ；（ 3）运算定律 a =a , +a =, a + b =；8. 向量共线定理向量 b 与非零向量 a 共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数 ,使 b =a ；9. 平面对量基本定理：假如e1 , e2是同一平面

5、内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1, 2 使 a = 1 e1+ 2 e2；1不共线向量e1 、 e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；2 基底不惟一,关键是不共线；3 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1 、 e2的条件下进行分解 4 基底给定时,分解形式惟一. 1, 2是被 a , e1, e2唯独确定的数量；10. 向量 a 和 b 的数量积：a b=其中 0 , 为 a 和 b 的夹角；| b |cos称为 b 在 a 的方向上的投影；a b 的几何意义是：b 的长度 | b |在 a 的方向上的投影的,是一个实数（可正、可负、也可是零）,

6、而不是向量；如 a=（ x1,y1 ） ,b =（ x2,y2 ） , 就 abx1 x2y1 y2运算律： a b=ba, a b=a b= （a+b） c=；ab a 和 b 的夹角公式： cos=ab aaa 2| a | =x +y ,或 | a |=x 2y 22a |a b | | a | | b |；22211. 两向量平行、垂直的充要条件设 a = （x1 ,y1 ）,b =（x2 ,y2 ）a ba b=0 , aba b = x1x2 + y1y2 =0； a / b （ a 0 ）充要条件是：有且只有一个非零实数 ,使 b = a ；a / bx1 y 2x2 y10向量

7、的平行与垂直的坐标运算留意区分,在解题时简单混淆；三：难点、易错点；1、懂得向量的概念,把握向量的几何表示,明白共线向量的概念；2、把握向量的加法和减法；3、把握实数与向量的积,懂得两个向量共线的充要条件；4、明白平面对量的基本定理,懂得平面对量的坐标的概念,把握平面对量的坐标运算；5、把握平面对量的数量积及其几何意义；明白用平面对量的数量积可以处理有关长度, 角度和垂直的问题,把握向量垂直的条件；四：考点举例及配套课堂练习（例题讲解）（一）基础学问训练1. 以下命题正确选项（） A 单位向量都相等B 任一向量与它的相反向量不相等C 平行向量不肯定是共线向量 D 模为 0 的向量与任意向量共线

8、2. 已知正六边形 ABCDEF 中,如 ABa , FAb ,就 BC（） A1 ab 2 B1 ab 2C ab D 1 ab23. 已知向量 e10,R , ae1e2 , b =2 e1 如向量 a 与 b 共线,就以下关系肯定成立是（） A0Be20Ce1 e2 D e1 e2 或04. 如向量 a 1, x, bx,2 共线且方向相同,x =；5. 设 02 ,已知两个向量OP1cos, sin,OP22sin, 2cos,就向量P1P2长度的最大值是（）A.2B.3C. 32D. 2 3（二）典例分析例 1：（ 1）设 a 与 b 为非零向量,以下命题：如 a 与 b 平行,就

9、a与 b 向量的方向相同或相反；如 ABa, CDb,a 与 b 共线,就 A、 B、C、D 四点必在一条直线上；a如 a与 b 共线,就 abab ；如 a 与 b 反向,就 abb其中正确命题的个数有（A） 1 个（B） 2 个（ C）3 个（ D）4 个（2） 以下结论正确选项（）（A） a ba b（ B） abab（ C）如 a bcc ab0（D）如 a 与 b 都是非零向量,就 ab 的充要条件为 abab错解：（ 1）有同学认为全正确,答案为4；也有同学认为或是错的,答案为2或 3；（ 2）A 或 B 或 C；分析： 同学对向量基础学问懂得不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使

10、挑选错误；第（ 1）小题中,正确的应当是,答案为2；共线向量（a与 b 共线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量 b 作伸缩变换成为另一个向量a 所作的伸缩量； 如 a, b 为非零向量,就共线的a 与 b 满意 a与 b 同向时 aab , a 与 b 反向时 aa b ；b b第（ 2）小题中,正确答案为（D）；同学的错误多为与实数运算相混淆所致；挑选支D 同时要求同学明确向量垂直、两个向量的数量积、 向量的模之间互化方法, 并进行正确互化；例 2设 a、b 是两个不共线向量； AB=2a+kb BC= a+b CD= a-2 bA、B、D 共线就 k=k R解： BD=BC+CDa=+

11、b+a-2 b=2a- b2a+kb=2 a- b=2 a- b 2=2 且 k=- k=-1例 3梯形 ABCD,且 |AB|=2|DC|,M、N分别为 DC、 AB中点； AB=a AD= b用 a, b 来标 DC、BC、MN；解： DC=1 AB=1 a2211BC=BD+DC=AD-AB+DC = b-a +a=b-a221MN=DN-DM=21a-b -a=41a-b4例 4 |a|=10b =3,-4且 a b 求 a22解：设 a=x,y就 x+y =100（ 1）由 ab 得 -4x-3y=0（ 2）解（ 1）（ 2）得x=6 y=-8；或 x=-6 y=8a=6,-8或-6

12、,8五 归纳小结1. 向量有代数与几何两种形式,要懂得两者的内在联系, 善于从图形中发觉向量间的关系；2. 对于相等向量,平行向量,共线向量等概念要区分清晰,特殊留意零向量与任何向量共线这一情形；要善于运用待定系数法；课堂练习1、以下命题正确选项（）A如| a |0 ,就 a0B如 | a | b | ,就 ab 或 abC如a | b ,就 | a | b |D如 a0 ,就a02、已知平行四边形 ABCD的三个顶点A2,1、 B1,3 、C 3,4 ,就顶点 D的坐标为 （）A 1,2B 2,2C 2,1D 2, 23、设| a |mm0) ,与 a反向的单位向量是b0 ,就 a 用 b0

13、表示为A. ambB ambC a1 bD a1 b00m0m04、D、E、F 分别为ABC 的边 BC、 CA、AB 上的中点,且 BC正确命题的个数是（）a , CAb,以下命题中 AD1 ab ； BE2a 1 b ； CF 21 a1 b ；22 ADBECF0 ；A 1 个B 2 个C3 个D 4 个5、化简： CEACDEAD =；6、已知向量a3,b1,2 ,且 ab ,就 a 的坐标；7、如 a 21,b 22, aba0 ,就a与b的夹角为；8、已知向量 a3e12e2 ,b4e1e2 , 其中 e11,0, e20,1求（ 1） ab; ab 的值；（ 2） a与 b 的夹

14、角的余弦；9、假如向量 a 与 b ,c 的夹角都是 60 ,而 bc ,且| a | b | c |1,求 a2cbc的值；课堂练习答案 基础学问训练：D , B, B, D, 5, 0 ； 6,（ 65 ,535 ）,（ 565 ,53 5 ）507, 45 , 8, 1 ab=10,ab =52 2102219,-1平面对量测试题一、单项挑选题 （本大题共 12 小题,每道题5 分,共 60 分）221. 已知e1、e2 是两个单位向量,以下 命题中正确选项A . e1e21B. e1e2C.12D. e1/ e2ee2. 以下命题中：如a与 b 互为负向量,就 a b 0；如 k 为实

15、数,且 k a 0,就 a 0或 k 0；如 ab 0,就 a 0 或 b 0；如 a 与 b 为平行的向量,就ab |a|b|；如 |a|1,就 a 1其中假命题的个数为（）A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个3. 在 ABC中,a5, b8, C60 , 就 BCCA的值等于A . 20B. 20C. 203D.203设 |a| 1, |b| 2,且 a、 b 夹角 120,就 |2a b|等于（）A . 2B. 4C. 12D. 2 3已知 ABC 的顶点坐标为A（ 3,4）,B（ 2, 1）,C（4,5）,D 在 BC 上,且 S就 AD 的长为（）ABC3S ABD ,A. 2B

16、. 2 2C. 3 2D. 72 26已知 a（ 2, 1）,b（ 3, ）,如（ 2a b） b,就 的值为（）A 3B 1C 1 或 3D 3 或 1向量 a（ 1, 2）, |b| 4|a|,且 a、b 共线,就 b 可能是（）A （ 4, 8）B （ 4, 8）C（ 4, 8）D （ 8, 4）15AB8. 已知 ABC 中,（）a, ACb, a b0, SABC,a3, b45,就 a 与 b 的夹角为A 30B 150C 150D 30或 1509. 如 ab41203 , a4, b5, 就a bA. 103B.103C. 102D. 1010. 已知向量 a , b满意 a1

17、, b4, 且 a b2 , 就 a 与 b的夹角为A 6B 4C 3D 211. 如平面对量b 与向量 a2,1 平行,且| b |25 ,就 bA 4,2B 4, 2C 6, 3D 4,2 或 4, 212. 以下命题正确选项（）A. 单位向量都相等B. 如 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,就 a与 c是共线向量（）C. | ab | ab |,就 a b0D. 如a0 与 b0是单位向量,就a0 b01二、填空题 （本大题共 4 小题,每道题 4 分,共 16 分）13向量 a（ 2k 3,3k 2）与 b（ 3, k）共线,就 k14.已知a9, k , b2k,8,

18、且a与b为相互平行的向量,就 k的值为.15已知向量 acos,sin ,向量 b3,1 ,就 2ab 的最大值是16如向量 | a | 1,| b |2,| ab |2, 就| ab|；三、解答题 （本大题共 6 小题,共 74 分）17（本小题满分 12 分）设 O 为原点, OA坐标3,1 , OB1,2, OCOB, BC/ OA,试求满意 ODOAOC 的 OD 的18（本小题满分 12 分）设 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角是60,试求向量 a2e1e2 和 b3e12e2 的夹角19. 已知向量 a与b 的夹角为 60 , |b |4, a2b. a3b72 ,求向量 a的

19、模；20. 已知点B2,1 ,且原点 O 分 AB 的比为3 ,又 b1,3 ,求 b 在 AB 上的投影；21. 已知 a1,2 , b3,2 , 当 k 为何值时,（ 1） kab 与 a3b 垂直？（ 2） kab 与 a3 b 平行？平行时它们是同向仍是反向？参考答案一、 1 C2 C3 B4 A5 C6 C7 B8C9A10 C11.D 设 bka2k, k, ,而 | b |2 5 ,就5k 22 5, k, b4,2, 或 4,2解析：cosa b21 ,a b42312.答案 C解析： 单位向量仅仅长度相等而已,方向或许不同；当b0时, a 与 c 可以为任意向量；| ab |

20、 ab | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直；仍要考虑夹角321132； 14.6 ；15 .2ab2cos3,2sin1, 2ab88sin16434.6由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22abab222 a2 b222ab2 a2 b2ab22446三、 17.解: 设 ODx, y , 就 OCODOAx3, y1BCOCOBx4, y1 由OCOB 得 :x32 y10,即x 2y10由 BC/OA, 得3y1x40,即x 3y70由,联立,解得x11,y6, 即 OD坐标为11,6 .18. 解 :a2a2e1 4 e1e2 , b22e23e14e1 12e2e2

21、414117,222b9 e1944 e2212112e1e2117.222a b2e1e216223e17,272e26e1e1e22 e2cosa b21 .a b772故 12019. 解： a2b a3ba2a b6b 2722aa b2cos6006 b272, a2 a240, a4 a20, a420. 解：设A x, y , AOOB3 ,得 AO3OB ,即 x,y32,1, x6, y3得 A 6 ,3, A B4 , 2 ,A B,2 0bc o sb AB5AB1021. 解：kabk 1,2 3,2k3,2k2a3b1,23 3,210, 4（ 1） kaba3b ,得 kab a3b10k342k22k380, k191（ 2） kab / a3b ,得4 k3102 k2, k3此时 kab1041,10,4 ,所以方向相反；333