2022年平面向量知识点总结.docx

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1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除感谢精品文档一、向量的基本概念平面对量学问点小结1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量, 留意向量和数量的区分 . 向量常用有向线段来表示.留意：不能说向量就是有向线段,为什么？提示：向量可以平移.举例 1已知 A 1,2 , B4,2,就把向量uuurrAB 按向量 a 1,3 平移后得到的向量是.结果： 3,0r2. 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量,记作：0 ,规定：零向量的方向是任意的；uuur3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 AB 共线的单位向量是a4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有

2、r 传递性；uuur ABuuur）；| AB |ar 5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量r 、 b 叫做平行向量,记作：r b ,规定： 零向量和任何向量平行.注：相等向量肯定是共线向量,但共线向量不肯定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！ （由于有 0 ；uuur uuura三点 A、B、C 共线AB、AC 共线.a6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.r 的相反向量记作r .| a | | b |b举例 2如以下命题：（ 1）如 rr ,就 arr

3、 .（2） ）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.uuuruuuur（3） ）如 ABDC,就 ABCD 是平行四边形 .uuuruuuur（4） ）如 ABCD 是平行四边形,就 ABDC .（5） ）如 rr , rr ,就 rr .abbcacrrrrrr（6） ）如 a / /b , b / /c 就 a / / c . 其中正确选项.结果：（4）（ 5）二、向量的表示方法uuur1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示,如AB ,留意起点在前,终点在后；rrr2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示,如a , b , c 等；rr3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐

4、标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ,j为基底, 就平面内的任一向量r 可表示为 rrr x, y ,称 x, y 为向量 r 的坐标, r叫做向量aar 的坐标表示 .axiyjaax, y结论：假如向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面对量的基本定理e1 , e2定理设 rr 同一平面内的一组基底向量,r 是该平面内任一向量,就存在唯独实数对a1e12e2a12, ,使rrr .（1）定理核心：rrr ；（2）从左向右看,是对向量r 的分解,且表达式唯独；反之,是对向量r 的合成 .a1 e1（ 3）向量的正交分解：当2e2r r 时,就说arrr

5、 为对向量ar的正交分解e1 ,e2rra1e12 e2arr1 r3 r举例 3（ 1）如 a1,1 , b1, 1 , c 1,2 ,就 c.结果：ab .22（2） ）以下向量组中,能作为平面内全部向量基底的是BA.re10,0r,e21, 2B.re1 1,2r,e25,7rC. e13,5 , r6,10rD. e12, 3 , r1 , 3e2e2uuur uuuruuurruuurr24uuurr r（3） ）已知2 r4 rAD, BE分别是 ABC的边 BC , AC 上的中线 , 且 ADa , BE b , 就 BC可用向量a ,b 表示为.结果：ab .33uuuruu

6、uruuuruuuruuur（4） ）已知 ABC中,点 D 在 BC 边上,且 CD2DB , CDrABsAC,就 rs的值是.结果： 0.a四、实数与向量的积实数与向量r 的积是一个向量,记作r ,它的长度和方向规定如下：a（ 1）模： |rr；a | | | a |（ 2）方向：当0 时,r 的方向与r 的方向相同,当0 时,r 的方向与r 的方向相反,当0 时,aaaarra0 ,a留意：r0 .五、平面对量的数量积rruuurruuurr1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量 a , b ,作 OAa , OBb ,就把AOB0 称a , b 的夹角为向量 rr.a , b 同向；当

7、当0 时, rr时, rr时, rr.a , b 垂直2a , b 反向；当rrrr2. 平面对量的数量积：假如两个非零向量 a , b ,它们的夹角为,我们把数量 | a | b | cos叫做 r 与 r 的数量积（或内积或点积） ,记作： rr ,即 rrrr.aba ba b| a | |b| cos规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数,不再是一个向量.uuuruuuruuuruuur uuur举例 4（ 1） ABC 中, | AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5 ,就 AB BC .结果：9 .r1r1rrrrrrrr（ 2）已知 a1, b

8、20, cakb , dab , c 与 d 的夹角为2,就 k .结果： 1.4rrr rrr| a | | b | | ab |aab（ 3）已知 | a | 2 , | b | 5 , a b3 ,就 | ab |.结果： 23 .（ 4）已知r ra,b是两个非零向量,且rrrr ,就 r 与 rr的夹角为 .结果： 30o .ar3. 向量 b 在向量r 上的投影：r| b | cos,它是一个实数,但不肯定大于0.举例 5已知 r,r,且 rr12 ,就向量r 在向量r 上的投影为.结果： 12 .| a | 3| b | 5a bab54. rrr的几何意义 ：数量积r 等于 r

9、 的模r 与 r 在 r 上的投影的积 .a ba ba| a |barr5. 向量数量积的性质：设两个非零向量 a , b ,其夹角为,就：aba b（ 1） rrrr0 ；a 、 b 同向时,a b| a | | b | a | a |a（ 2）当 rrrrrrraa a,特殊地,2rrr 2rr 2 ；rrrrrra b| a | | b | 是 a 、 b 同向的 充要分条件 ；rrrrrrrrrrrr当 a 、 b 反向时, ab| a | | b |, a b| a | | b | 是 a 、 b 反向的 充要分条件 ；当 为锐角时, rr,且 rrrr是 为锐角的 必要不充分条件

10、 ；a b0a 、 b 不同向, a b0当 为钝角时, rr,且 rrrr0 是 为钝角的 必要不充分条件 .a b0rra 、 b 不反向； a brrrr（ 3）非零向量, 夹角 的运算公式： cosa b；rr.abrra b| a | b |rrrr| a | b |4举例 6（ 1）已知 a1 ,2 , b3 ,2,假如 a 与 b 的夹角为锐角,就的取值范畴是.结果：或0 且3；3（2） ）已知OFQ的面积为 S ,且 uuur uuur,如 1S3 ,就 uuur , uuur 夹角的取值范畴是.结果：,；OFFQ122OFFQ4 3rrrrrr（3） ）已知 acos x,s

11、in x , bcos y,sin y ,且满意 | kab |3 | akb | （其中 k0 ）.2r rr rrrr rk11用 k 表示 a b60o .六、向量的运算；求 a b的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角的大小 .结果： a b k0 ；最小值为,4k21. 几何运算（ 1）向量加法运算法就：平行四边形法就；三角形法就.rABaBCbACaabABBCAC运算形式：如uuurr , uuurr ,就向量uuur叫做r 与 b的和,即 rruuuruuuruuur；作图：略 .注：平行四边形法就只适用于不共线的向量.（ 2）向量的减法运算法就：三角形法就.运算形式：如uuu

12、rruuurrrruuuruuuruuur的终点 .作图：略 .ABa , ACb ,就 abABACCA,即由减向量的终点指向被减向量uuur注：减向量与被减向量的起点相同.uuuruuuruuur举例 7 （ 1）化简： ABBCCD ruuuruuuruuuur； ABADDCuuuruuuruuuruuur； ABCD ACBDuuur.结果： AD ； CB ； 0 ；ABCDuuurruuurruuurr| arrcr |（2） ）如正方形的边长为 1, ABa , BCb , ACc ,就buuuruuuruuuruuuruuur.结果： 2 2 ；（3） ）如 O 是 ABC

13、所在平面内一点,且满意OBOCOBOC2OA,就 ABC 的外形为 .结果：直角三角形；uuuruuuruuurruuur（4） ）如 D 为 ABC 的边 BC 的中点, ABC 所在平面内有一点P ,满意结果： 2；PABPCP0| AP | uuur,设| PD |,就的值为.uuuruuuruuurra x1 , y1b（5） ）如点 O 是 ABC 的外心,且OAOBCO0 ,就 ABC 的内角 C 为.结果： 120o .2. 坐标运算 ：设r, r x , y ,就（ 1）向量的加减法运算： rr xx, yy , rr xx, yy .22ab1212abuuuruuuruuu

14、r1212举例 8（ 1）已知点A2,3 ,B5,4, C7,10 ,如APABACR ,就当 时,点 P 在第一、三象限的角平分线上 .结果： 1 ；2（ 2）已知A 2,3 , B1,4 ,且 1 uuursin x,cos y , x, y, ,就 xy.结果：或；AB2uuruuruur 2 2uuruuruuruur6 2（ 3）已知作用在点A1,1的三个力 F13,4 ,F22, 5 ,F33,1 ,就合力FF1F2F3 的终点坐标是.结果：9,1 .（ 2）实数与向量的积 ： r.ax1, y1 uuurx1 ,y1 （ 3）如A x1 , y1 , Bx2 , y2 ,就 AB

15、 x2x1 , y2y1 ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.uuur举例 9设 A2,3 , B 1,5 ,且1 uuur , uuuruuur ,就 C, D 的坐标分别是.结果：1,11, 7,9 .ACAB3AD3AB3（ 4）平面对量数量积 ： rr.ca bx1x2y1 y2a举例 10已知向量 rr sin x,cos x , bsin x,sin x , r 1,0 .（1） ） 如x,求向量r 、 r 的夹角；（2） ）如xa3 3 , ,函数cf xr r 的最大值为 1,求的值 . 结果：（ 1） 150o ；（ 2） 1 或21 .84a

16、| a（ 5）向量的模 ： r 2a b2| a | a |r 2x2y 2r2x2y2 .a,b举例 11已知 rr 均为单位向量,它们的夹角为60o ,那么rr3b |.结果： 13 .（ 6）两点间的距离 ：如A x , y , Bx, y ,就| AB | xx 2 yy 2 .11222121举例 12如图,在平面斜坐标系xOy 中,xOy60o ,平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：如uuurrr ,其中r r 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单yOPxe1位向量,就 P 点斜坐标为 x, y .ye2e1 ,e2（1） ）如点 P 的斜坐标为 2, 2 ,求 P

17、到 O 的距离 | PO | ；（2） ）求以 O 为圆心, 1 为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程 .60o结果：（ 1） 2；（ 2） x2y2xyOx1 0 .七、向量的运算律rrrrrrrrrr ab cabcabc , aba b ab ；1. 交换律： abba ,a a , a bb a ；abc2. 结合律： rrrrrr , rrrrrrrrrrrr3. 安排律： rrr ,rrrrrrrrrrraaa举例 13给出以下命题：rrrr rr r ； rr rr rr ；r2r 2rrr 2 ； ab abca cbc .a bca ba ca b ca b cab | a

18、|2| a | b | | b |r rrrrrr rr rrrrrr rrr rrrrrrr rr 如 a b0 ,就 a0 或 b0 ；如 a bc b 就 ac ； | a |2a 2 ； a bb； a b 2a 2 b 2 ； ab 2a22a bb 2 .r 2raa其中正确选项.结果： .说明：（ 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区分：对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除 相约 ；（ 2）向量的“乘法”不满意结合律,即rr rrrr ,为什么？八、向量

19、平行 共线 的充要条件a b c a b crrrrrr 2rr2.a / /bab a b| a | b |x1 y2y1 x20举例 14 1如向量 arrb x,1 ,4, x ,当 x时, r 与 r 共线且方向相同 .结果： 2.ab（2） ）已知 rr1,1 ,4, x , rrr , rrr ,且 rr ,就 x.结果： 4.auuurbuuurua2bv2abuuuru / /v（3） ）设PAk,12 , PB4,5, PC10,k ,就 k时, A, B ,C 共线.结果： 2 或 11.九、向量垂直的充要条件rrrrrrrraba b0| ab | | ab |x1 x2

20、y1 y20 .特殊地uuuruuuruuuruuurABACABACuuuruuuruuuruuur.| AB | AC | AB | AC |uuur举例 15 1已知 OA 1,2uuur, OBuuuruuur 3, m ,如 OAOB,就 m.结果： m3 ；2（2） ）以原点 O 和 A 4,2为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,B90,就点 B 的坐标是.结果： 1,3 或（ 3, 1） ；rrrrrr（3） ）已知 na ,b 向量 nm ,且 | n | | m | ,就 m的坐标是.结果： b,a) 或 b, a .十、线段的定比分点1. 定义： 设点 P 是直线P1P2

21、上异于uuuuruuuruuurP1 、P2 的任意一点, 如存在一个实数,使 P1PPP2 ,uuuur就实数叫做点 P 分有向线段点.P1P2 所成的比, P 点叫做有向线段P1 P2 的以定比为的定比分2. 的符号与分点 P 的位置之间的关系uuuur（ 1） P 内分线段P1 P2 ,即点 P 在线段uuuurP1P2 上0 ；（ 2） P 外分线段P1P2 时,点 P 在线段P1P2 的延长线上1,点 P 在线段P1P2 的反向延长线上10 .注： 如点 P 分有向线段uuuurP1P2 所成的比为,就点 P 分有向线段uuuur 所成的比为 1 .P2P1uuur举例 16如点 P

22、 分 AB 所成的比为3uuur7,就 A 分 BP 所成的比为.结果：.433. 线段的定比分点坐标公式： 设 P1 x1 , y1 , P2 x2 , y2 ,点 Px, yx x1x2 ,分有向线段uuuur P1P2所成的比为,就定比分点坐标公式为11 .y y11y2 .x1x2x,特殊地,当1时,就得到线段P1P2 的中点坐标公式yy12y2 .2说明：（ 1）在使用定比分点的坐标公式时,应明确x, y, x1 , y1、 x2 , y 2 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.r, ab （ 2）在详细运算时应依据题设条件,敏捷地确定起点,分点和终点,并依据这些点确定对应的定比

23、.举例 17（ 1）如 M 3, 2, N 6, 1 ,且uuuur1 uuuur ,就点 P 的坐标为.结果：7 6, ；（ 2）已知A a ,0 , B3,2a ,直线1MPMN 3ABMuuuuruuuur,就3r.结果：或4 .aa十一、平移公式yax 与线段2交于,且 AM2MBa假如点Px, y 按向量 rh,k 平移至Px , y ,就xxh, ；曲线yyk.f x, y0 按向量 rh,k平移得曲线 f xh, yk0 .说明：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊！rr举例 18（ 1）按向量 a 把 2, 3 平移到 1,

24、 2 ,就按向量 a 把点 7,2 平移到点.结果： 8,3 ；（ 2）函数 ysin 2x 的图象按向量ra 平移后,所得函数的解析式是ycos2 x1 ,就r .a结果： ,1 .4十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要留意运用；rrrrrr2. 模的性质： | a | b | ab | | a | b | .（ 1）右边等号成立条件：rr 同向或 rr 中有 rrrrr；a、ba、b0| ab | | a | b |（ 2）左边等号成立条件：rr 反向或 rr 中有 rrrrr；（ 3）当 arr不共线a、brra、brrr0| ab | | a |

25、 b |r .、b3. 三角形重心公式| a | b | ab | | a |b |在 ABC中 , 如Ax1 , y1,Bx2 , y2 ,Cx3 , y3 , 就 其 重 心 的 坐 标 为G x1x2x3 , y1y2y3 .33举例 19如 ABC 的三边的中点分别为5. 三角形“三心”的向量表示A2,1 、B 3,4 、 C 1, 1 ,就 ABC 的重心的坐标为.结果：2 , 4.3 3uuur（ 11 uuuruuuruuur为的重心,特殊地uuuruuuruuurr为的重心 .）PGPAPBPCG3ABCPAPBPC0GABCuuur uuuruuuruuuruuur uuur

26、（ 2） PA PBPB PCPC PAP 为 ABC 的垂心 .uuuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuruuur（ 3）| AB | PC| BC | PA| CA | PB0P 为 ABC 的内心； 向量ABAC0uuuuruuuur所在直线过 ABC 的内心 .uuuur| AB | AC |6. 点 P 分有向线段 P1 P2所成的比向量形式uuuuruuuur设点 P 分有向线段uuuurP1P2 所成的比为,如 M 为平面内的任一点,就uuur MPMP11MP2 ,uuuuruuuur特殊地 P 为有向线段uuuurP1 P2 的中点uuur MPMP1MP2 .uuur uuur uuur 2uuuruuuruuur7. 向 量1 PA, PB, PC中 三 终 点A, B,C 共 线存 在 实 数 , 使 得 PAPBPC 且uuuruuuruuur举例 20平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点121 , 就点 C 的轨迹是.结果：直线 AB .A3,1 , B 1,3 ,如点 C 满意 OC1 OA2 OB , 其中 1 , 2R 且