2022年常微分方程学习辅.docx

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1、常 微 分 方 程 学 习 辅 导一初 等 积 分 法微分方程的古典内容主要是求方程的解，用积分的方法求常微分方程的解，叫做初等积分法，而可用积分法求解的方程叫做可积类型；初等积分法始终被认为是常微分方程中特别有用的基本解题方法之一，也是初学者必需接受的最基本训练之一；在本章学习过程中，读者第一要学会精确判定方程的可积类型，然后要娴熟把握针对不同可积类型的 5 种解法，最终在学习指导下的帮忙下，总结一下初等积分法中的各种解法与特点与内在联系，以提高自己的解题才能与技巧；主要内容回忆一、主要概念微分方程 ：含有未知函数的导数或微分的等式；常微分方程 ：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导

2、数构成的等式；偏微分方程 ：未知函数是两个或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式；微分方程的阶 ：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶；微分方程的解 ：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解；通解 ：n 阶方程，其解中含有n 个独立的任意常数，此解称为方程的通解；由隐式表出的通解称为通积分；特解 ：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分；初值问题 ：求微分方程满意初值条件的解的问题；变量可别离方程：学习文档 仅供参考形如方程；dyfdx x g y 或M 1 x N1 ydxM 2 x

3、 N 2 y dy的方程称为变量可别离齐次微分方程： 形如 dydx y 的方程，称为齐次微分方程；x线性微分方程： 未知函数和它的导数都是一次的微分方程；一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是dyp x y dxf x假如 f x0 ,即 dydxpx y0称为 一阶线性齐次方程 ；假如程；f x 不恒为零， 就称 dydxpx yf x 为一阶线性非齐次方dy伯努利 Bernoulli 方程 ：形如dx努利方程；p x yf x yn n0,1 的方程，称为伯全微分方程： 假如微分形式的一阶方程M x, y dxN x,ydy0的左端恰好是一个二元函数U x,y 的全微分，即dU x,

4、 yM x, y dxN x, ydy就称 M x, ydxN x, ydy0 是全微分方程或恰当方程，而函数U x, y称为微分式dU x, yM x,y dxN x, ydy的原函数；积分因子 ：假设存在这样的连续可微函数 x, y0 ，使方程 x, yMx, ydx x, y dy0 成 为 全 微 分 方 程 ， 我 们 就 把 x, y称 为 方 程M x,ydxN x,ydy0 的一个积分因子；二、主要定理定理 假设U x, y 是微分dU x, yM x, ydxN x, ydy的一个原函数，就全微分方程 5的通积分为U x, yC ，其中 C 为任意常数；定理假如方程M x,

5、ydxN x, ydy0 中的M x, y, N x, y在矩形区域R: xx0a,yy0b上连续可微，就方程5是全微分方程的充要条件是：在R 上有MNyx三、基本解法初等积分法中有 5 中基本解法，每中解法所对应的可积类型可归纳如下：对于导数已解出的一阶方程yf x,y) ，有可分别变量方程 dydxf x g yM 1 x N1 ydxM 2 x N 2 ydy0别离变量法齐次方程 dydxg yxdyf dxa1xa2 xb1yb2 yc1 c2线性方程 yp x yf x常数变易法伯努利方程 yp x yf x yn n0,1积分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解；对于导数未解出

6、的一阶方程F x, y, y 0 有类型 I，不含 x或y的方程参数法F（ x, y ） 0, F y, y 0类型 II，可解出 y或x的方程yf x, y, xf y, y 对于高阶方程有降阶法F x, y k , y kF y, y1 , y, y n 00恰当导数方程教学基本要求1. 明白常微分方程、常微分方程的解的概念，把握常微分方程方程类型的判定方法；2. 明白变量别离方程的类型，娴熟把握变量别离方程解法；3. 明白齐次方程的类型，娴熟把握齐次方程即第一类可化为变量可别离的方程的解法；4. 明白一阶线性方程的类型，娴熟把握常数变易法，把握伯努利方程的解法；5. 明白全微分方程的类型

7、及积分因子概念，娴熟把握全微分方程及简洁积分因子的求法；6. 明白一阶隐式微分方程的可积类型，把握隐式方程类型I、II 的参数解法7. 明白可降阶的高阶方程的可积类型，把握高阶方程的三种降阶法；8. 学会对应用问题建立常微分方程的一般步骤；重难点解析1. 初等积分法简史1676 年 Leibniz 在 Newton 的信中，首次提出了“微分方程”这个名称；Leibniz 在 1691 年给出了一阶方程的变量别离法和齐次方程解法，一阶线性方程的解法和Bernlulli方程的解法也是由 Leibniz 分别在 1694 年和 1695 年完成的；17331735 年，Euler 提出了全微分方程

8、恰当方程和积分因子的解法以及通解、特解等概念；1694 年， Leibniz 和 John Bernoulli 提出了等角轨迹问题，而等角轨迹与正交轨线的解法是1715 年由 Newton 完成的；这样，求解一阶方程的主要初等积分法到1715 年都已清晰了；2. 关于通解的定义在微分方程进展的早期，通解是作为一个方程全部解的共同表达式加以懂得的，后来， 在详细应用上遇到很多困难：第一，判定一个解的表达式是否已表示了全部解是困难的；其次，这样的表达式是否肯定存在也是一个问题；1 1 节所给出的通解的定义，其主要功用在于，假如通解表达式存在，由于通解中的任意常数是独立的，这样对于肯定范畴内给出的初

9、值条件，可以确定出初值问题解；从这个意义上讲，通解包含了一个方程的全部解；3. 通解是否肯定包含了全部解不是；例如，节中的方程dydx1y 21x有通解 ysinarcsin xc ，另外该方程仍有常数解 y1 不包含在通解中；4. 是否任何一个方程都有通解yy22不是；例如，方程0 ，只有解 y0 ，而无含任意独立常数的通解；5. 常微分方程与其它方程的关系我们学过的方程主要有两类方程；第一类是代数方程和超越方程；例如，在方程x32 x1022xx1xx13x12x1x中，对未知数 x所施加的是代数运算，因此，它们都是代数方程 ；在方程sin xcos x1exx 22x1中，显现了对未知量

10、x 的超越方程 ；其次类是 隐函数方程， 例如x2y 21 设 x 是自变量，就 yy x 是未知函数，两类方程都是要求解，然而，第一类方程的解是求未知量的某些个特定值，其次类方程是要求由方程所确定的某个函数；一般地，其次类方程统称为函数方程 ；从这个问题上讲， 常微分方程是最要的函数方程的一种；标 6一阶显式方程初等积分法的内在关系用积分因子的观点可以把节节所介绍的五种可积类型方程变量可别离方程，齐次方程， 线性方程，伯努利方程几及全微分方程如下图：a1 xb1 yi1或2变量可别离方程uyxdydxf x y yc xepdxdydx齐次方程M 1 x, yN1x, y线性方程g y x1

11、 y dydxpx yq x全微分方程1M x, y dxxM 1yN1N x, y dyNx0pdxMye坐0平移0yn1 e n 1pdxa1a2b1b2伯努利方程zy1 ncdydx2a1x b1y c1a2x b2y c22dydxp x yy q xn1c20n0,1一阶显式方程可积类型关系图7. 积分因子是否唯独不是；例如，考虑方程ydxxdy0 ，明显它不是全微分方程；但是，由于d y xydxx2xdyxd yydxy 2xdyd ln x yydxxyxdyd arctan x yydx x2xdy y 2dlnxy xyydx x2xdy y 2所以，1 , 1x 2y 2

12、, x211y 2 , x2y 2都是此方程的积分因子；一般地，设x, y 是方程M x, ydxN x, ydy0 的一个积分因子，于是存在二元函数 uu x, y ，有 duMdxNdy ；现对于 u 的任一连续函数f u，由于f u MdxNdy f u MdxNdy f ududF u其中 F u 是f u 的一个原函数， 可见f u也是方程M x,ydxN x, y dy0 的积分因子，因而方程M x, y dxN x, ydy0 有无穷多个积分因子；8. 判定题型的次序为了娴熟把握初等积分法，不仅要把握每种可积类型方程的解法，而且仍要正确而又灵敏地判定一个给定方程属于何种可积类型；在判定题型时，体会告知我们，可以按如下次序判定，即：阶显次 即线性方程伯努利方程显式方程齐次方程一阶方程非线性方程变量可别离方程阶隐式方程全微分方程高阶方程积分因子判定次序，由左向右，通常积分因子在最终加以考虑；