2022年常见递推数列通项九种求解方法.docx

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1、常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新奇别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一；是一类考查思维才能的好题；要求考生进行严格的规律推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法；类型一：an 1an解决方法f n （ fn 可以求和）累加法例 1、在数列an中，已知a1 =1，当 n2 时，有 anan 12n1n2 ，求数列的通项公式；解读：anana2a1a3a212n131n2a4a35anan 12n上述 n11 个等式相加可得： aan21an2n1n评注：一般情形下，累加法里只有n-1 个等式相加；【类型一专项练习题】1、已知a1

2、1， anan 1n（ n2 ），求an ；2、已知数列an ， a1 =2， an1= an +3 n +2，求an ；3、已知数列 a n 满意 an 1an2n1，a11 ，求数列 an 的通项公式；4、已知 an 中， a13, an 1a2n ，求an ；5、已知 a1 , aann1nN* , 求数列a通项公式 .12n 1n2n6、已知数列a满意 a1, a3n 1an2 , 求通项公式 a ？n1nn 1n7、如数列的递推公式为a3,aa2 3n1nN* ，就求这个数列的通项公式1n 1n8、 已知数列 an 满意an 1an2 3n1， a13 ，求数列 a n 的通项公式；

3、9、已知数列an 满意 a11 ， aa 21，求n 2nan ；n1n10、数列an 中，a12 ， an 1ancn（ c是常数， n1，2，3， ），且a1，a2，a3 成公比不为 1 的等比数列（ I ）求 c 的值；（ II ）求an 的通项公式11、设平面内有 n 条直线 n 3 ，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点如用f n 表示这 n条直线交点的个数，就f 4；当 n4 时，f n（用 n 表示）答案:1.ann n21） 2.an 3n213. ann21 4.an 1nn2n1 5.a3122n3n131n6. an7.an2123n 18. an3nn1

4、 9. an10.12 22nan2n211.15 2n2n22类型二：an 1f n an解决方法（ f n 可以求积）累积法例 1、在数列an 中，已知a11,有nan 1n1 an， n2 求数列an的通项公式；解读： ananan 1an 1an 2an 2an 3a3a2a1a2a1nn1n232 12n1nn143n1又a1 也满意上式；2nN* ann1评注：一般情形下，累积法里的第一步都是一样的；【类型二专项练习题】1、 已知 a11， ann1an 1 nn12 ，求an ；2、已知数列an 满意 a12 ， an13na ，求nn1an ；3、已知 an 中， an 1na

5、 ，且 an1n22 ，求数列 an 的通项公式 .4、已知 a13 ， an 13n1an nnn1n3n21 ，求an ；n15、已知 a1, anaa nN* , 求数列a通项公式 .6、已知数列an 满意 a11, an 12n a ，求通项公式an ？7、已知数列 a n 满意 an 12 n1) 5na n， a13 ，求数列 a n 的通项公式；8、已知数列 an ，满意 a1=1， ana12a23a3n1an 1 n 2 ，就 an 的通项n9、设 an 是首项为 1 的正项数列 ,且 n + 1 a 21 -na2+an+1 an = 0 n = 1, 2, 3, ，求它的

6、通项公式.n10、数列 a n 的前 n 项和为S ，且 a1 ， S n 2 a nN *，求数列 an 的通项公式 .nn1nn2246n 2 n答案： 1. ann 2n2. an3. an3n4. annn13n15. ann 6. an2 27. an3n. 2n 1n2 n5 21n8. ann. n219. an2110. ann2n 2n类型三：an 1Aan解决方法B其中A,B为常数A0,1 ）待定常数法可将其转化为atAat，其中 tB，就数列at为公比等于 A 的等比数列，然后求a即可；n 1nnnA1例 1 在数列an 中，a11，当 n2 时，有 an3an 12 ，

7、求数列an 的通项公式；解读：设 ant3 an 1t，就 an3an 12tt1 ，于是 an13 an 11an1是以 a112为首项，以 3 为公比的等比数列；na2 3n 11【类型三专项练习题】1、在数列an 中，a11， an12an3 ，求数列an 的通项公式；2、如数列的递推公式为a11, an 12an2nN* ，就求这个数列的通项公式3、已知数列 a n 中， a1=1， a n =1a2n 1+ 1 n2) 求通项 a n 4、在数列 a 不是常数数列 中, a1 a2 且 a1 , 求数列 a 的通项公式 .nn 12n13n5、在数列 an 中， a11, an 13

8、 an1, 求 an .6、已知数列an 满意 a11, an 12an1nN* . 求数列an 的通项公式 .n7、设二次方程a x 2 -an1. x+1=0n N有两根 和，且满意 6 -2 +6 =31 试用an 表示 a n 1 ；（ 2）求证：数列2是等比数列；an3（ 3）当 a17时，求数列6an 的通项公式8、在数列a中，S 为其前 n 项和，如 a3 ， a2 ，并且 S3S2 S10 n 2 ，试判定nn122n 1nn 1an1 nN 是不是等比数列？答案： 1. an3n2 2.a22n13. an221 n4. an411 21 n35. an13n 126. an

9、2n17.1 an 111an3 an23nn218.是32类型四：Aan 1BanCan10；其中A,B,C为常数，且 A B C0可将其转化为A an 1ananan 1n2（ * ）的形式，列出方程组AB,解出C,; 仍原到（ * ）式，就数列an 1an 是以 a2a1 为首项，为公比的等比数列，然后再结合其它方A法，就可以求出an ；例 1 在数列an 中，a12 ，a24 ，且 an 13an2an 1 n2 求数列an 的通项公式；解读：令an 1ananan 1, n2得方程组3解得1,2;2an 1an2 anan 1n2就数列an 1an 是以 a2a1为首项，以 2 为公

10、比的等比数列aa22n 12nn 1na2a122a3a22aa23212n 1 aa2n2a2nnN*43n1n12aa2n 1nn 1评注：在Aan 1BanCan10；其中A,B,C 为常数，且 A B C0 中，如A+B+C=0,就肯定可以构造an 1an 为等比数列；例 2 已知a12 、 a23 ,an 16an 1an n2 , 求 an解读：令an 1ananan 1n2 ，整理得an 1anan 113,26n 1n21a3aa3a2n 19 2n1；两边同除以2 n 1 得，an 12 n 13 an9n，2 24n令 anb ，b39b令 bt335bt，得 bbtnn

11、1nn 1n2242n 1n225 t9 , t9939bn 1bn，241010210故b9是以 b9a1913为首项，为公比的等比数列；n10110210102nb91310102n 1， bnn 191310102即an913n210102n 1，得 an92 n13 n 1105【类型四专项练习题】1、已知数列an 中， a11 , a22 , an 22an 131 a ，求n3an ；2、已知 a =1， a = 5 ，a= 5a- 2a , 求数列a 的通项公式 a .123n 23n 13nnn3、已知数列an 中，Sn 是其前 n项和，并且Sn 14an2n1,2, a11

12、，设数列 bnan 12an n1,2, ，求证：数列bn 是等比数列；设数列 cnan , n 2 n1,2, ，求证：数列cn 是等差数列；n 1n 2n求数列an 的通项公式及前 n 项和； an23n1 2; sn （3n1 224、数列an： 3an 25an 12an0n1, nN ， a1a, a2b ，求数列an的通项公式；答案： 1. a13 1n 112.a332n3.3 a2n 13n1) 2n2; s（3n1 2n2nn43n3n4. an3b2an 13ab23类型五：an 1panf n（ p0 且 p1 ）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列；例

13、 1 设在数列a中， a1， a1 a2n1 n2求数列 a的通项公式；解读： 设 bnn1anAnbnn 1n21anAnBan 12AA n1B20绽开后比较得2A4ABB61022这时 b1 bn2 且ba4n6nn 1nn2b是以 3 为首项，以 1 为公比的等比数列n2bn3n 1n 11即 3122an4n6 ，ann 1314n62例 2在数列a中， a2 ， a2a2n 1n2 求数列a的通项公式；n1nn 1n解读：a2a2n 1 n2nn 1n1n 得 ana2a2，两边同除以2an 12an是以 a1 =1 为首项， 2 为公差的等差数列；nn 12n2n 12n2an1

14、2 nn122n1即 an2n 2n1例3在数列a中， a5 ， a2a2n1 n*2,nN求数列 a的nn1nn1n通项公式；解读 ：在 an2an 12n1 中，先取掉 2 ，得 a2an 11nn令 an2 an 1，得1 ，即 an12an 11；n然后再加上 2n 得 a12 an 112n； a12 an 112n两边同除以 2n ，得 an1an 111;an1是以 a112 为首项， 1 为公差的等差数列；an1n222nn1n2n 11，a2n2 n2n11n评注：如f n 中含有常数，就先待定常数；然后加上n 的其它式子，再构造或待定；例 4 已知数列 a n 满意 a n

15、 13a n5 2 n4， a11 ，求数列 a n 的通项公式；解读：在an 13an5 2n4 中取掉 5 2 n 待定令 at3 at ，就 a3a2t2t4 ， t2 ；a23 a2 , 再加上 5 2n 得，n 1nn 1nn 1nan 123 an2 5 2n ，整理得：an 122 n 13 an25n，222令 an235b ，就 bb2n令 btnn 1n223 bt , b3 bt ；t5 ,t5;n 1n2n 1n2222即 b53 b5 ；数列 b5 是以 b5a125133为首项，为公比的等比数列；n 1n2n1222bn513322n 1，即 an252n13322

16、n 1；整理得 an13 3n 15 2n2类型 5 专项练习题：1、设数列a的前 n 项和 S4 a1 2 n 12 n1,nN *，求数列a的通项公式；nn3n33n2、已知数列a中， a1 , 点n,2 aa在直线 yx 上，其中 n1,2,3.n1n 1n2（ 1） 令 bnan 1an1, 求证：数列bn 是等比数列；（ 2） 求数列an 的通项 ；3、已知 a12 ， an 14ann 12a，求 n ；4、设数列an ： a14, an3an 12n1, n2) ，求an .5、已知数列 an 满意 a12,an 12an2n1 ，求通项 an6、在数列 an 中， a13， 2

17、an2an 16n3 ，求通项公式 an ；7、已知数列an 中， a15, an 161an31 n2，求 an ；n18、已知数列 a n ， a1 =1, n N ， a n 1 = 2 a n 3, 求通项公式 a n 9、已知数列 a n 满意 an 13a n2 3n1， a13 ，求数列 an 的通项公式；10、如数列的递推公式为a11, an 13an2 3n1nN ，就求这个数列的通项公式111、已知数列an 满意 a11, an 13an2, 求 an .1n12、已知数列 an 满意 a n 12an3 2n ， a2 ，求数列 an 的通项公式；13、已知数列 an 满

18、意an 12a n3 5n ， a6 ，求数列 an 的通项公式；14、已知 a11， anan 11n 12a，求 n ；15、已知 a 中， a1， a2a2nn 2 ，求 a .n1nn 1n16、已知数列an 中，Sn 是其前 n 项和，并且Sn 14an2n1,2, a11，设数列 bnan 12an n1,2, ，求证：数列bn 是等比数列；设数列 cnan , n 2 n1,2, ，求证：数列cn 是等差数列；求数列an 的通项公式及前 n 项和；答案： 1. an4n2n2.2an3n2 3.a2nn4n2n4. an4 3n 1n1n 19n2nn5n15. an5 22n1

19、 6. ann7. ann122 8. annn113329. an2 n 3nn16210. an3n 732n11. an5 3212. an3n1 213. an52n2n11n 1n 2n14. an15. an23n16.3 an223n1 2; sn（3n1 22类型六：an 1c an pand（ c p d0 ）解决方法倒数法例 1 已知 a14 ， an 12 an，求bn2an1an ；解读：两边取倒数得：1111，设bn , 就 bn 111 ；an 12 anan2令 bt1bt ；绽开后得， t2 ；bn121 ；n 1n2bn22bn21是以 b12271为首项，为

20、公比的等比数列；a142n 1n 1711712 n 1bn242；即2an42，得 an；2n 27评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列；【类型六专项练习题】：1、如数列的递推公式为11a13,2n ，就求这个数列的通项公式；an 1an2、已知数列 an 满意 a11, n2 时， an 1an2an1an ，求通项公式an ；3、已知数列 an满意： anan 13 an 1, a111 ，求数列 an的通项公式；4、设数列 an 满意 a12, an 1an, 求an3an.5、已知数列 an 满意 a1=1， an 13an3an，求 an66、在数列 an 中， a12,

21、an 13anan3，求数列 an 的通项公式 .7、如数列 a n中， a1=1， a n=2an1an2n N ，求通项 a n 答案： 1. an376 n2. an12n13. an13n24. an22 3n 15. an112n16. an62 n127. ann1类型七：Snf an 解决方法s1n1ansnsn 1n2例1 已知数列an 前 n 项和 Sn4an12 n 2 .1 求 an1 与 an 的关系；（ 2）求通项公式an .解读： 1 1 n1时， a1s14a12 ，得a11；2 n2 时，1ass4a4a111n；得 aa；nnn 1n2n 2n 12n 3n

22、1n22（ 2）在上式中两边同乘以2 n 1 得 2n 12na2 ；annn 1数列 2n a是以 21a2 为首项， 2 为公差的等差数列；1n2n a22n22n ；得 ann2n 1 ；【类型七专项练习题】：1、数列 an 的前 N项和为 Sn， a1=1， an+1=2Sn nN* . 求数列 an 的通项an；2、已知在正整数数列 a 中，前 n 项和 S 满意 S1 a22 ，求数列 a 的通项公式 .nnnnn8n3、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn = 3 2,求数列 an 的通项公式 .4、设正整数 an 的前 n 项和 Sn =1an41 2，求数列 an 的通项公式 .an5、假如数列 an 的前 n 项的和 Sn = 33 ,那么这个数列的通项公式.6、已知无穷数列2a n的前 n 项和为Sn ，并且anSn1nN* ，求a n的通项公式？n 11n1n 1n答案： 1. an32. an4n23. ann 14. an35.an = 2 3 6.an22 3n2递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观看分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固把握它；