2022年直线与圆圆与圆位置关系知识点总结经典例题解析近高考题及答案 2.docx

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1、名师举荐细心整理学习必备【考纲说明】直线与圆、圆与圆位置关系1、能依据给定直线、圆的方程判定直线与圆的位置关系,能依据给定两个圆的方程判定两圆的位置关系；2、能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题；【学问梳理】一、直线与圆的位置关系1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离,判定直线与圆的位置关系常见的有两种方法（ 1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组,消去x或 y整理成一元二次方程后,运算判别式b 24 ac0直线 l 与圆 C 相交直线 l 与圆 C 有两交点0直线 l 与圆 C 相切直线 l 与圆 C 有一交点0直线 l 与圆 C 相离直线 l 与圆 C 无交点（ 2）几何法

2、：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径 r 的大小关系：dr直线 l 与圆 C 相交直线 l 与圆 C 有两交点dr直线 l 与圆 C 相切直线 l 与圆 C 有一交点dr直线 l 与圆 C 相离直线 l 与圆 C 无交点2、圆的切线方程如 圆 的 方 程 为 x22y2r , 点 P x , y 在 圆 上 , 就 过 P 点 且 与 圆 x2y2r 2相 切 的 切 线 方 程 为00oox xy yr 2 .经过圆 xa 2 yb2r 2 上一点 P x , y 的切线方程为 xxoa) 2 yyob) 2r 2 .00223、直线与圆相交l 2直线与圆相交时,如l 为弦长, d 为弦心距

3、, r 为半径,就有 r 2d 2弦长求其他量的值时,一般用此公式；二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含；2、判定圆与圆的位置关系常用方法,即 l42r 2d 2 ,求弦长或已知（ 1）几何法：设两圆圆心分别为O1 ,O2 ,半径为r1, r2r1r2 ,就O1O 2r1r2圆 O1 与圆O2 相离有 4 条公切线O1O 2r1r2圆 O1 与圆O2 外切有 3 条公切线| r1r2 |O1O 2r1r2圆 O1 与圆 O2 相交有 2 条公切线O1O 2| r1r2 |圆 O1 与圆O2 内切有 1 条公切线O1O 2| r1r2 |圆 O1 与圆

4、O2 内含有 0 条公切线 .（ 2）代数法：x2方程组x2yD1xE1 yF1022yD2 xE2 yF20有两组不同的实数解 两圆相交； 有两组相同的实数解 两圆相切； 无实数解 两圆外离或内含；【经典例题】【例 1】（ 2022 广东文） 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x4y50 与圆 x2y24 相交于A, B 两点 ,就弦 AB的长等于（）A 3 3B 23C 3D 1【答案】 B【解析】 圆心到直线的距离为d532421 , 所以弦 AB 的长等于 2r 2d22 3 .【例 2】（ 2022 重庆理） 对任意的实数k, 直线ykx1 与圆x2y22 的位置关系肯定是 （）

5、A相离B相切C相交但直线不过圆心D相交且直线过圆心【答案】 C【解析】 圆心C 0,0到直线kxy1 0 的距离为 d112r , 且圆心C 0,0不在该直线上 .1k 21法二 : 直线kxy10 恒过定点 0,1 , 而该点在圆 C 内, 且圆心不在该直线上 , 应选 C.【例 3】（ 2022 福建） 直线 x3y20 与圆 x2y24相交于A, B 两点,就弦 AB 的长度等于 A 25B 23C 3D 1【答案】 B【解析】 求弦长有两种方法,一、代数法：联立方程组x3 yx2y 22 0,解得 A、B 两点的坐标为4 2,0、 1,3 ,所以弦长| AB |21203 223 ；二

6、、几何法：依据直线和圆的方程易知,圆心到直线的距离为222131,又知圆的半径为2,所以弦长| AB|2 22122 3 .【例 4】（ 2022 安徽） 如直线 xy10 与圆 xa 2y 22 有公共点,就实数 a 取值范畴是 A 3,1 B 1,3C 3,1D ,31,【答案】 C【解析】 圆 xa 2y22 的圆心Ca,0到直线 xy10 的距离为 d ,就 d ra1222a1 2223 a 1 .【例 5】（ 2022 山东） 圆 x22y24 与圆 x2 y19 的位置关系为 A内切B 相交C外切D 相离【答案】 B【解析】 两圆的圆心分别为2,0 , 2,1 ,半径分别为 r2

7、 , R3 两圆的圆心距离为22 201 217 ,就 Rr17Rr ,所以两圆相交,选B.【例 6】（ 2022 江西） 过直线 xy220 上点 P 作圆 x2y1的2两条切线,如两条切线的夹角是60,就点 P 的坐标是 【答案】 2,2 【解析】 如图：由题意可知APB60 0 ,由切线性质可知OPB300 ,在直角三角形 OBP 中, |OP |2 | OB |2 设点Px,22x ,就| OP |x222x22 ,即 x222x 24 ,整理得 x22 2x20 ,即 x2 20 ,所以 x2 ,即点 P 的坐标为 2 ,2 法二：如图：由题意可知APB60 0 , 由切线性质可知O

8、PB300 , 在直角三角形 OBP 中,| OP |2 | OB |2,圆心到直线的距离为d222 ,所以 OP 垂直于直线 x2y2 20 , 由x y22y x0 ,解得x y2,即点 P 的坐标为 2 ,22 ；【例 7】（ 2022 四川） 如O : x2y25 与O : xm2y220mR 相交于 A 、B 两点,且两圆在点A12处的切线相互垂直,就线段AB 的长度是.【答案】 4【解析】 由题知O10,0, O2m,0,且5m3 5 ,又 O1AAO2 ,所以有222520m52525m5,AB24 .5【例 8】（ 2022 福建） 已知直线 l ： yxm, mR .（ I）

9、如以点 M （ 2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程；（ II ）如直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ,问直线 l 与抛物线 C：x24 y 是否相切？说明理由；【答案】 x22y28 ；当 m=1 时,直线 l 与抛物线 C 相切,当 m1时,直线 l 与抛物线 C 不相切 .【解析】（ I ）由题意知 P 0,m , 以点 M 2,0 ）为圆心的圆与直线l 相切与点 P ,PM k= m0 =1 , 解得 m =2,圆 M 的半径 r20 2022= 22 ,02所求圆 M 的方程为 x22y28 ；（II ）直线 l 关于 x 轴对称的直线

10、为l , l ： yxm , m R , l ： yxm ,代入x24 y 得 x24x4 m0 ,= 4244m =1616 m ,当 m1 时,0,直线 l 与抛物线 C 相交； 当 m=1 时,=0,直线 l 与抛物线 C 相切； 当 m1 时,0,直线 l 与抛物线 C 相离.综上所述,当 m=1 时,直线 l 与抛物线 C相切,当 m1时,直线 l 与抛物线 C不相切 .1【例 9】已知圆C : x2y22mx4ym250 ,圆 C2: x2y22x2mym230 , m 为何值时,（ 1）圆 C1 与圆C2 相外切；（ 2）圆C1 与圆C2 内含 .【答案】 当m5或m2 圆 C1

11、 与圆C2 外切；当2m1时,圆C1 与圆C2 内含 .【解析】 对于圆C1 与圆C2 的方程,配方得：C : xm2 y229 ； .1（1） 假如圆C1 与圆C2 外切,就有m12 m2 232,m12m2225, 即m23m100,解得m5或m2 .（2） 假如圆C1 与圆C2 内含,就有m12 m2 232,222m1 m21, m3m20,解得2m1,当m5或m2 时,圆C1 与圆C2 外切；当 2m1 时,圆C1 与圆C2 内含 .【例 10】（ 2022 广东） 设圆 C 与两圆 x5 2y24 , x52y24 中的一个内切,另一个外切（ 1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程；（

12、 2）已知点 M 3 55, 455, F5 , 0,且 P 为 L 上动点求 |MP | |FP|的最大值及此时点P 的坐标【答案】x22y41； 65 , 25 55【解析】（ 1）两圆的圆心分别为A 5 , 0 , B5 , 0 ,半径为 2,设圆 C的半径为 r . 由题意得 | CA| r 2,| CB| r 2 或| CA| r 2, | CB| r 2,2两式相减得 | CA| | CB| 4 或| CA| | CB| 4,即 | CA| | CB| 4. 就 C的轨迹为双曲线,其中2a 4, c5 , b 1x2圆 C的圆心轨迹 L 的方程为4y21 .（ 2）由（ 1）知 F

13、 为双曲线 L 的一个焦点,如图,连 MF并延长交双曲线于一点P,此时 | PM| | PF| | MF| 为| PM| | FP| 的最大值又 MF（ 3 555）245 2（）=2225MF的方程为 y2x5 即 y252x代入 x 4y 4 并整理得15x232 5x840 ,解得 x 14 515或 x 18 515 65 ,5明显 x 655为点 P的横坐标,点 P的纵坐标为 y p1252525.55即| MP| | FP| 的最大值为 2,此时点 P 的坐标为 655, 25 5【课堂练习】1、（ 2022辽宁） 将圆 x2y22 x4y10 平分的直线是（）A xy10B xy

14、30C xy10D xy302（ 2022 重庆） 设A, B 为直线 yx 与圆 x2y21的两个交点,就 |AB | （）A 1B 2C 3D 23（ 2022 陕西） 已知圆C : x2y24x0 , l 是过点P 3,0的直线,就（）A l 与 C 相交B l 与 C 相切C l 与 C 相离D以上三个选项均有可能4（ 2022 湖北） 过点P 1,1 的直线 l ,将圆形区域 x, y | x2y2 4 分成两部分, 使这两部分的面积之差最大,就该直线 l 的方程为 A xy20B y10C xy0D x3 y405（2022 天津理） 设 m, nR ,如直线 m值范畴是 1 xn

15、1 y20 与圆 x1 2 y1 21相切,就 mn的取A 13,13B ,1313,C 222,222D ,222 222,6.（ 2022 辽宁理） 已知圆 C 与直线 x y=0 及 x y 4=0 都相切,圆心在直线x+y=0 上,就圆 C 的方程为 A. x12 y122B. x12 y122C. x12 y122D. x12 y1227.（ 2022 重庆理） 直线 yx1 与圆 x2y21的位置关系为（）A 相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离8.（ 2006 陕西理） 过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x2y 24 y0 所截得的弦长为（）A.3B.2C.6D.239（

16、 2022 江西） 如图,一个直径为1 的小圆沿着直径为2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M, N 在大圆内所绘出的图形大致是（）10.（ 2022 江苏） 在平面直角坐标系 xOy 中,圆C 的方程为 x2y 28x150 ,如直线ykx2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆C 有公共点,就 k 的最大值是11（ 2022 浙江）定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线C 到直线 l 的距离 已知曲线 C1：yx2a到直线l : yx 的距离等于曲线 C2： x 2 y4 2 2到

17、直线l : yx 的距离,就实数 a 12（ 2022 天津文） 设 m, nR , 如直线l : mxny10 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于 B,且 l 与圆 x2y24相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,就 AOB面积的最小值为13.（ 2022 宁夏） 过点 A4,1 的圆 C 与直线 xy10 相切于点 B2,1 就圆 C 的方程为14.（ 2022 江苏） 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2y24 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的距离为 1,就实数 c 的取值范畴是15.（ 2022 广东理） 经过圆 x22 xy20 的圆心 C ,且与直线 xy0

18、 垂直的直线是16.（ 2022 江苏） A x, y | m2 x2 2y2m2, x, yR ,B x, y | 2mx y2m1, x, yR ,如 AB, 就实数 m 的取值范畴是17.（ 2006 广东） 以点（ 2,1 ）为圆心且与直线xy6 相切的圆的方程是18（ 2022 全国大纲） 已知抛物线C : y x12 与圆 M: x12 y1 22r 2r0 有一个公共点 A ,且在点A 处两曲线的切线为同始终线l .（）求 r ；（）设m, n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m,n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离19.（ 2022 湖南理） 在直角坐标系

19、xOy 中, 曲线C1 上的点均在圆C2 ： x52y29外, 且对C1 上任意一点 M ,M 到直线 x2 的距离等于该点与圆C2 上点的距离的最小值 .（1） 求曲线C1 的方程；（2） 设P x0, y0 y03 为圆C2 外一点,过 P 作圆C2 的两条切线,分别与曲线C1 相交于点A, B 和 C, D .证明：当 P 在直线 x4 上运动时,四点A, B,C, D 的纵坐标之积为定值 .20.（ 2022 江苏） 在平面直角坐标系xoy 中,已知圆C1 : x32 y124 和圆C2 : x42 y 524 .（ 1）如直线 l 过点A4,0,且被圆C1 截得的弦长为2 3 ,求直

20、线 l 的方程；（ 2）设 P 为平面上的点,满意：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线l1 和 l 2,它们分别与圆C1 和圆C2 相交,且直线l1 被圆 C1截得的弦长与直线l2 被圆C2 截得的弦长相等,试求全部满意条件的点P 的坐标；【课后作业】1.（ 2022 安徽文） 如直线 3x + y +a = 0过圆x2y22x4 y0 的圆心 ,就a的值为（）A - 1B 1C 3D - 32（.2022 广东）如圆心在 x 轴上、半径为5 的圆 O 位于 y 轴左侧, 且与直线 x+2y=0 相切,就圆 O 的方程是（）A x5 2y25B x52y25 C x52y 25D x52y2

21、53.（ 2022 重庆） 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点（ 1, 2）的圆的方程为（）2A x2 y2 21B x2 y2 21C x12 y3 21D x y3214.（ 2022 上海） 过圆C： x12 y121 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B, AOB 被圆分成四部分（如图） ,如这四部分图形面积满意SS￥SS| ,就直线 AB 有（）A 0 条B 1 条C2 条D 3 条5. 直线 yxb 平分圆 x 2+y2 -8x+2y-2=0 的周长,就 b（）A 3B5C 3D 56. 由直线 yx1 上的点向圆x-322+y+2=1引切线,就切线长的最小值为（）A

22、.17B. 32C.19D. 2 517（ 2022 江西 如曲线C ： x2y22x0与曲线C2 ： y ymxm0 有四个不同的交点,就实数m的取值范围是 A 33,B 3333, 0 0,3333c,3D ,3 , +333328.（ 2022 宁夏） 圆 C1 ： x1 + y1 =1,圆C2 与圆C1 关于直线 xy10 对称,就圆C2 的方程为（）A. x2 2 + y2 2 =1B. x22+ y22 =1C. x22 + y22=1D. x22 + y22 =19.（ 2022 全国） 如直线 m 被两平行线l1 : xy10与l 2 : xy3 0所截得的线段的长为2 2 ,

23、就m 的倾斜角可以是 15 30 45 60 75其中正确答案的序号是（写出全部正确答案的序号）10.（ 2022湖北文） 过点（ -1, -2）的直线 l 被圆 x2y22x2y10 截得的弦长为2 ,就直线 l 的斜率为11.（ 2022 天津） 已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切；就圆 C 的方程为12.（ 2022 山东） 已知圆 C 过点（ 1,0）,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l ： yx就过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为1 被圆 C 所截得的弦长为22 ,13.（ 2022 湖南） 如不同两点 P,Q 的

24、坐标分别为 （ a,b）,（ 3-b,3-a）,就线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为,圆 x22 y321关于直线 l 对称的圆的方程为14. 光线从点 P（ 3,5）射到直线l :3 x4 y40 上,经过反射,其反射光线过点Q（ 3,5）,就光线从 P 到 Q所走过的路程为x 1cos15. 圆为参数）的标准方程是,过这个圆外一点P2,3 的该圆的切线方程y 1sin22是16. 设直线 axy30 与圆 x1 y24 相交于 A、B 两点,且弦长为23 ,就 a=17.（天津文） 如圆x2y 24与圆 x2y22ay60a0 的公共弦长为23 ,就 a=18.（ 2006 江西理）

25、设直线系M : x cos y2) sin102 ,对于以下四个命题： M 中全部直线均经过一个定点；存在定点P 不在 M 中的任一条直线上；对于任意整数n n3) ,存在正 n边形 ,其全部边均在 M 中的直线上； M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出全部真命题的代号） 19（ 2022 全国） 在平面直角坐标系xOy 中,曲线y x26x1与坐标轴的交点都在圆C 上（ I）求圆 C 的方程；（ II ）如圆 C 与直线xya0 交于A, B 两点,且OAOB, 求 a 的值220、（ 2022 宁夏海南） 已知圆程.C1 : x12 y121 ,圆 C2与圆C1

26、关于直线 xy10 对称,求圆C2 的方【参考答案】【课堂练习】1-9、CDAADBBDA10、 43、119412、313、 x14、1332y22c1315、 xy10116、2m21222517、 x2 y1218、5 ； 6525219、y20x ；（ 2）当点 P 在直线 x4 上运动时, P 的坐标为 4, y0 ,又y03 ,就过 P 且与圆C2 相切得直线的斜率k 存在且不为0 ,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为yy0k x4, 即kxyy04k0 .于是5ky04k k13.整理得72k218 y ky20090. 2设过 P 所作的两条切线PA, PC 的斜率分别为

27、k , k ,就 k,k 是方程的两个实根,故kk18 y0y0 . k1xyy04k10,2121212724由y220 x,得 k1y20 y20 y04k1 0.设四点A, B, C, D 的纵坐标分别为y , y, y , y ,就y , y 是方程的两个实根,所以yy20 y04k1 . 12341212k1同理可得y3y420 y0k24k2 . 于是由,三式得400 y4 k y4k 400y24 kk y16k k400 y 2y 216k k y1 y2 y3y40102k1k201201 2k1k2001 2k1k26400所以,当 P 在直线 x4 上运动时,四点A, B,C, D 的纵坐标之积为定值6400.20、 y0 或 7 x24 y280 ； 3 ,13 或 5 ,1 【课后作业】1-8、BDABDABB9、或17222210、1 或7211、（x+1 ）y 2212、 x+y-3=013、-1 ； x 2+y-1 2 =114、815、x1 2 y1 2 1； x 2 或 3x 4y 6016、017、118、19、 x3 2 y1 29. ； a1.2220、 x2 y21