2022年常见不等式恒成立问题的几种求解策略.docx

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1、常见不等式恒成立问题的几种求解策略作者：日期：2常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中常常显现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范畴紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉；1 变量转换策略例 1已知对于任意的 a - 1,1，函数 f x=ax2+2a-4x+3-a0 恒成立，求 x 的取值范畴 .解析 此题按常规思路是分 a=0 时 f x是一次函数， a0时是二次函数两种情形争论，不简单求 x 的取值范畴；因此，我们不能总是把 x 看成是变量，把 a 看成常参数

2、，我们可以通过变量转换，把 a 看成变量，x 看成常参数， 这就转化一次函数问题， 问题就变得简单求解； 令 ga=x2+2x-1a-4x+ 3 在 a-1,1时， ga0 恒成立，就g 10，得 313x313 .g10点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范畴，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范畴；2 零点分布策略例 2已知f x2xax3a ，如 x2,2,f x0 恒成立，求 a 的取值范畴 .解析 此题可以考虑 fx的零点分布情形进行分类争论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情形，即 0或0a22或f 200a22f 2，

3、即 a 的取值范畴为 -7 ，2.0f 20f 20点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情形,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了 .3 函数最值策略例 3已知f xx 2ax3a ，如 x2,2,f x2 恒成立，求 a 的取值范畴 .解析 此题可以化归为求函数f x 在闭区间上的最值问题,只要对于任意x 2,2,f x min2 . 如3 / 5x 2,2,f x2 恒成立x2,2,a2f x min222a22f x mina2f 273a2或f x min2f a3aa或22f xminf 27a2，即 a 的取值范畴为

4、 5, 222 .24点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法 ,只要利用f xm 恒成立f xminm； f xm 恒成立f xmaxm .此题也可以用零点分布策略求解 .4 变量分别策略例 4已知函数f x| x24 x5 |，如在区间 1,5 上， ykx3k 的图象位于函数 fx的上方，求 k 的取值范畴.解析此题等价于一个不等式恒成立问题,即对于x1,5, kx3kx24x5 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分别化归为求函数的最值问题. 对于x1,5, kx3kx24 x5 恒成立kx24 x5x3对于 x 1,5 恒成立,令 y

5、x 24xx35 , x 1,5 ,设 x3t,t 2,8 ,就 y16 tt10,t 2,8,当t4 ,即 x=1 时ymax2 ,k 的取值范畴是 k2.变式 如此题中将 ykx3k 改为 yk x3 2 ，其余条件不变，就也可以用变量分别法解.由 题意 得， 对于x1,5, k x3 2x 24x5 恒成 立k2x4x5 对 于x1,5恒成 立, 令 x3 22yx4x5 , x1,5,设 x3t ,t 2,8 ,就 y16101 45 29 , t 2,8 ， x3 2当 45 ,即xt41 时 , y5maxt 2t9 ,k 的取值范畴是 k 9 .1616t416点评此题通过变量分

6、别，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，此题构造的函数求最值对同学来说有些难度， 但通过换元后奇妙地转化为 “对勾函数 ”，从而求得最值 . 变式题中构造的函数通过换元后转化为 “二次函数型 ”，从而求得最值 .此题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.5 数形结合策略例 5设函数f xax24x, g xaxa ,如恒有f xg x 成立,试求实数 a 的取值范畴 .4 / 5解析 由题意得f xg xx 24 xax2a ,令 y1x24 x, y2ax2a .可化为 x2 2240x4, y10 ，它表示以 2,0为圆心， 2 为半径的上半圆； 表示经过定点 -2,0，y1以 a

7、 为斜率的直线，要使f xgx 恒成立，只需 所表示的半圆在 所表示的直线下方就可以了如下列图 当直线与半圆相切时就有y| 2a12a | a 22 ，即 a3 ，由图可知，要使3f xgx 恒成立，实数 a 的取值范畴是 a3 3Ox点评 此题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范畴，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的成效 .6 消元转化策略例 6已知 fx 是定义 在-1,1 上的奇 函数 , 且 f1=1, 如m, n1,1, mn0时 f mmf n n0 ， 如f xt 22at1对于全部的 x1,1, a

8、1,1 恒成立，求实数 t 的取值范畴 .解析 此题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，简单证明f x是 定 义在 -1,1 上 的 增 函 数 , 故f x 在 -1,1 上 的最 大值 为 f1=1, 就f x t 22at1 对 于 所 有 的x 1,1, a 1,1 恒成立21t2at1 对于全部的 a1,1恒成立，即22tat0 对于全部的 a 1,1 恒成立，令g a2tat 2 ，只要g 10 ， t2或t2或t0 g 10点评对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以依据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题 ,使问题得到解决 .以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范畴；事实上，这些策略不是孤立的，在详细的解题实践中，往往需要综合考虑，敏捷运用，才能使问题得以顺当解决；5 / 5