高中数学圆锥曲线圆锥曲线的性质对比+知识点梳理.doc

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1、. -高考数学圆锥曲线局部知识点梳理一、 方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：假设曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0。两条曲线的交点：假设曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,那么点P0(x0,y0)是C

2、1，C2的交点方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集MOM=r，其中定点O为圆心，定长r为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程：当D2+E2-4F0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-,-);当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.（3

3、） 点与圆的位置关系 圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，那么MCr点M在圆C，MC=r点M在圆C上，MCr点M在圆C，其中MC=。（4） 直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e0),那么动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F

4、(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0e1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.0e11到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.图形方程标准方程(0)(a0,b0)参数方程(t为参数)围axa，byb|x

5、| a，yRx0中心原点O0，0原点O0，0顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)准 线x=准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=准线垂直于实轴，且在两顶点的侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c c=2c c=离心率e=1【备注1】双曲线：等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做双曲线的共轭双曲线.

6、与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.【备注2】抛物线：1抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-，开口向上；抛物线=-2pyp0的焦点坐标是0,-，准线方程y=，开口向下.2抛物线=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离3设抛物线的标准方程为=2px(p0)，那么抛物线的焦

7、点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.4过抛物线=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，那么线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么弦长=+p或(为直线AB的倾斜角)，(叫做焦半径).五、坐标的变换：1坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.2坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。3坐标轴的平移公式：设平面任意一点M，它在原坐标系xOy

8、中的坐标是9x,y)，在新坐标系x Oy中的坐标是.设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，那么 或叫做平移(或移轴)公式.（4） 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方 程焦 点焦 线对称轴椭圆+=1(c+h,k)x=+hx=hy=k+ =1(h,c+k)y=+kx=hy=k双曲线-=1(c+h,k)x=+kx=hy=k-=1(h,c+h)y=+kx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(

9、h,- +k)y=+kx=h六、椭圆的常用结论：1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. PT平分PF1F2在点P处的外角，那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切.5. 假设在椭圆上，那么过的椭圆的切线方程是.6. 假设在椭圆外，那么过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.7. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，那么椭圆的焦点角形的面积为.8. 椭圆ab0的焦半径公式,( ,).9

10、. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，那么MFNF.10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，那么MFNF.11. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么，即。12. 假设在椭圆，那么被Po所平分的中点弦的方程是；【推论】：1、假设在椭圆，那么过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆abo的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2、过椭圆 (a0, b0)上任一

11、点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.3、假设P为椭圆ab0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么.4、设椭圆ab0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.5、假设椭圆ab0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，那么当0e时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为椭圆ab0上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆一定点，那么,当且仅当三点共线时，等号成立.7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.8、椭圆ab0，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.1

12、;2|OP|2+|OQ|2的最大值为;3的最小值是.9、过椭圆ab0的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.10、椭圆 ab0,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 那么.11、设P点是椭圆 ab0上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，那么(1).(2) .12、设A、B是椭圆 ab0的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, ,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13、椭圆 ab0的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，那么直线AC经过线段EF 的中点.

13、14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、椭圆焦三角形中,点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点.17、椭圆焦三角形中,心将点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中,半焦距必为、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的角.2、PT平分PF1F2在点P处的角，那么焦点在直线PT上的

14、射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.切：P在右支；外切：P在左支5、假设在双曲线a0,b0上，那么过的双曲线的切线方程是.6、假设在双曲线a0,b0外 ，那么过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是.7、双曲线a0,bo的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，那么双曲线的焦点角形的面积为.8、双曲线a0,bo的焦半径公式：( , 当在右支上时，,；当在左支上时，,。9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上

15、一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，那么MFNF.10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，那么MFNF.11、AB是双曲线a0,b0的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，那么，即。12、假设在双曲线a0,b0，那么被Po所平分的中点弦的方程是.13、假设在双曲线a0,b0，那么过Po的弦中点的轨迹方程是.【推论】：1、双曲线a0,b0的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.2、过双曲线a0,bo上任一点任意作两条倾斜

16、角互补的直线交双曲线于B,C两点，那么直线BC有定向且常数.3、假设P为双曲线a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，那么或.4、设双曲线a0,b0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，那么有.5、假设双曲线a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，那么当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6、P为双曲线a0,b0上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线一定点，那么,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立.7、双曲线a0,b0与直线有公共点的充要条件是.8、双曲线

17、ba 0，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.1;2|OP|2+|OQ|2的最小值为;3的最小值是.9、过双曲线a0,b0的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，那么.10、双曲线a0,b0,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 那么或.11、设P点是双曲线a0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，那么(1).(2) .12、设A、B是双曲线a0,b0的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，那么有(1).(2) .(3) .13、双曲线a0,b0的右准线与x轴相交于点，过双曲线右

18、焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，那么直线AC经过线段EF 的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的、外角平分线与长轴交点分别称为、外点).17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18双曲线焦三角形中,半焦距必为、外点到双曲线中心的比例中项.八

19、、 抛物线的常用结论：顶点.那么焦点半径;那么焦点半径为.通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.或的参数方程为或为参数.图形焦点准线围对称轴轴轴顶点0,0离心率焦点圆锥曲线的性质比照圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0(x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0y2=2px p0围x-a,a y-b,bx(-,-aa,+) yRx0,+) yR对称性关于x轴,y轴,原点对称关于x轴,y轴,原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)焦点(c,0),(-c,0) 【其中c2=a2-b2】(c

20、,0),(-c,0) 【其中c2=a2+b2】(p/2,0)准线x=(a2)/cx=(a2)/cx=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1)e=c/a,e(1,+)e=1焦半径PF1=a+ex PF2=a-exPF1=ex+aPF2=ex-aPF=x+p/2焦准距p=(b2)/cp=(b2)/cp通径(2b2)/a(2b2)/a2p参数方程x=acos y=bsin，为参数x=asec y=btan,为参数x=2pt2 y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点(x0x/a2)+(y0y/b2)=1(x0,y0)的切线方程(x0x/a2)-(y0y/b2)=1y0y=p(x+x0)斜率为k的切线方程y=kx(a2)(k2)+b2y=kx(a2)(k2)-b2y=kx+p/2k. . word.zl-