2022年广州一模理科数学试题与答案.docx

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1、精品学习资源2021 年广州市一般高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分考试用时120 分钟留意事项：试卷类型： A2021.3欢迎下载精品学习资源1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号；用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县 / 区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上；用2B 铅笔将试卷类型（ A）填涂在答题卡相应位置上；2. 挑选题每道题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上；3. 非挑选题必需用黑色字迹的钢笔或签字

2、笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液；不按以上要求作答的答案无效；4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答；漏涂、错涂、多涂的， 答案无效；5. 考生必需保持答题卡的洁净；考试终止后，将试卷和答题卡一并交回；1欢迎下载精品学习资源参考公式： 锥体的体积公式VSh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2222n n12n1*欢迎下载精品学习资源123nnN6欢迎下载精品学习资源一、挑选题：本大题共8 小题，每道题 5 分，满分 4

3、0 分在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的欢迎下载精品学习资源1. 已知 i 是虚数单位，如2mi34i ，就实数 m 的值为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 2 B2 C2D 22. 在 ABC中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，如 CA 2sin C B 2cos B C 2sin B D 2cosC2B ，就 c 为b欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源23. 圆x12y21关于直线 yx 对称的圆的方程为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2A x22C x222y11 B x122y11 D x12y212y21欢迎下载精

4、品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 如函数fxx2ax1 的定义域为实数集 R ，就实数 a 的取值范畴为欢迎下载精品学习资源A 2,2 B ,22,C,22,D2,2欢迎下载精品学习资源5. 某中学从某次考试成果中抽取如干名同学的分数，并绘制成如图 1 的频率分布直方图样本数据分组为50,60 ，60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 如用分层抽样的方法从样本中抽取分数在80,100 范畴内的数据 16 个， 就其中分数在90,100 范畴内的样本数据有A 5 个 B 6 个 C 8 个 D 10 个30.0300.0250.0200.0150.0100频率/组距506

5、0708090 100 分数图 1欢迎下载精品学习资源6. 已知集合Ax xZ且2xZ，就集合 A 中的元素个数为欢迎下载精品学习资源A 2B 3C 4D57. 设 a ， b是两个非零向量，就使a b = a b 成立的一个必要非充分条件是A ab B abC ab0 D ab8. 设 a ， b ， m 为整数（ m0 ），如 a 和 b 被 m 除得的余数相同，就称a 和 b 对模 m 同余，记为欢迎下载精品学习资源20202020ab mod m 如 aC 0C12C 222C 20220 ， abmod10，就 b 的值可以是欢迎下载精品学习资源A 2021B 2021C 2021D

6、 2021二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每道题5 分，满分 30 分（一）必做题（ 9 13 题）欢迎下载精品学习资源9. 如不等式 xa1的解集为x 1x3 ，就实数 a 的值为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源10. 执行如图 2 的程序框图，如输出S7 ，就输入 kkN*的值为欢迎下载精品学习资源11. 一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3 所示，就这个四棱锥的体积是 开头输入 k5欢迎下载精品学习资源n0,S0y nlogk .x否2211正（主）视图侧（左）视图欢迎下载精品学习资源是输出 S欢迎下载精品学习资源nn1终止SS2 n 1图 24图 3俯视图欢迎

7、下载精品学习资源12. 设为锐角，如cos3 ，就 sin6512欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源13. 在数列an 中，已知 a11 ， an 11，记an1Sn 为数列an 的前 n 项和，就S2021欢迎下载精品学习资源（二）选做题（ 14 15 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sincosa 与曲线2 cos4 sin 相交于 A ， B 两点，如CAB23 ，就实数 a 的值为PDE15（几何证明选讲选做题）OB如图 4， PC 是圆 O 的切线，切点为C ，直线 PA与圆 O交于A， B 两点，APC的平分线分别交弦CA ， CB

8、于 D ， EPEA欢迎下载精品学习资源两点，已知 PC3， PB2 ，就的值为图 4PD欢迎下载精品学习资源三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16（本小题满分 12分）欢迎下载精品学习资源已知函数f xsin xa cos x 的图象经过点 0欢迎下载精品学习资源，3（ 1）求实数 a 的值；欢迎下载精品学习资源（ 2）设gx2f x2 ，求函数g x 的最小正周期与单调递增区间欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源17（本小题满分 12分）甲，乙，丙三人参与某次聘请会，假设甲能被聘用的概率是2，甲，丙两人同时不能被聘用的概率5欢迎下载精品学习

9、资源是 6 ，乙，丙两人同时能被聘用的概率是32510，且三人各自能否被聘用相互独立欢迎下载精品学习资源（ 1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（ 2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的肯定值，求的分布列与均值（数学期望）欢迎下载精品学习资源18（本小题满分 14分）如图 5，在棱长为 a 的正方体ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是棱D1D 的D1C11A1EB欢迎下载精品学习资源中点，点 F 在棱B1B 上，且满意B1F2 FB 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）求证：EFA1C1 ；DC欢迎下载精品学习资源（ 2）在棱此时FC1C 上确定一点

10、G ，使 A ， E ， G ， F 四点共面，并求C1G 的长；AB欢迎下载精品学习资源n（ 3）求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值图 5 19（本小题满分 14分）欢迎下载精品学习资源已知等差数列an 的首项为 10，公差为 2，等比数列b的首项为 1，公比为 2， nN * 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）求数列an与 bn的通项公式；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）设第 n 个正方形的边长为 cnminan , bn，求前 n 个正方形的面积之和Sn 欢迎下载精品学习资源（注： min a,b 表示 a 与b 的最小值）20（本小题满分

11、 14分）x2y2欢迎下载精品学习资源已知双曲线E ：a 241 a0 的中心为原点O ，左，右焦点分别为F1 ，F2 ，离心率为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3 5 ，点 P 是直线5a 2x上任意一点，点Q 在双曲线 E 上，且满意3PF2QF20 欢迎下载精品学习资源（ 1）求实数 a 的值；（ 2）证明：直线PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；（ 3）如点 P 的纵坐标为 1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点M ， N ，在线段 MN 上欢迎下载精品学习资源取异于点 M， N 的点 H ，满意PMMHPNHN，证明点 H 恒在一条定直线上欢迎下载精品学习资源

12、21（本小题满分 14分）欢迎下载精品学习资源已知函数fxx22x1 ex （其中 e 为自然对数的底数）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1）求函数f x 的单调区间；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）定义：如函数 h x 在区间s,tst上的取值范畴为s, t ，就称区间s, t 为函数 h x 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源“域同区间”试问函数f x 在 1,上是否存在“域同区间”？如存在，求出全部符合条欢迎下载精品学习资源件的“域同区间”；如不存在，请说明理由欢迎下载精品学习资源2021 年广州市一般高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试卷参考答案

13、及评分标准说明： 1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依据试卷主要考查的学问点和才能比照评分标准给以相应的分数2. 对解答题中的运算题，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4. 只给整数分数，挑选题和填空题不给中间分一、挑选题：本大题考查基本学问和基本运算共8 小题，每道题，满分40 分题号12345678答案ABADBCDA二、

14、填空题：本大题考查基本学问和基本运算，表达挑选性共7 小题，每道题，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题题号9101112131415欢迎下载精品学习资源答案234210202121或 523欢迎下载精品学习资源三、解答题：本大题共6小题，满分 80分 16（本小题满分 1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等学问，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解才能）欢迎下载精品学习资源解： （ 1）由于函数f xsinxa cos x 的图象经过点，03，所以 f0 3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 sin a

15、cos0 欢迎下载精品学习资源333a即0 22解得 a3 欢迎下载精品学习资源（ 2） 方法 1： 由（ 1）得f xsin x3 cos x 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 g xf x 22sin x23 cos x2欢迎下载精品学习资源sin 2 x23 sinxcos x3cos 2 x2欢迎下载精品学习资源3 sin 2 xcos 2 x23 sin 2 x1 cos 2 x22欢迎下载精品学习资源2 sin 2 x cos6cos 2 xsin6欢迎下载精品学习资源2sin2 x 6欢迎下载精品学习资源所以 g x的最小正周期为 22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品

16、学习资源由于函数 ysinx 的单调递增区间为2 k,2 k2kZ ，2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以当2k 2 x 2k kZ 时，函数gx 单调递增，欢迎下载精品学习资源262欢迎下载精品学习资源即 k xk kZ时，函数g x单调递增欢迎下载精品学习资源36欢迎下载精品学习资源所以函数gx 的单调递增区间为k, k 36kZ欢迎下载精品学习资源方法 2： 由（ 1）得f xsin x3 cos x欢迎下载精品学习资源2 sinx cos3cos x sin3欢迎下载精品学习资源2sinx 3欢迎下载精品学习资源所以 g xf x 2222sinx23欢迎下载精品学习资源4s

17、in 2x 23欢迎下载精品学习资源2cos2 x2 分3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以函数gx 的最小正周期为2分2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于函数 ycosx 的单调递减区间为2k,2 kkZ，欢迎下载精品学习资源所以当 2k2 x22kkZ时，函数3g x单调递增欢迎下载精品学习资源即 k xk kZ ）时，函数g x 单调递增欢迎下载精品学习资源（36欢迎下载精品学习资源所以函数gx 的单调递增区间为k, kkZ欢迎下载精品学习资源3617（本小题满分 1）（本小题主要考查相互独立大事、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等学问，考查或然与必定的数学

18、思想方法，以及数据处理才能、运算求解才能和应用意识）欢迎下载精品学习资源解： （ 1）记甲，乙，丙各自能被聘用的大事分别为A1 ，A2 ，A3，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由已知A1，A2 ，A3 相互独立，且满意欢迎下载精品学习资源2P A1, 5131P A1P A6 ,253P A2 P A3. 10欢迎下载精品学习资源解得 PA213， P A325欢迎下载精品学习资源所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12， 3 5欢迎下载精品学习资源（ 2） 的可能取值为 1， 3欢迎下载精品学习资源由于 P3P A1A2 A3PA1 A2 A3欢迎下载精品学习资源P A1P A2PA3

19、1P A11PA21PA3欢迎下载精品学习资源所以 P11P21331265255252531619 2525欢迎下载精品学习资源所以的分布列为13196P2525欢迎下载精品学习资源所以 E1193637欢迎下载精品学习资源252525欢迎下载精品学习资源18（本小题满分 1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等学问，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能）欢迎下载精品学习资源推理论证法：（ 1） 证明： 连结由于四边形B1D1 ， BD ，A1B1C1D1是正方形，所以A1C1B1D1D1C11A1EB欢

20、迎下载精品学习资源在正方体ABCDA1B1C1D1 中，DD1平面 A1B1C1D1 ，DC欢迎下载精品学习资源A1C1平面A1 B1C1 D1 ，所以FA1C1DD1 AB欢迎下载精品学习资源由于 B1 D1DD1D1，B1D1 ， DD 1平面 BB1D1D ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 A1C1平面 BB1D1D 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 EF平面BB1D1D ，所以EFA1C1 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） 解： 取 C1C 的中点 H ，连结 BH ，就 BHAE D1C1G欢迎下载精品学习资源在平面 BB1C1C 中，过点

21、F 作 FGBH ，就 FGAE A1EB1H欢迎下载精品学习资源连结 EG ，就 A， E ， G ， F 四点共面欢迎下载精品学习资源由于 CH1C1C1a ， HGBF11DCC1Ca ，F欢迎下载精品学习资源所以 C1G22331ABC1CCHHGa 6欢迎下载精品学习资源1故当 C G1 a 时， A， E ， G ， F 四点共面6欢迎下载精品学习资源（ 3）延长 EF ， DB ，设 EFDBM ，连结 AM ， 就 AM 是平面 AEF 与平面 ABCD 的交线过点 B 作 BNAM ，垂足为 N ，连结 FN ，由于 FBAM ， FBBNB ， 所以 AM平面 BNF 由于

22、 FN平面 BNF ，所以 AMFN 所以FNB 为平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角D1C11A1EBDCF欢迎下载精品学习资源由于 MBBFMDDE13，a2AB1 a3N2M欢迎下载精品学习资源即MB2 ，MB2 a3所以 MB22a 欢迎下载精品学习资源在 ABM 中， ABa ，ABM135 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 AM 2AB2MB 22ABMBcos135欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2a 222a2a22a213a 2 即 AM 213a 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 1AMBN1ABMBsin135 ，欢迎下载

23、精品学习资源22a22a2欢迎下载精品学习资源所以 BNABMB AMsin135213a2 13 a 13欢迎下载精品学习资源222212 137 13所以 FNBFBNaaa 31339欢迎下载精品学习资源所以 cosFNBBN6 FN7欢迎下载精品学习资源故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为6 7欢迎下载精品学习资源空间向量法：（ 1） 证明： 以点 D 为坐标原点，DA ， DC ，zDD1 所在的直线D11C欢迎下载精品学习资源分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，欢迎下载精品学习资源就 A a,0,0， A1a,0, a ， C1 0, a

24、, a ，A1EB1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源E0,0,1 a，21D，yFCFa, a,a3欢迎下载精品学习资源所以 A1C1a,a,0， EFa,a,AB1 ax6欢迎下载精品学习资源11由于 ACEFa2a200 ，欢迎下载精品学习资源所以 A1C1EF 所以EFA1C1 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2） 解： 设G0,a, h ，由于平面ADD 1 A1平面 BCC1B1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源平面 ADD1 A1平面 AEGFAE ，平面BCC 1B1平面 AEGFFG ，欢迎下载精品学习资源所以 FGAE 欢迎下载精品学习资源所以存

25、在实数，使得 FGAE 欢迎下载精品学习资源由于 AEa,0,1 a， FGa,0, h 21 a，3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以a,0, h1 aa,0, 1 a欢迎下载精品学习资源所以1 ， h325 a6欢迎下载精品学习资源所以 C1GCC151CGaaa 66欢迎下载精品学习资源1故当 C G1 a 时， A， E ， G ， F 四点共面欢迎下载精品学习资源6（ 3） 解： 由（ 1）知AEa,0,1 a， AF20, a, 1 a3欢迎下载精品学习资源设 nx, y, z 是平面 AEF 的法向量，n AE0,就n AF0.1axaz0,即2ay1 az0.3取 z

26、6 ，就 x3 ， y2 欢迎下载精品学习资源所以 n3, 2,6是平面 AEF 的一个法向量欢迎下载精品学习资源而 DD10,0, a 是平面 ABCD 的一个法向量， 设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为，欢迎下载精品学习资源就 cosn DD1 1n DD1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0302a66欢迎下载精品学习资源232262a76故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为7第（ 1）、（ 2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法：（ 1）、（ 2）给分同推理论证法欢迎下载精品学习资源（ 3） 解： 以点 D 为坐标原点， DA ， DC ，DD

27、1 所在的直线欢迎下载精品学习资源分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，欢迎下载精品学习资源就 A a,0,0 ， E0,0,1 a ， Fa, a, 1 a ，欢迎下载精品学习资源就 AEa,0,21 a， AF230, a, 1 a3zD1C1A1EB1欢迎下载精品学习资源设 nx, y, z是平面 AEF 的法向量，1DCy欢迎下载精品学习资源Fn AE就n AF0,ax即0.ayaz0,2AB1 az0.x3欢迎下载精品学习资源取 z6 ，就 x3 ， y2 欢迎下载精品学习资源所以 n3, 2,6是平面 AEF 的一个法向量欢迎下载精品学习资源而 DD10,0

28、, a 是平面 ABCD 的一个法向量，设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为，欢迎下载精品学习资源就 cosn DD1 1n DD1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0302a6627欢迎下载精品学习资源22326a故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为6 719（本小题满分 1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等学问，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解才能和创新意识）欢迎下载精品学习资源解： （ 1）由于等差数列an 的首项为 10，公差为 2，欢迎下载精品学习资源所以 an10n12 ，欢迎下载精品学习资源即 an2n8 欢迎下载精品学

29、习资源欢迎下载精品学习资源由于等比数列bn 的首项为 1，公比为 2，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 bn12n 1 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 bn2n 1 欢迎下载精品学习资源（ 2）由于a110 ， a212 ， a314 ， a416 ，a518 ，a620 ，欢迎下载精品学习资源b11 ， b22 ， b34 ， b48 ， b516 ， b632 欢迎下载精品学习资源易知当 n5 时， anbn 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源下面证明当 n6 时，不等式 bnan 成立欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方法 1： 当 n6 时，b26

30、 13220268a6 ，不等式明显成立欢迎下载精品学习资源6假设当 nkk6 时，不等式成立，即2 k 12k8 欢迎下载精品学习资源就有 2k22k 12 2k82 k182k62 k18 欢迎下载精品学习资源这说明当 nk1时，不等式也成立欢迎下载精品学习资源综合可知，不等式对n6 的全部整数都成立欢迎下载精品学习资源所以当 n6 时， bnan 欢迎下载精品学习资源方法 2： 由于当 n6 时n 1n 1bnan22n8112n8CCCC2n8012n 1n 1n 1n 1n 1欢迎下载精品学习资源CC01n 1n 12n 3CCn 1n 1n 2n 1CCn 1n 12n8欢迎下载精

31、品学习资源CC2 C012n1n 1n 12n8欢迎下载精品学习资源2n3n6n n4n60 ，欢迎下载精品学习资源所以当 n6 时， bnan 2n 1,n5,欢迎下载精品学习资源所以 cnmin an ,bn2n8,n5.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2就 cn22 n 2 ,2n5,欢迎下载精品学习资源4 n4,当 n5 时，n5.欢迎下载精品学习资源Sc 2c 2c 2c 2n123nb 2b 2b 2b 2123n22220242n 214 n14 n1 143欢迎下载精品学习资源当 n5 时，Sc 2c 2c 2c 2n123nb 2b 2b 2a 2a 2a 21256

32、7n欢迎下载精品学习资源1 451322464742n426272n867n1222n 212225216 n5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源34143414341432 67n n12n16nn5n64 n5欢迎下载精品学习资源553264 n562欢迎下载精品学习资源4 n318n2242 n679 欢迎下载精品学习资源331 4n1 ,n5,欢迎下载精品学习资源综上可知， Sn34 n318n2242 n679,n5.欢迎下载精品学习资源3320（本小题满分 1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等学问，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证才能和运算求解才能）（ 1） 解： 设双曲线 E 的半焦距为 c ，欢迎下载精品学习资源由题意可得c3 5 ,a5欢迎下载精品学习资源c2a 24.解得 a5 欢迎下载精品学习资源（ 2） 证明： 由（ 1）可知，直线a 25x，点33F2 3,0设点 P5, t,3Q x0, y0，欢迎下载精品学习资源由于 PFQF0 ，所以 35 ,t3x ,y0 22003欢迎下载精品学习资源所以 ty4x3 欢迎下载精品学习资源003欢迎下载精品学习资源由于点 Q x, y在双曲线 E 上，所以220x0y01，即 y 24x25 欢迎下载