函数的单调性及求函数的最值.doc

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1、. .函数的单调性与最值复习：按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图像. 图像在轴的右侧局部是上升的，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，如果取0，+)，得到,那么当时，有.这时就说函数=在0,+ )上是增函数. 图像在轴的左侧局部是下降的，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值反而随着减小，如果取0，+)，得到,那么当时，有。这时就说函数=在0,+ )上是减函数. 1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f

2、(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述在单调区间上增函数的图象是上升的在单调区间上减函数的图象是下降的(2)单调区间的定义假设函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间注意：1函数的单调性也叫函数的增减性；2注意区间上所取两点x1,x2的任意性；3函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。4假设函数在其定义内的两个区间、上都是单调增减函数，一般不能认简单地认为在区间上是增减函数. 例如在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在

3、定义域上是减函数.3用定义法判断函数的单调性：定义域取值；任取x1，x2D，且x1x2；作差；作差f(x1)f(x2)；变形；通常是因式分解和配方；定符号；即判断差f(x1)f(x2)的正负下结论指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性例1 证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,又由0 ,于是0,即在(0,+ )上是减函数.练习：讨论函数在-1,0的单调性.在-1,0上任取x1,x2且x1x2那么,从而-= = 另外，恒有-1x1x20 那么 x1+x20 那么- 在-1，0上f(x)为增函数2.根本函数的单调性例：讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：

4、，对称轴假设,那么在(-2,2)内是增函数；假设那么在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数假设,那么在(-2,2)内是减函数.3.判断函数的单调性的常见结论设任意x1，x2a，b，且x1x2，那么f(x)在a，b上是增函数；f(x)在a，b上是减函数设任意x1，x2a，b，那么f(x)在a，b上是增函数；f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数【梳理总结】 1函数与的单调性相反；2当函数恒为正或恒有负时，与函数的单调性相反；3函数与函数为常数的单调性一样；4当为常数时，与的单调性一

5、样；当为常数时，与的单调性相反；5函数、都是增减函数，那么仍是增减函数；6假设且与都是增减函数，那么也是增减函数；假设且与都是增减函数，那么也是减增函数；7设，假设在定义域上是增函数，那么、都是增函数.例：求函数y的单调区间.4. 关于分段函数的单调性(1)假设函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,那么在区间上不一定是增函数,假设使得在区间上一定是增函数,需补充条件: (2)假设函数,在区间上是减函数, 在区间上是减函数,那么在区间上不一定是减函数,假设使得在区间上一定是减函数,需补充条件:例：函数假设对任意x1，x2，都有成立，那么实数a的取值X围是()A(0,B(0,1)C,1)D(

6、0,3)5函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件.对于任意xI，都有f(x)M；对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值，记作M为最小值，记作例：f(x)x22x (x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.6.利用函数的单调性求最值例题：函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明:令,那么;再令,那么应有,从而在上任取,那么.又时,从而,即,由定义可知函数在上

7、的减函数.(2) 函数是上的减函数,在区间上也是减函数.从而可知在区间上,最大,最小.即在上的最大值为2,最小值为2.练习：定义在区间0，+上的函数f(x)满足f()f(x)f(y).，且当x1时，f(x)0.1求f(1)的值；2判断f(x)的单调性；3假设f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.1f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。2当0 y 1，所以f(x) - f(y) = f(x/y) 9， x9或x-97.导数与函数的单调性1导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为2函数的导数

8、与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。3几种常见函数的导数；4导数的运算法那么. . .8. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：确定函数的定义域；计算导数，令，解此不等式，求出递增区间；令0；(x1x2)f(x1)f(x2)0；0.其中能推出函数yf(x)为增函数的命题为_.(填序号)11.函数的递减区间是答案：(-,-3) 提示:借助复合函数的单调性加以判断.12.函数yf(x)在R上是减函数，A(0，2)、B(3,2)在其图象上，那么不

9、等式2f(x)2的解集为_.综合练习：1.函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图像上的两点，那么不等式|f(x1)|1的解集的补集是 A(1，2) B(1，4) C(，1)4， D(，1)2，2. 函数f(x)为R上的减函数，那么满足ff(a)，那么实数a的取值X围是()A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析：f(x)由f(x)的图象可知f(x)在(，)上是单调递增函数，由f(2a2)f(a)得2a2a，即a2a20，解得2a1.应选C.4.在实数集上是减函数，假设，那么以下正确的选项是 AB C D答案：D 提示:且在实数集上是减函数，从而知,

10、从而选D.5. f(x)是定义在(0，+)上的增函数，且f()f(x)f(y).(1)求f(1)的值； (2)假设f(2)1，解不等式f(x+3)f()2.【解】(1)令，从而得f(1)=; (2)，因为f(x)是定义在(0，+)上的增函数，所以原不等式f(x+3)()f(4)解得从而原不等式的解集为6.函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时，f(x)1.1求证：f(x)是R上的增函数；2假设f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.1设x1,x2R，且x1x2, 那么x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. fx2f(x1).即f(x)是R上的增函数. 2f4=f2+2=f2+f2-1=5，f2=3，原不等式可化为f()f(2),f(x)是R上的增函数，2, 解： . . .word.