导数题型分类大全.doc

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1、. .导数题型分类A题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法那么一导数的定义：函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数，记作或，即如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数在处的导数，就是导函数在处的函数值，即。例1.函数处的导数为A，求。例2。二常见根本初等函数的导数公式和运算法那么 ：； ； 法那么1： 法那么2： 法那么3： 理复合函数的求导：假设，那么如，_;_公式的特例：_; _, _.题

2、型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜率.因此，如果存在，那么曲线在点处的切线方程为_例1假设函数满足，那么的值例2设曲线在点处的切线与直线垂直，那么练习题1曲线在点处的切线方程是 2假设曲线在P点处的切线平行于直线，那么P点的坐标为 1，0 3假设曲线的一条切线与直线垂直，那么的方程为 4求以下直线的方程：注意解的个数 1曲线在P(-1,1)处的切线； 2曲线过点P(3,5)的切线；解：1 所以切线方程为 2显然点P3，5不在曲线上，所以可设切点为，那么又函数的导数为，所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有，由联立方程组得

3、，即切点为1，1时，切线斜率为；当切点为5，25时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为5设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值X围为0，那么点P横坐标的取值X围为()A1， B1,0C0,1 D，16.以下函数中，在0，+上为增函数的是 A.y=sinx B. C. D.y=ln(1+x)x7. 设f(x),g(x)是R上的可导函数，分别为f(x),g(x)的导数，且，那么当axf(b)g(x) B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x) D.f(x)g(x)f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数的单调性1.设函数在某个区间

4、a,b内有导数，如果在这个区间内，那么在这个区间内单调递增；如果在这个区间内，那么是这个区间内单调递减.2. 求函数的单调区间的方法：1求导数；2解方程；3使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间3.假设函数在区间上单调递增，那么在恒成立.例：1.函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数A(，)B(，2)C(，)D(2，3)2. 函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是_.3.函数在R上单调递增,那么的取值X围是_.题型四：利用导数研究函数的极值、最值。1在区间上的最大值是 2 2函数处有极大值，那么常数c 6 ；3函数有极小值 1 ,极大值 3 yxO12-14

5、函数f (x)的导函数的图象如右图所示，那么函数f (x)的图象最有可能的是( )yxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO12-2D5.函数有极大值和极小值，那么实数a的取值X围是 A.-1a2 B.a-3或a6 C.-3a6 D.a-1或a2作业和练习：1.函数在区间，1上有最小值，那么函数在区间1，+上一定 A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数2函数在处取得极值，求过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程.3函数1求f(x)的最小值2假设对所有x1都有f(x)ax-1,求a的取值X围.4 函数其中a为大于零的常数. 1当a=1时，求函数f(

6、x)的单调区间和极值 2当时，不等式恒成立，求a的取值X围.5函数的切线方程为y=3x+1 假设函数处有极值，求的表达式； 在的条件下，求函数在3，1上的最大值； 假设函数在区间2，1上单调递增，XX数b的取值X围 解：1由过的切线方程为：而过故由得 a=2，b=4，c=5 2当 又在3，1上最大值是13。 3y=f(x)在2，1上单调递增，又由知2a+b=0。 依题意在2，1上恒有0，即当；当；当综上所述，参数b的取值X围是6三次函数在和时取极值，且(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；(3) 假设函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件解：(1) ，由题意得，是的两个根，

7、解得，再由可得(2) ，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，函数在区间上是增函数；在区间上是减函数；在区间上是增函数函数的极大值是，极小值是(3) 函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到的，所以，函数在区间上的值域为而，即于是，函数在区间上的值域为令得或由的单调性知，即综上所述，、应满足的条件是：，且7函数，设函数，求函数的单调区间；()假设在上存在一点，使得成立，求的取值X围8设函数1假设的图象与直线相切，切点横坐标为，且在处取极值，XX数 的值；2当b=1时，试证明：不管a取何实数，函数总有两个不同的极值点解：1由题意，代入上式，解之得：a=1，b=12当b=1时，因故

8、方程有两个不同实根不妨设，由可判断的符号如下：当；当；当因此是极大值点，是极小值点，当b=1时，不管a取何实数，函数总有两个不同的极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1如右图：是fx的导函数， 的图象如右图所示，那么fx的图象只可能是 D A B C D2函数( A )xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值X围1设函数 1求函数的单调区间、极值.2假设当时，恒有，试确定a的取值X围.解：1=，令得列表如下：x-，a

9、aa，3a3a3a，+-0+0-极小极大在a，3a上单调递增，在-，a和3a，+上单调递减时，时，2，对称轴，在a+1，a+2上单调递减 ，依题， 即解得，又a的取值X围是2函数fxx3ax2bxc在x与x1时都取得极值1求a、b的值与函数fx的单调区间2假设对x1，2，不等式fxc2恒成立，求c的取值X围。解：1fxx3ax2bxc，fx3x22axb由f，f132ab0得a，b2fx3x2x23x2x1，函数fx的单调区间如下表：x，111，fx00fx极大值极小值所以函数fx的递增区间是，与1，递减区间是，12fxx3x22xc，x1，2，当x时，fxc为极大值，而f22c，那么f22c

10、为最大值。要使fxf22c，解得c2题型七：利用导数研究方程的根1平面向量=(,1). =(,).1假设存在不同时为零的实数k和t，使=+(t23)，=-k+t，试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.解：(1)，=0 即+(t2-3) (-k+t)=0.整理后得-k+t-k(t2-3) + (t2-3)=0=0，=4，=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数.于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1

11、).令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如下表：t(-,-1)-1(-1,1)1(1,+ )f(t)+0-0+F(t)极大值极小值当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=函数f(t)=t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：(1)当k或k时,方程f(t)k=0有且只有一解；(2)当k=或k=时,方程f(t)k=0有两解；(3) 当k时,方程f(t)k=0有三解.2函数的单调减区间为0，4 I求的值； II假设对任意的总有实数解，XX数的取值X围。解：I 又4分 II且12分题型八：导数与

12、不等式的综合1设在上是单调函数.1XX数的取值X围；2设1，1，且，求证：.解：1 假设在上是单调递减函数，那么须这样的实数a不存在.故在上不可能是单调递减函数.假设在上是单调递增函数，那么，由于.从而0a3.2方法1、可知在上只能为单调增函数. 假设1，那么 假设1矛盾，故只有成立.方法2：设，两式相减得1,u1，2为实数，函数1假设函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值X围2假设，求函数的单调区间证明对任意的，不等式恒成立解：，函数的图象有与轴平行的切线，有实数解，所以的取值X围是，由或；由的单调递增区间是；单调减区间为易知的最大值为，的极小值为，又在上的最大值，最小值对任意，恒有3函数(

13、1)当时，判断在定义域上的单调性; (2)假设在上的最小值是，求的值;(3)设，假设在上恒成立，求的取值X围.题型九：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥如右图所示。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为，那么由题设可得正六棱锥底面边长为：，单位：故底面正六边形的面积为：=，单位：帐篷的体积为：单位：求导得。令，解得不合题意，舍去，当时，为增函数；当时，为减函数。当时，最大。答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。2统计说明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量升关于行驶速度千米

14、/小时的函数解析式可以表示为：甲、乙两地相距100千米。I当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？II当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：I当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗没升。II当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型十：导数与向量的结合1设平面向量假设存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使1求函数关系式；2假设函数在上是单调函数，求k的取值X围。解：12那么在上有由；由。因为在t上是增函数，所以不存在k，使在上恒成立。故k的取值X围是。. .word.