二次函数知识点总结及典型例题.doc

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1、. .二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：1一般式：2顶点式：3当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，那么不能这样表示。三、抛物线中，的作用 1决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 2和共同决定抛物线对称轴的位置

2、.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴所在直线；即、同号时，对称轴在轴左侧；即、异号时，对称轴在轴右侧. 3的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点0，：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，那么 .四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质1抛物线开口向上，并向上无限延伸；2对称轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；4抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，1抛物线开口向下，并向下无

3、限延伸；2对称轴是x=，顶点坐标是，；3在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；4抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，五、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。补充：函数平移规律：左加右减、上加下减六、二次函数的最值 如果自变量的取值X围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值或最小值，即当时，。如果自变量的取值X围是，那么，首先要看是否在自变量取值X围，假设在此X围内，那么当x

4、=时，；假设不在此X围内，那么需要考虑函数在X围内的增减性，如果在此X围内，y随x的增大而增大，那么当时，当时，；如果在此X围内，y随x的增大而减小，那么当时，当时，。典型例题1.函数，那么使y=k成立的x值恰好有三个，那么k的值为 A0B1C2D32. 如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，那么以下关系中正确的选项是 Aab=1B ab=1C b2aD ac0 3.二次函数的图象如下图，那么反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是 .4.如图，二次函数的图象经过点1，0，1，2，当随的增大而增大时，的取值X围是 1,-2-15.在平面直角坐标系中，将

5、抛物线绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是 A BC D6.二次函数的图像如图，其对称轴，给出以下结果，那么正确的结论是 A B C D 7抛物线上局部点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：x21012y04664从上表可知，以下说法中正确的选项是填写序号抛物线与轴的一个交点为3,0； 函数的最大值为6；抛物线的对称轴是； 在对称轴左侧，随增大而增大8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是2，4，过点A作ABy轴，垂足为B，连结OA(1)求OAB的面积；(2)假设抛物线经过点A求c的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部不包括OAB的

6、边界，求m的取值X围直接写出答案即可9二次函数y=x2+x的图像如图1求它的对称轴与x轴交点D的坐标；2将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A、B、C三点，假设ACB=90，求此时抛物线的解析式； 3设2中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由10.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB10，以AB为直径的O与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是O的切线，ADCD于点D，tanCAD，抛物线过A，B，C三点.1求证：CADCAB；2求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，

7、并说明理由；3在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形.假设存在，直接写出点P的坐标不写求解过程；假设不存在，请说明理由.11.如下图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A-1，0，B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，假设抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N1求抛物线的解析式2抛物线上是否存在点P使得PA= PC假设存在，求出点P的坐标；假设不存在请说明理由。3设抛物线与x轴的另个交点为E点Q是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q在什么

8、位置时有最大？并求出最大值。ABCDOENMxy图12如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A一1，0求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值13.在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点B、C.1当n1时，如果a=1，试求b的值；2当n2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；3将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，试求出当n=3时a的值；直接写出a关于n的关系式. 图1图2图3. .word.