概率论和数理统计练习题答案解析.doc

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1、. .概率论与数理统计练习题 系专业班 学号 第一章 随机事件及其概率一一选择题1对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点称为 C A不可能事件 B必然事件 C随机事件 D样本领件2下面各组事件中，互为对立事件的有 B A抽到的三个产品全是合格品 抽到的三个产品全是废品B抽到的三个产品全是合格品 抽到的三个产品中至少有一个废品 C抽到的三个产品中合格品不少于2个 抽到的三个产品中废品不多于2个 D抽到的三个产品中有2个合格品 抽到的三个产品中有2个废品3以下事件与事件不等价的是 C A B C D4甲、乙两人进展射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，那么表示 C A二人都没射中 B二人都射中

2、 C二人没有都射着 D至少一个射中5以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销，那么其对应事件为. D A“甲种产品滞销，乙种产品畅销； B“甲、乙两种产品均畅销；C“甲种产品滞销； D“甲种产品滞销或乙种产品畅销6设，那么表示 A A BC D7在事件，中，和至少有一个发生而不发生的事件可表示为 A A； B；C； D.8、设随机事件满足，那么 D A互为对立事件 (B) 互不相容 (C) 一定为不可能事件 (D) 不一定为不可能事件 二、填空题1假设事件A，B满足，那么称A与B 互斥或互不相容 。2“A，B，C三个事件中至少发生二个此事件可以表示为 。三、简答题： 1写出以下随机试验的样本空间

3、。 1一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号。现从盒这任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录两次取球的。 2将1的取球方式改为第一次取球后放回盒中再作第二次取球，记录两次取球的。3一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。 2设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示以下事件。 1A、B、C中只有A发生； 2A不发生，B与C发生； 3A、B、C中恰有一个发生； 4A、B、C中恰有二个发生； 5A、B、C中没有一个发生； 6A、B、C中所有三个都发生； 7A、B、C中至少有一个发生； 8A、B、C中不多于两个发生。概率论与数理统计练习题系专业班 学号第一章 随机事件及其概率二

4、一、 选择题：1掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3的概率是 B A B C D2袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，那么两次都是红球的概率是 B A B C D3事件A、B满足，那么 BA BC D4A、B为两事件，假设，那么 B A BC D5有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，那么4本外文书放在一起的概率是 D A B C D二、选择题：1设A和B是两事件，那么2设A、B、C两两互不相容，那么0.53假设，那么0.8 。4设两两独立的事件A，B，C满足条件，且，那么。.5设，那么A、B、C全不发生的概率为 。6设A和B是两事件，那么0.54 。三、计

5、算题： 1罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，假设从中任取3颗，求： 1取到的都是白子的概率； 2取到的两颗白子，一颗黑子的概率； 3取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； 4取到的3颗棋子颜色一样的概率。2加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。3袋中人民币五元的2X，二元的3X和一元的5X，从中任取5X，求它们之和大于12元的概率。解：要使它们之和大于12元，必须有两X5元，其余可任意取。那么概率论与数理统计练习题系专业班 学号第一章 随机事件及其概率三一、 选择题： 1设A、B为两

6、个事件，且，那么以下必成立是 A A D C D 2设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球，B表示“取到玻璃球，那么P(B|A)= D 。A B C D 3设A、B为两事件，且均大于0，那么以下公式错误的选项是 B A BC D4设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，所取的2件产品中有一件是不合格品，那么另一件也是不合格品的概率为 B A B C D5设A、B为两个随机事件，且，那么必有 C A BC D二、填空题： 1设A、B为两事件，那么1/6 2设，那么 0.6 3假设，那么0.75 4某产

7、品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.735 5为一完备事件组，且，那么1/18三、计算题：1某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？0.56/0.8=0.7解：设A=“活到10岁 B =“活到12岁“2某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：1任取一件产品是正品的概率；2任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。解：设A1 =“甲车间生产的产品 A2 =“乙车间生产的产品 B =“正品 1 23为了防

8、止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：1发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率；2B失灵的条件下，A有效的概率。解：1 24某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为。

9、问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？ 解：记从箱中取出的一瓶为一等品甲判定取出的一瓶为一等品乙判定取出的一瓶为一等品丙判定取出的一瓶为一等品那么此题要解决的是计算和.由贝叶斯公式得其中,此外由相互独立得 所以, 于是,销售部主任可以根据远远大于裁决:所取的一瓶不是一等品.概率论与数理统计练习题系专业班 学号第一章 随机事件及其概率四一、 选择题： 1设A，B是两个相互独立的事件，那么一定有 B A B C D 2甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，那么两人同时考上大学的概率是 B A0.75 B0.56 C0.50 D0.94 3某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5

10、次中有 2次命中的概率是 D A B C D 4设A，B是两个相互独立的事件，那么 C A B C D 5假设A，B之积为不可能事件，那么称A 与B B A独立 B互不相容 C对立 D构成完备事件组二、填空题： 1设与是相互独立的两事件，且，那么0.12 2设事件A，B独立。且，那么A，B至少一个发生的概率为 0.82 3设有供水龙头5个，每一个龙头被翻开的可能为0.1，那么有3个同时被翻开的概率为 0.0081 4某批产品中有20%的次品，进展重复抽样调查，共取5件样品，那么5件中恰有2件次品的概率为 0.2048 ，5件中至多有2件次品的概率 0.94208 。 三、计算题： 1设某人打靶

11、，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。0.959解：所求的概率为 2某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。0.104解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上， 那么 所求的概率为 3甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，那么飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，那么飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，那么飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。0.458解：设A =“甲击中敌机B =“乙击中敌机C =“丙击中敌机Dk=“k人击中

12、飞机k =1，2，3 H =“敌机被击中4一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程每一过程有一定的持续时间以检查新生产元件的缺陷。假设缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为。1求缺陷在第二个过程完毕前被查出的概率缺陷假设在一个过程查出就不再进展下一个过程；2求缺陷在第个过程完毕之前被查出的概率；3假设缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率； 注：1、2、3都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。4设随机地取一元件，它有缺陷的概率为，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在3的假设下一元件通过检查的概率；5一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率

13、设。 解：以记事件“缺陷在第个过程被检出。按题设且相互独立。 1按题意所讨论的事件为，缺陷在第一个过程就被查出或者缺陷在第一个过程未被查出但在第二个过程被查出，即，因而所求概率为 2与1类似可知所求概率为3所求概率为4以记事件“元件是有缺陷的，所求概率为元件有缺陷且3次检查均未被查出元件无缺陷5所求概率为 5设A，B为两个事件，证明A与B独立。证： 由于 有 即 所以 A与B独立概率论与数理统计练习题系专业班 学号第一章 随机事件及其概率五一、选择题： 1对于任意两个事件A和B B A假设，那么A，B一定独立 B假设，那么A，B有可能独立 C假设，那么A，B一定独立 D假设，那么A，B一定不独

14、立 2设，那么 D A事件A和B互不相容 B事件A和B互相对立 C事件A和B互不独立 D事件A和B相互独立 3设A，B为任意两个事件且，那么以下选项必然成立的是 B A B C D二、填空题：1A，B为两个事件满足，且，那么2设两两独立的事件A，B，C满足条件，且，那么1/4 3假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，那么取到的是一等品的概率是 2/3 三、计算题： 1设两个相互独立的事件都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求A发生的概率2/3解： 又 而 所以，有 故 2如果一危险情况发生时，一电路闭合并发出警报

15、，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在发生时这些开关每一个都应闭合，且假设至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有的可靠性即在情况发生时闭合的概率，问这时系统的可靠性即电路闭合的概率是多少？如果需要有一个可靠性至少为的系统，那么至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。解:以表示事件“第只开关闭合，由此可得两只这样的开关并联而电路闭合的概率为注意各开关闭合与否是相互独立的 设需要只这样的开关并联，此时系统可靠性，注意到且由的独立性推得也相互独立。故要使即要使,故有因为整数，故即至少要用3只开关并联。3将三个字母之一输入信道，输出为原字母的

16、概率为，而输出为其他一字母的概率为。今将字母串之一输入信道，输入的概率分别为，输出为，问输入的是的概率是多少？设信道传输各个字母的工作是相互独立的 解：以分别表示事件“输入、“输入、“输入，以表示事件“输出。因事件两两互不相容，且有，因此全概率公式和贝叶斯公式可以使用。由贝叶斯公式有在输入为即事件输出即事件时，有两个字母为原字母，另两字母为其他字母，所以同理代入上式并注意到得到4一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为，假设产品的优质率为。如果各件产品是否为优质品相互独立。求： 1计算生产线在两次故障间共生产k件k = 0，1，2，优质品的概率； 2假设在某两次故障间该生产线生产了k件优

17、质品，求它共生产m件产品的概率。 解：设An=“连续生产n件产品不出故障B =“两次故障间生产k件优质品1 . 2.概率论与数理统计练习题 系专业班 学号 第二章 随机变量及其分布一一选择题： 1设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 B A B C D 2设随机变量的分布列为 为其分布函数，那么= C A0.2 B0.4 C0.8 D1二、填空题： 1设随机变量X 的概率分布为 ，那么a = 0.3 2某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，那么抽得次品数X的概率分布为 PX=0=22/35; PX=1=12/35; PX=2=1/35 3设射手每次击中目标的概率为0.7,连

18、续射击10次，那么击中目标次数X的概率分布为 PX=k=,或XB(10,0.7) 三、计算题： 1同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和求： 1X的概率分布； 2； 3(1)PX=2= PX=12=1/36; PX=3= PX=11=1/18; PX=4= PX=10=1/12; PX=5= PX=9=1/9;PX=6= PX=8=5/36; PX=7=1/6(2)PX=2=1/36; PX=3=1/18(3)PX12=0 2产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。记X=4表示

19、产品为废品；X=1，2，3分别指产品为一、二、三等品。PX=1=0.6; PX=2=0.1; PX=3=0.2; PX=4=0.1 3随机变量X只能取，0，1，2四个值，相应概率依次为，试确定常数c，并计算c=37/16; PX1=19/27概率论与数理统计练习题 系专业班 学号 第二章 随机变量及其分布二一、选择题： 1设连续性随机变量X的密度函数为，那么以下等式成立的是 A A 2设连续性随机变量X的密度函数为，那么常数 A A B C D 3设，要使，那么 C A B C D 4设，那么以下等式不成立的是 C A B C D 5X服从参数的指数分布，那么 C A B C D二、填空题：

20、1设连续性随机变量X的密度函数为，那么常数A = 3 2设随机变量，那么0.1三、计算题： 1设求和=1; =0.5 2设随机变量X的密度函数为，且求：1常数 2 3X的分布函数(3) 3设某种电子元件的使用寿命X单位：h服从参数的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求： 1一个元件时间在200h以上的概率； 2三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。概率论与数理统计练习题 系专业班 学号 第二章 随机变量及其分布三 1X的概率分辨为 ，试求： 1常数a； 2的概率分布。(1) a=0.1(2)PY=-1=0.3; PY=0=0.2; PY=3=0.3 PY

21、=8=0.2 2设随机变量X在0，1服从均匀分布，求： 1的概率密度； 2的概率密度。 3设，求： 1的概率密度； 2的概率密度。 4设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。概率论与数理统计练习题 系专业班 学号 第三章 多维随机变量及其分布一一、填空题：1、设二维随机变量的联合密度函数为，那么常数6。2、设二维随机变量的联合分布函数为，那么常数。二、计算题：1在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验： 1放回抽样；2不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ， 试分别就1，2两种情况，写出X和Y的联合分布律。1放回抽样 Y 0 1X 0 25/36 5

22、/361 5/36 1/362不放回抽样 Y 0 1X 0 15/22 5/331 5/33 1/66 2设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求1， 2YX11/4 25/16 Y 0X 1 1/4 1/4 2 1/6 a 3设随机变量的联合分布律如表： 求：1a值； 2的联合分布函数 3关于X，Y的边缘分布函数和1a=1/3234设随机变量的概率密度为，求： 1常数k； 2求； 3； 41234概率论与数理统计练习题 系专业班 学号 第三章 多维随机变量及其分布二一、选择题：1、设随机变量与独立，且，那么仍服从正态分布，且有 D A (B) (C) (D) 2、假设服从二维均匀分布，那么

23、B A随机变量都服从均匀分布 B随机变量不一定服从均匀分布C随机变量一定不服从均匀分布 D随机变量服从均匀分布二、填空题：1、设二维随机变量的密度函数为，那么。2、设随机变量同分布，的密度函数为，设与相互独立，且，那么。三、计算题：1，X与Y独立，确定a，b的值，求出的联合概率分布以及的概率分布。 Y -1 -2 -3X 1 216/539 54/539 24/539 2 108/539 27/539 12/539 3 72/539 18/539 8/5392随机变量与的联合密度函数为，分别求以下概率密度函数：1； 2； 3。 解：1的可能值为2 当时 当时. 3当时 当时.3设与是独立同分布

24、的随机变量，它们都服从均匀分布。试求 1的分布函数与概率密度函数； 2的概率密度函数。 解：1的分布函数为的概率密度函数为2的分布函数为的概率密度函数为4设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为，求：1常数A， 2随机变量的概率密度函数。被积函数非零区域为 因此有概率论与数理统计练习题 系专业班 学号第四章 随机变量的数字特征一一、选择题： 1设随机变量X，且存在，那么是 B AX的函数 B确定常数 C随机变量 Dx的函数 2设X的概率密度为，那么 C A B C D1 3设是随机变量，存在，假设，那么 D A B C D二、填空题： 1设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6

25、 , 0.3 , .01，那么0.5 2设X为正态分布的随机变量，概率密度为，那么9X 0 1 2 P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 3设随机变量X的概率分布 ，那么4设随机变量X的密度函数为，那么0三、计算题： 1袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求2设随机变量X的密度函数为，求 3设随机变量，求 4设随机变量X的密度函数为，试求以下随机变量的数学期望。 1； 2； 3 解：1 2， 3概率论与数理统计练习题系专业班 学号第四章 随机变量的数字特征二一、选择题： 1，那么 B A9 B6 C30 D36 2设，那么有 D

26、 A B C D 3设服从参数为的泊松分布，那么 D A B C D二、填空题： 1设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，那么 0.45 2设随机变量X的密度函数为，那么2 3随机变量X服从区间0，2上的均匀分布，那么1/3 4设正态分布Y的密度函数是，那么1/2三、计算题： 1设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求： 1的期望与方差；2设随机变量，试求。解：因为，所以利用分部积分。被积函数是奇函数3设随机变量X的分布密度为，求：1常数A，B，C的值； 2方差； 3随机变量的期望与方差。概率论与数理统

27、计练习题 系专业班 学号第四章 随机变量的数字特征三一、选择题： 1对任意两个随机变量和，假设，那么 B A B C相互独立 D不相互独立 2由即可断定 A AX与Y不相关 B CX与Y相互独立 D相关系数二、填空题： 1设随机变量服从正态分布，那么= 13 。 2设与独立，且，那么三、计算题：010.1250.1250.12500.12500.125101250.1250.1251 二维随机变量的分布律如表：试验证与不相关，但与Y不独立。解：下证与不相关，即 故与不相关 另外 即那么与Y不独立。2设，求：解：，3设，且X，Y相互独立，求：解：, 4设X，Y相互独立，其密度函数分别为，求解：5

28、1设随机变量。求常数使为最小，并求的最小值。 2设随机变量服从二维正态分布，且有。证明当时，随机变量与相互独立。解：1 故 故当时取最小值， 2因为是二维正态变量，而与分别是的线性组合，故由维正态随机变量的性质知也是二维正态变量。现在，故知有即知与不相关，又因是二维正态变量，故知与是相互独立的。概率论与数理统计练习题 系专业班 学号第五章 大数定律与中心极限定理一、选择题： 1设是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，那么对任意的均有 A A B C D不存在 2设随机变量X，假设，那么一定有 B A B C D 3是同分布相互独立的随机变量，那么以下不正确的选项是

29、 D A B C D二、填空题： 1对于随机变量X，仅知其，那么可知 2设随机变量和的数学期望分别为和，方差分别为和，而相关系数为，那么根据契比雪夫不等式三、计算题： 1设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？解：设第件零件的重量为随机变量，根据题意得 2计算器在进展加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在上服从均匀分布。 1假设将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ 2最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？解：1 2

30、. 根据的单调性得，故 所以最多为个数相加. 3某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就承受这一断言，否那么就拒绝这一断言。 1假设实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问承受这一断言的概率是多少？ 2假设实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问承受这一断言的概率是多少？解：1令为第个病人治愈成功，反之那么 令 2令为第个病人治愈成功，反之那么令4、一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3

31、、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。1求收入至少400元的概率；2求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。解：1设第只蛋糕的价格为。那么有分布律：由此得以表示这天的总收入，那么，由定理得2以记300只蛋糕中售价为1.2元的蛋糕的只数，于是，由棣莫弗-拉普拉斯定理得概率论与数理统计练习题 系专业班 学号 第六章 样本及其分布一、选择题： 1是取自总体X的样本，a是一未知参数，那么统计量是 B A B C D 2是取自总体X的样本，那么是 C A样本矩 B二阶原点矩 C二阶中心矩 D样本方差 3对于样本作变换是常数，那么样本均值= C A B C D 4设与分别来自正态总体，其中，且两正态总体相互