C单元三角函数.doc

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1、. .C单元三角函数 C1角的概念及任意的三角函数14C1，C2，C62013XX卷设sin2sin，则tan2的值是_14.解析 方法一：由已知sin2sin，即2sincossin，又，故sin0，于是cos，进而sin，于是tan，所以tan2.方法二：同上得cos，又，可得，所以tan2tan.C2同角三角函数的基本关系式与诱导公式2C22013全国卷已知是第二象限角，sin，则cos()ABC.D.2A解析cos.16C2，C52013XX卷已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos，求f.16解：14C1，C2，C62013XX卷设sin2sin，则tan2的值是

2、_14.解析 方法一：由已知sin2sin，即2sincossin，又，故sin0，于是cos，进而sin，于是tan，所以tan2.方法二：同上得cos，又，可得，所以tan2tan.C3三角函数的图像与性质1C32013XX卷函数y3sin的最小正周期为_1解析周期为T.17C32013XX卷设向量a(sinx，sinx)，b(cosx，sinx)，x0，.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值17解：(1)由|a|2(sinx)2(sinx)24sin2x，|b|2(cosx)2(sinx)21.及|a|b|，得4sin2x1.又x0，从而sinx，所

3、以x.(2)f(x)absinxcosxsin2xsin2xcos2xsin2x，当x0，时，sin2x取最大值1.所以f(x)的最大值为.9C32013XX卷函数yxcosxsinx的图像大致为()图139D解析f(x)xcos(x)sin(x)(xcosxsinx)f(x)，yxcosxsinx为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B，当x，y10，x，y0)的部分图像如图11所示，则()图11A5B4C3D29B解析根据对称性可得为已知函数的半个周期，所以2，解得4.9C42013XX卷将函数f(x)sin(2x)的图像向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图像若f(x)，g(x)的

4、图像都经过点P，则的值可以是()A.B.C.D.9B解析 g(x)f(x)sin2(x)，由sin，0)，且yf(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值18解：(1)f(x)sin2xsinxcosxsin2xcos2xsin2xsin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4.因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.6C42013XX卷函数f(x)sin2x在区间0，上的最小值为()A1BC.D06B解析 x，2x，当2x

5、时，f(x)有最小值.图136C42013XX卷函数f(x)2sin(x)0，的部分图像如图13所示，则，的值分别是()A2，B2，C4，D4，6A解析 由半周期，可知周期T，从而2，于是f(x)2sin(2x)当x时，f2，即sin1，于是2k(kZ)，因为，取k0，得.16F3，C42013XX卷已知向量a，b(sinx，cos2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值16解：f(x)(sinx，cos2x)cosxsinxcos2xsin2xcos2xcossin2xsincos2xsin.(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f

6、(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，f(x)的最小值为.因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是.6C42013XX卷函数f(x)sinxcosxcos2x的最小正周期和振幅分别是()A，1B，2C2，1D2，26A解析f(x)sin2xcos2xsin2x，则最小正周期为；振幅为1，所以选择A.C5两角和与差的正弦、余弦、正切15C4，C5，C6，C72013卷已知函数f(x)(2cos2x1)sin2xcos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若，且f()，求的值15

7、解：(1)因为f(x)(2cos2x1)sin2xcos4xcos2xsin2xcos4x(sin4xcos4x)sin，所以f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)因为f()，所以sin1.因为，所以4.所以4.故.16C2，C52013XX卷已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos，求f.16解：3C52013XX卷若sin，则cos()ABC.D.3C解析 cos12sin2，故选C.17C5，C8，F12013XX卷在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC).(1)求sinA的值；(2)若a4，b5，求向量在

8、方向上的投影17解：(1)由cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cosBsin(AB)sinB.则cos(ABB)，即cosA.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cosB.16C3、C5、C92013新课标全国卷设当x时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos_16解析 f(x)sinx2cosx，令cos，sin，则f(x)sin(x)当2k，即2k(上述k为整数)时，f(x)取得最大值，此时cossin.18C5和C82013XX卷在ABC中，内角A，B，C的对边分别

9、为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值18解：(1)由余弦定理得cosA.又因为0A0)，且yf(x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值18解：(1)f(x)sin2xsinxcosxsin2xcos2xsin2xsin.因为图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又0，所以4.因此1.(2)由(1)知f(x)sin.当x时，2x.所以sin1.因此1f(x).故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.16C7，C82013XX卷在ABC中

10、，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA3csinB，a3，cosB.(1)求b的值；(2)求sin2B的值16解：(1)在ABC中，由，可得bsinAasinB，又由bsinA3csinB，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accosB，cosB，可得b.(2)由cosB，得sinB，进而得cos2B2cos2B1，sin2B2sinBcosB.所以sin2Bsin2Bcoscos2Bsin.C8解三角形9C82013XX卷设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a，3sinA5sinB，则角C()A.B.C.D.9B解析根据正弦定理，3sinA

11、5sinB可化为3a5b，又bc2a，解得b，c.令a5t(t0)，则b3t，c7t，在ABC中，由余弦定理得cosC，所以C.5C82013卷在ABC中，a3，b5，sinA，则sinB()A.B.C.D15B解析 由正弦定理得，即，解得sinB.18C7、C82013全国卷设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sinAsinC，求C.18解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cosB，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAs

12、inC2sinAsinCcos(AC)2sinAsinC2，故AC30或AC30，因此C15或C45.21C8，C92013XX卷如图16，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值图1621解：(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.故SOMNOMONsinMON.因为060，302301

13、50，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM30时，OMN的面积的最小值为84.18C82013XX卷在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值18解：(1)由cos2A3cos(BC)1，得2cos2A3cosA20，即(2cosA1)(cosA2)0，解得cosA或cosA2(舍去)因为0A，所以A.(2)由SbcsinAbcbc5，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccosA25162021，故a.又由正弦定理得

14、sinBsinCsinAsinAsin2A.5C82013XX卷在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，则角A等于()A.B.C.D.5A解析 由正弦定理可得2sinAsinBsinB又sinB0，所以sinA.因为A为锐角，故A，选A.17C82013XX卷在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求的值17解：(1)证明：由题意得sinAsinBsinBsinC2sin2B，因为sinB0，所以sinAsinC2sinB，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差

15、数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以.6C82013XX卷在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosCcsinBcosAb，且ab，则B()A.B.C.D.6A解析 由正弦定理可以得到sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB，所以可以得到sinAcosCsinCcosA，即sin(AC)sinB，则B，故选A.4C82013新课标全国卷ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22B.1C22D.14B解析c2.又ABC，A，ABC的面积为22sin21.7C

16、82013XX卷ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A2B2C.D17B解析由正弦定理，即，解之得cosA，A，B，C，c2.9C82013XX卷设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定9A解析 结合已知bcosCccosBasinA，所以由正弦定理可知sinBcosCsinCcosBsinAsinA，即sin(BC)sin2AsinAsin2AsinA1，故A90，故三角形为直角三角形16C7，C82013XX卷在ABC中，内角A，B，C所对的边

17、分别是a，b，c.已知bsinA3csinB，a3，cosB.(1)求b的值；(2)求sin2B的值16解：(1)在ABC中，由，可得bsinAasinB，又由bsinA3csinB，可得a3c，又a3，故c1.由b2a2c22accosB，cosB，可得b.(2)由cosB，得sinB，进而得cos2B2cos2B1，sin2B2sinBcosB.所以sin2Bsin2Bcoscos2Bsin.17C5，C8，F12013XX卷在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC).(1)求sinA的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影1

18、7解：(1)由cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cosBsin(AB)sinB.则cos(ABB)，即cosA.又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cosB.15H1，C8，E82013XX卷在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_15(2，4)解析 在以A，B，C，D为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC，BD交点上时，到四个顶点的距离之和最小AC所在直线方

19、程为y2x，BD所在直线方程为yx6，交点坐标为(2，4)，即为所求10C82013新课标全国卷已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2Acos2A0，a7，c6，则b()A10B9C8D510D解析 由23cos2Acos2A0，得25cos2A1.因为ABC为锐角三角形，所以cosA.在ABC中，根据余弦定理，得49b23612b，即b2b130，解得b5或(舍去)18C82013XX卷在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinBb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积18解：(1)由2asinBb及正弦定理，得sinA

20、.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccosA得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式SbcsinA，得ABC的面积为.18C5和C82013XX卷在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值18解：(1)由余弦定理得cosA.又因为0A，所以A.(2)由(1)得sinA，又由正弦定理及a得SbcsinAasinC3sinBsinC，因此，S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC)所以，当BC，即B时，S3cos

21、BcosC取最大值3.C9单元综合21C8，C92013XX卷如图16，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值图1621解：(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.故SOMNOMONsinMON.因为060，30230150，所以当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取

22、到最小值即POM30时，OMN的面积的最小值为84.18C92013XX卷如图14，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应

23、控制在什么X围内？图1418解：(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC，从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，得ABsinC1040(m)所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)因为0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsinA500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(

24、m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)X围内15C92013XX卷已知a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0，1)，若abc，求，的值15解：(1)由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21，所以22ab2，即ab0，故ab.(2)因为ab(coscos，sinsin)(0，1)，所以由此得，coscos()，由0，得0，又0，所以，.16C3、C5、C92013新

25、课标全国卷设当x时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos_16解析 f(x)sinx2cosx，令cos，sin，则f(x)sin(x)当2k，即2k(上述k为整数)时，f(x)取得最大值，此时cossin.9C92013新课标全国卷函数f(x)(1cosx)sinx在，的图像大致为()图129C解析 函数f(x)是奇函数，排除选项B.当x0，时f(x)0，排除选项A.对函数f(x)求导，得f(x)sinxsinx(1cosx)cosx2cos2xcosx1(cosx1)(2cosx1)，当0x时，若0x0，若x，则f(x)0，即函数在(0，)上的极大值点是x，故只能是选项C中的图像. .jz.