几个典型的代数系统.doc

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1、. .第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数构造：半群、群、环、域、格与布尔代数等我们先讨论最简单的半群6.1 半群 定义 6.1称代数构造为半群semigroups，如果*运算满足结合律当半群含有关于*运算的么元，那么称它为独异点monoid，或含么半群例6.1 ，都是半群，后两个又是独异点半群及独异点的以下性质是明显的定理6.1设为一半群,那么1的任一子代数都是半群，称为的子半群2假设独异点的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为的子独异点证明简单，不赘述定理6.2设,是半群,h为S到S的同态,这时称h为半群同态对半群同态有1同态象为一半群2当为独异点时，那么为一独异点.定理6

2、.3设为一半群,那么1为一半群，这里SS为S上所有一元函数的集合，为函数的合成运算2存在S到SS的半群同态证l是显然的为证2定义函数h:SSS：对任意aSha= fa fa：SS 定义如下: 对任意xS， fax= a*x现证h为一同态对任何元素a,bS h(a*b)fa*b l11而对任何xS， fa*bx= a*b*x = fafbx= fafb x故fa*b = fafb,由此及式l11即得ha*b= fa*b = fafb hahb本定理称半群表示定理。它说明，任一半群都可以表示为同态于一个由其载体上的函数的集合及函数合成运算所构成的半群。这里同构于 - 的一个子代数6.2 群群是最重

3、要的代数构造类，也是应用最为广泛的代数构造类.我们以后要深入研究的代数构造环和域也都是以群为根底的.6.2.1 群及其根本性质定义6.6称代数构造为群groups,如果1为一半群2中有么元e.3中每一元素都有逆元或者说，群是每个元素都可逆的独异点群的载体常用字母G表示 ，因而字母G也常用于表示群定义 6.7设 为一群1假设*运算满足交换律，那么称G为交换群或阿贝尔群Abelgroup阿贝尔群又称加群，常表示为这里的 +不是数加，而泛指可交换二元运算回忆:*常被称为乘加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.2 G为有限集时，称G为有限群finitegroup,此时G的元素个数也称G的阶o

4、rder；否那么，称G为无限群infinite group例6.6 1整数集与数加运算为一阿贝尔群加群,数0为其么元.不是群因为所有非零自然数都没有逆元.2正有理数与数乘为一阿贝尔群，1为其么元. 不是群，因为数0无逆元3为一k阶阿贝尔群, 数0为其么元 .4设P为集合A上全体双射函数的集合，为函数合成运算.那麽 为一群A上恒等函数E A为其么元。一般不是阿贝尔群.群的以下根本性质是明显的.定理1l.9设为群，那麽1G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元2关于x的方程a*xb，x*ab都有唯一解3G的所有元素都是可约的因此，群中消去律成立：对任意a,x,ySa*x = a*y 蕴涵 x =

5、y ; x*a = y*a 蕴涵 x = y 4当Ge时, G无零元5么元e是G的唯一的等幂元素.证1,2,3是十清楚显的4假设G有零元,那么它没有逆元，与G为群矛盾。注意，G =e时,e既是么元，又是零元.5设G中有等幂元x，那么x*x = x 又 x = x*e所以 x*x = x*e由3得x = e 。由3我们得知，特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行列都是G中元素的一个全排列从而有限群的运算表中没有一行列上有两个元素是一样的因此，当G分别为1，2，3阶群时,* 运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一X定义 *运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,

6、3阶的群都只有一个.定理6.10对群的任意元素 a,b，1(a-1)-1a2(a*b) -1b-1*a-13(ar) -1 = (a1)r记为arr为整数证2(a*b) *(b-1*a-1) = a*(b *b-1)*a-1 = e (b-1*a-1)*(a*b) = b-1*(a-1*a)*b = e 因此a*b的逆元为b-1*a-1，即(a*b) -1b-1*a-13对r归纳.r = 1时命题显然真.设(ar) -1 = (a1)r,即(a1)r是ar的逆元.那么 ar+1*(a1)r+1 = ar*(a*a-1)*(a1)rar*(a1)r = e (a1)r+1* ar+1 = (a1

7、)r*(a-1*a)* ar(a1)r* ar = e 故ar+1的逆元为(a1)r+1，即(ar+1) -1 = (a1)r+1归纳完成, 2得证.对群的任意元素a,我们可以定义它的幂：a0=e，对任何正整数m，am+1=am*a，又据定理6.1O，在群中可引入负指数幂的概念：a-m=(a-1)m，且容易证明:定理6.11对群的任意元素 a,b，及任何整数m，n,la m*a n = am+n2(a m) n = amn如果我们用aG和Ga分别表示以下集合aG = a*g | gG， Ga = g*a | gG那么我们有以下定理定理 6.12设为一群,a为 G中任意元素，那么aG = G =

8、 Ga特别地，当G为有限群时，*运算的运算表的每一行列都是G中元素的一个全排列证 aG G是显然的设 gG，那么a1*gG，从而a*(a1*g) aG，即 gaG因此 GGaaG = G得证Ga = G同理可证这一事实的一个明显推论是：当G为有限群时，*运算的运算表的每一行列都是G中元素的一个全排列.从而有限群的运算表中没有一行列上有两个元素是一样的因此，当G为1，2，3阶群时,*运算都只有一个定义方式(即,不计元素记号的不同,只有一X定义*运算的运算表,如表6.2所示),于是可以说,1,2,3阶的群都只有一个.表6.2*e*ea*eabEeeeaeeabaaeaabebbea对群还可以引入元

9、素的阶的概念.定义6.8设为群，aG，称 a 的阶(order)为n，如果an= e,且n为满足此式的最小正整数.上述n不存在时,称a有无限阶.例6.7(1) 任何群G的幺元e的阶为1,且只有幺元e的阶为1。(2) 中幺元0的阶为1，而整数a 1 0时,a有无限阶.(3) 中1的阶是6,2的阶是3,3的阶是2,4的阶是3,5的阶是6.关于元素的阶有以下性质.定理6.13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数| G | .证设a为G的任一元素,考虑 e = a0 ,a1 ,a2 , ,aG这| G |+1个G中元素.由于G中只有| G |个元素,因此它们中至少有两个是同一元素,不

10、妨设 ar = as (0 r s | G | )于是as-r = e,因此a有有限阶,且其阶数至多是s-r,不超过群G的阶数| G | .定理6.14设为群,G中元素a的阶为k,那么,an= e当且仅当k整除n .证先证充分性设 ak e，k整除n，那么n = krr为整数，因为ak e，所以an = akr = (ak )r = e r = e 。再证必要性设 an e，n = mk r，其中m为n除以 k的商，r为余数，因此0 rk 。于是eanamk+ramk*arar因此,由k的最小性得r = 0，k整除n 定理6.15设为群，a为G中任一元素，那么a与a-1具有一样的阶证只要证a具

11、有阶n当且仅当a-1具有阶n 。由于逆元是相互的，即(a-1)-1a，同此只需证：当a具有阶n时，a-1也具有阶n。设a的阶是n，a-1的阶是m 。由于(a-1)n(an)-1e -1 e故mn 。又因为a m(a-1)m)-1 e -1 e故nm 。因此，nm 。6.2.2 子群、陪集和拉格朗日定理定义6.9设为群称为G的子群(subgroups)，如果为G的子代数 ，且为一群子群有以下特征性(判别法)定理6.16设为群，那么为子群的充分必要条件是lG的么元eH 2假设a，bH ，那么a*bH 3假设aH，那么a-1H证先证必要性设H为子群那么2是显然的因H为子代数为证l,设的么元为e,那么

12、e*e= e。由于在G中只有e是等幂元,故e = e , eH得证.为证3设中任一元素a的H中逆元为b,那么a*b = b*a = e,由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b = a-1H.充分性是明显的.事实上只要条件2，3便可使为子群,因为H不空时条件23蕴涵条件l.因此，可用2,3来判别非空子集H是否构成G的子群。显然,对任何群G , 及均为其子群,它们被称为平凡子群,其它子群那么称为非平凡子群或真子群例6.8l群有非平凡子群 和 2设EI,E为偶数集。那么为的子群,但不是的子群.对于有限群,子群的判别更为简单.定理6.17设为有限群,那么当G的非空子集H对*运算封闭时, 即为G的子

13、群.证由于G为有限群,H必为有限集.设| H | = r,aH.考虑 a1 ,a2 , ,ar+1, 它们都在H中(H对*运算封闭),因此必定有ai = aj (0 i j r+1 ),从而aj-i = e,故eH .假设H =e,为G的子群得证.假设H e,设a为H中任一不同于e的元素.同上可证,有k2使ak = e,从而有 a*ak-1 = ak-1*a = e因此, ak-1= a-1 H.据定理6.16,为G的子群得证由于我们采用的上述证明方法仅仅依赖H的有限性,可见本定理可加强为:设为群，H为G的非空有限子集，且H对*运算封闭,那么为的子群.和子群概念直接相关的是陪集的概念定义6.1

14、0设为的子群，那么对任一 gG，称gH为H的左陪集(left coset) 称Hg为H的右陪集(right coset).这里 gH = g*h | hH ，Hg = h*g | hH 关于左右陪集我们有以下定理定理6.18设为的子群，那麽1当gH时， gH = HHg = H。2对任意gG，| gH | = | H | Hg | = | H |.证l由定理6.12立得.为证2，只要证H与gH之间存在双射定义函数f:HgH如下:对任何一hH，fh= g*h设h1h2 ，那么fh1= g*h1,fh2= g*h2，假设fh1= fh2，那么由可约性即得h1=h2，与h1h2矛盾f为单射得证.f为

15、满射是显然的.因此f为双射| gH | = | H |得证同理可证| Hg | = | H |定理ll.19设为的子群，a，bG，那么,或者aH = bHHa = Hb，或者aHbH = HaHb = I证设aHbH ，那么有h1,h2H使得 a*h1 = b*h2 .于是ab*h2*h1-1。为证aHbH ，设xaH。那么有h3H，使得x = a*h3 = b*(h2*h1-1*h3) bH . aHbH得证.同理可证bHaH .于是aH = bH得证对于右陪集Ha，Hb，同上可证平行的命题由于对每一元素gG，ggH (gHg)，gHGHgG，因此据以上讨论可以看出，子群H的全体左右陪集构成

16、G的一个划分，且划分的各单元与H亦即陪集eH，He具有同样数目的元素由此可导出以下重要的拉格朗日定理Lagrange theorem.定理6.20设为有限群的子群，那么H的阶整除G的阶证由以上讨论知| G | = k | H |，其中k为不同左右陪集的数目.定理得证.注意，拉格朗日定理之逆不能成立。我们将指出一个12阶群、它没有6阶的子群见练习6.3第11题之3.因此，据此定理只可判别一子代数“非子群,却不可用它来判别一子代数“是子群。例6.9拉格朗日定理可用于证明以下事实：1有限群中任何元素的阶均为G的阶的因子。设a为G中任一元素,a的阶为r那么必为G的r阶子群，因此r整除| G |。2质数

17、阶的群没有非平凡子群利用陪集还可定义陪集等价关系定义6.11设为群的子群。定义 G上H的左(右)陪集等价关系。对任意a,bGab当且仅当a，b在H的同一左右陪集中显然，确为一等价关系关于有以下事实。定理6.21设为群G上H的左右陪集等价关系，那么ab当且仅当 a-1*bH证设ab，那么有gG，使a，bgH，因而有hl,h2H,使得a = g*h1，bg*h2 .于是 a-1*b = (g*h1)-1*(g*h2) = h1-1*h2 H 反之，设a-1*bH,即有hH 使a-1*b = h 。因而b = a*haH 。而aaH显然，故a，b在同一左陪集aH中，ab真对右陪集等价关系同理可证上述

18、定理6.2.3 循环群定义6.13称为循环群(cyclic group)，如果G为群，且G中存在元素g,使 G以g为生成集，即 G的任何元素都可表示为g的幂约定e = g0，这时g称为循环群G的生成元generater例6.12 1为循环群，1或l为其生成元 .2令 A =2i | iI，那么(为数乘)是循环群 ，2是生成元3为循环群，1，2，3，4都可以是生成元关于循环群的以下性质是明显的定理6.26设为循环群，g为生成元，那么1 G为阿贝尔群2 G的 h同态像是以 hg为生成元的循环群3 G为无限循环群时必同构于4 G为有限循环群时，必有 G = e，g，g2,，gn-1其中n = | G

19、 |，也是g的阶从而n阶循环群必同构于定理 6.27循环群的子群都是循环群证设为g生成的循环群，为其子群当然，H中元素均可表示为gr形1假设He,显然H为循环群2假设He，那么H中有gi(i0)由于H为子群，H中必还有g-i.因此，不失一般性，可设i为正整数，并且它是H中元素的最小正整数指数现证H为gi生成的循环群设gj为H中任一元素令jmi+r，其中m为i除j的商，r为剩余，0ri于是 gj = gmi+rgmi*gr gr= g-mi*gj由于gj, g-miH，因gmiH，故grH，根据i的最小性，r 0，从而 gj = gmi = (gi)m，H为循环群证讫根据上述定理，立即可以推得以

20、下定理定理6.28设为g生成的循环群1假设G为无限群，那么G有无限多个子群，它们分别由g0,g1,g2, g3,生成2假设G为有限群，| G |n，且n有因子 k1,k2,k3,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由 gk1,gk2,gk3,生成.注意这r个子群中可能有一样者例6.131有循环子群： ， ， ，,，2有循环子群： ， ， , 6.2.4置换群定义6.14称有限集上的双射函数为置换称任意集合上的双射函数为变换例6.14设A= l,2，那么A上有两个置换：当A = 1,2,3时,A上有6个置换：一般地，A = a1，a2，an时，A上有 n!个置换置换 p满足 p(ai)aji时，

21、可表示为置换的合成运算通常用记号表示之，对置换的独特表示形式计算它们的合成时，可像计算两个关系的合成那样来进展例如：=因此,应当注意pipjx= pjpix对于置换的合成运算而言，A上置换的全体中有么元-恒等函数,又称么置换，且每一置换都有逆置换，因此置换全体构成一个群。定义6.15将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称群为n次对称群symmetric group，它的子群又称为n次置换群permutation group对置换群稍作推广便有变换群的概念.定义6.16对任意集合A定义集合S S = f | fAAf为双射那么群及其子群称为变换群，其中为函数的合成运算像定理6.3那样，可以

22、证明以下群表示定理定理6.30每个群均同构于一个变换群，特别地,每一个有限群均同构于一个置换群.证设为任一群,对G中每一元素a，定义双射函数fa:GG如下。 fax a*x请读者自行证明fa确为双射令 F = fa | aG 现证为群为函数合成运算lF对运算封闭。设faF，fbF,那么aG，bG考虑fafb。：对任意xG， fafbxfa(fb(x) a*b*x fa*bx即 fafb fa*b 。由于a*bG，fa*bF,故fafbF2运算显然满足结合律3运算有么元feFe为群G的么元。4F中每一元素fa均有逆元fa-1这是因为由aG知a-1G，从而fa-1F，并且对任意xG，faf a-1

23、x= a*a-1*xx = e*x = fex，即faf a-1= fe 。再证与同构为此定义函数h:GF，使得对任一xG，h(x) = fx显然h为双射请读者自证.另仿(1)可证h保运算,即对G中任意元素x,y，有h(x*y)= fx*y = fxfy = h(x) h(y)6.3环和域这一节我们要讨论含有两个二元运算的代数构造，环和域.6.3.1 环下文中符号，表示一般二元运算，分别称为加、乘运算未必是数加和数乘，并对它们沿用数加、数乘的术语及运算约定，例如,a，b的积表示为ab，n个a的和a+a表示为na, n个a的积表示为an等定义6.17称代数构造为环ring，如果1是阿贝尔群或加群

24、2是半群5乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,cR，abc ab+ac , bca = ba+ca例6.161(I为整数集，+,为数加与数乘运算)为一环2为环，因为我们为加群，为半群，此外， akb+ kc= ak (b+c)mod k)=ab+cmod kmodk=ab+cmodk=ab+acmodk= abmod k+ kacmod k = akb + k akc 其中xmod k表示x除以k的剩余且同理可证b+ kck a = bka + k cka .3所有整数分量的nn方阵集合Mn与矩阵加运算+及矩阵乘运算构成一环，即， 为环4所有实系数多项式以x为变元的集合Rx与多项式加，乘

25、运算构成环，即为环5(其中0为加法么元、乘法零元)为一环，称为零环。其它环至少有两个元素6(其中0为加法么元、乘法零元，e为乘法么元)为一环环有以下根本性质定理6.31设为环，0为加法么元,那么对任意a,b,cR10a = a0 = 0 (加法么元必为乘法零元)2-ab = a-b= -ab-a表示a的加法逆元,下同3-a-b= ab4假设用ab表示a+(-b),那么a-bcacbc , ca-bca-cb证1 0a0+(-a)0 = a(0+0)+(-a)0 = a0+ a0+(-a)0 = a0同理可证0a = 0 .2(-a)b = ab+(-ab)+(-a)b = (a+(-a)b+(

26、-ab) = 0b+(-ab) = -ab同理可证a-b= -ab .3仿2可证4(a-b)c (a+(-b)c = ac+(-b)cac+(-bc) = ac-bc同理可证c(a-b)cacb 注意, 中乘运算未必满足交换律，也未必有么元但一定有零元定义6.18环中运算满足交换律时，称R为交换环mutativerings，当运算有么元时，称R为含么环ring withunity例6.16中1,2 ，4是含么交换环，3是含么环.环不仅必有零元，还可能有下述所谓零因子定义6.19设为环，假设有非零元素 a，b满足 ab = 0，那么称a,b为R的零因子divisor of 0，并称R为含零因子环

27、，否那么称R为无零因子环例6.17 在环中, 0是零元,2,3为零因子，因为2630在环中有零因子和因为= 它是矩阵加的么元6.3.2域定义6.28称为域fields,如果为一环,且为阿贝尔群由于群无零因子为什么？，因此域必定是整环事实上，域也可定义为每个非零元素都有乘法逆元的整环例6.23 为域，但不是域，因为在整数集中整数没有乘法逆元为域，1和4的逆元是4和1,2和3互为逆元.但不是域，它甚至不是整环，同为它有零因子，例如2，3，它们没有乘法逆元域有以下根本性质定理 6.44 为域当且仅当 p为质数证设p不是质数，那么由上例可知Np有零因子p的因子，故不是域反之，当p为质数时，可证Np中所

28、有非零元素都有p运算的逆元，从而含么交换环为域设q是Np中任一非零元素，那么q与p互质据数论事实,有整数m,n使mp + nq = 1从而(mp+nq)(mod p) = 1即mp(mod p) +p nq(mod p) = 10 + n(mod p) pq(mod p)= 1, 或 n(mod p)p q= 1因此,q有逆元n(mod p) .定理得证.定理6.45有限整环都是域证设为有限整环，由于为有限含幺交换半群,据定理6.17的证明，为阿贝尔群,因而为域定理6.46设为域,那么F中的非零元素在中有一样的阶.证当中每个元素都是无限阶时,定理当然真当中有非零元素a具有有限阶n，欲证中任一元

29、素b的阶亦必是n。事实上(nb)a = b(na) = 0，而F无零因子,且a 0故nb = 0，因此b的阶不超过n (a的阶)现设 b的阶为m。由(ma)b=a(mb) = 0,可知ma = 0, 因此a的阶(n)不超过mb的阶.故a的阶等于b的阶6.4格6.1.1 格有序集格是一种特殊的有序集，因此我们先从有序集方面引入格的概念。对有序集的任一子集可引入上确界和下确界的概念，但并非每个子集都有上确界或下确界，例如在图6.1中哈斯图所示的有序集里，a，b没有上确界，c，d没有下确界。不过，当某子集的上、下确界存在时，这个上、下确界是唯一确定的。定义6.1称有序集为格lattice，如果L中的

30、任何两个元素的子集都有上确界和下确界。通常用ab表示a，b的上确界，用ab表示a，b的下确界，和分别称为保联join和保交meet运算。由于对任何a，b，ab及ab都是L中确定的成员，因此, 均为L上的运算 a b c d d ca b图6.1例 6.11对任意集合A，有序集为格，其中保联、保交运算即为集合的并、交运算，即 BCBC , BCBC2设I+表示正整数集，|表示I+上整除关系，那么为格，其中保联、保交运算即为求两正整数最小公倍数和最大公约数的运算，即 mnlcmm,n， mngcdm,n(3) 全序集链都是格，其中保联、保交运算可如下规定：对任何a，bL。4设P为命题公式集合，逻辑

31、蕴涵关系为P上的序关系指定逻辑等价关系为相等关系，那么，为格，对任何命题公式A，B， AB = AB，AB = AB等式右边的，为逻辑运算符。现设表示序关系的逆关系，那么据逆关系的性质可知：定理6.1当为格时，亦为格,且它的保联、保交运算,对任意a,bL满足 ab = ab , ab = ab于是，我们有以下对偶原理。定理6.2A为格上的真表达式，当且仅当A*为上的真表达式，这里A*称为A的对偶式，即将A中符号，分别改为，后所得的公式，而 ab意即ba 。回忆命题演算、集合代数中所述对偶定理，上述定理的意义是十分清楚的。例6.2 格中的真表达式AB A有对偶真表达式ABA。格中真表达式pqq有

32、对偶真表达式q pq 。现在我们深入地讨论格的性质。在有必要时，下文将同时给出对偶的两个真表达式. 定理6.3设为格，那么对L中任何元素a,b,c 有laab， bab aba， abb2假设ab，ac，那么abc 假设ba，ca，那么bca3假设ab，cd，那么acbd，acbd4假设ab，那么acbc，acbc证l，2由运算，的定义立得3设ab， cd，我们只证acbd，将acbd 的证明留给读者。由1bbd，dbd，于是 abd，cbd由的传递性。于是由2得acbd 。4这是3的特例.定理6.4设为格，那么对L中任意元素a,b,c 有1aa = a ，aaa(幂等律)2ab = ba ，

33、ab = ba 交换律3abc=abc abc=abc (结合律)4a (ab) = a ，a (ab) = a (吸收律)证1，2是显然的3证abc=abc,另一式请读者自证。因为abc ab aabc ab babc c从而abc bc ,进而abc abc 。同理可证 abcabc 由的反对称性，3式得证.；。4显然，aaba；另一方面 ，由于 aa ， a ab故而 a aab于是有 a (ab) = a a (ab) = a 的证明留给读者本定理给出了格的本质属性，我们将看到，格的其它性质都是它们的逻辑结果，包括有关序关系的性质。格还有以下性质；定理6.5设为格。那么对L中任意元素a

34、,b,c有1 ab当且仅当。ab = a当且仅当ab = b 。2 abcabac。3 ac当且仅当 a (bc)abc。证1首先设ab，那么aab；另一方面aba是成立的。因此有ab = a 。再设a = ab ，那么ab =abb，即ab = b由吸收律。最后，设bab，那么由aab立得ab。至此,1中3个命题的等价性得证。2首先 aab ，aac ,故aabac.其次因为 bcbab，bccac从而有bcabac由两者即得 abcabac3设ac ，那么ac = c,代入2式即得 a (bc)abc 反之，设a (bc)abc 。由于 aabc，abc c因此有ac。这一小节里我们将从代

35、数构造的角度来讨论格，即把格定义为载体和满足特定公理的运算组成的代数构造，并用抽象代数研究工具讨论之。定义6.2设L为一非空集合，,为L上的两个二元运算，称 为格代数，或简单地称为格，如果中运算,满足幂等律、交换律、结合律和吸收律见定理6.4。现在我们要证明这里定义的格正是定义6.l中所说的格,为此，需要在上定义序关系，使得对任意a，bL, ab为a，b的上确界，ab为a，b的下确界依据序。从而使定理6.3成立。定义L上关系如下；对任意a，bL， ab当且仅当 ab = a1可证为L上序关系。l因为aaa，故aa自反性得证。2设ab，bc，那么ab = a，bc = b，于是 ac =abcabcab = a故ac 。传递性得证。3设 ab，ba，那么 ab = a，ba = b。 由于ab = ba。故a = b。反对称性得证。2可证ab当且仅当abb。设ab，那么ab = a ，