空间向量练习题.doc
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1、. .1假设A0,2,B1,1,C2,1,是平面内的三点,设平面的法向量=x,y,z,那么x:y:z=A2:3:4B1:1:1C:1:1D3:2:42假设=1,2,2是平面的一个法向量,那么以下向量能作为平面法向量的是A1,2,0B0,2,2C2,4,4D2,4,43平面的法向量为=2,2,4,=3,1,2,点A不在内,那么直线AB与平面的位置关系为AABBABCAB与相交不垂直DAB4假设平面、的法向量分别为=2,3,5,=3,1,4,那么ABC、相交但不垂直D以上均不正确5平面的法向量为1,0,1,平面的法向量为0,1,1,那么平面与平面所成二面角的大小为6如图,直三棱柱ABCA1B1C1
2、中,ACAB,AB=2AA1,M是AB的中点,A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点1假设DE平面A1MC1,求;2求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值7在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且COABB1A1平面1证明:BCAB1;2假设OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值8如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,ABC=90,AB=4,AA1=6,点M时BB1中点1求证;平面A1MC平面AA1C1C;2求点A到平面A1MC的距离9如图,四棱锥PABCD中
3、,PD底面ABCD,ABCD,BAD=,AB=1,CD=3,M为PC上一点,MC=2PM证明:BM平面PAD;假设AD=2,PD=3,求点D到平面PBC的距离10如图,平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面,且PA=AB=AC求证:PA平面QBC;PQ平面QBC,求二面角QPBA的余弦值11如下图,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F证明:EFB1C;求二面角EA1DB1的余弦值12如图,正方体ABCDA1B1C1D1,边长为1,E为CC1上一点,且EC=1证明:B1D1平面BDE;2
4、求二面角EBDC大小;3证明:平面ACC1A1平面BDE13如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=AA1=2,ABC=451求直三棱柱ABCA1B1C1的体积;2假设D是AC的中点,求异面直线BD与A1C所成的角14如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,1证明:BC1面A1B1CD;2求直线A1B和平面A1B1CD所成的角15如图,正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直,ACDGEF且DA=DE=DG=2,AC=EF=1求证:四点B、C、G、F共面;求二面角DBCF的大小16如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AC=AA1=2,ABC=1证
5、明:ABA1C;2求二面角AA1CB的正弦值17如图,在四棱锥OABCD中,OA底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,OA=2,M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点证明:DN平面OAQ;求点B到平面DMN的距离18如图,在棱长AB=AD=2,AA1=3的长方体ABCDA1B1C1D1中,点E是平面BCC1B1内动点,点F是CD的中点试确定E的位置,使D1E平面AB1F;求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小19如图,边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直,且ABCD,BCAB,BC=1,CD=2,E、F分别是线段SD、CD的中点I求证:平面AEF
6、平面SBC;求二面角SACF的大小20如图,在三棱锥DABC中,ADC,ACB均为等腰直角三角形AD=CD=,ADC=ACB=90,M为线段AB的中点,侧面ADC底面ABC求证:BC平面ACD;求异面直线BD与CM所成角的余弦值;求二面角ACDM的余弦值21如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=6,PD=3,E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点求证:ACDE;求EF与平面PAB所成角的正弦值22如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是A1D1和A1B1的中点1求异面直线AE和BF所成角的余弦值;2求平面BDD1与平面BFC1
7、所成二面角的正弦值23正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1,AA1=2,点E为CC1中点,点F为BD1中点1证明EF为BD1与CC1的公垂线;2求点D1到面BDE的距离24如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AD=a,AB=2a,E为A1B1的中点在求证:AE平面BCE;II求二面角DBEC的余弦值1假设A0,2,B1,1,C2,1,是平面内的三点,设平面的法向量=x,y,z,那么x:y:z=A2:3:4B1:1:1C:1:1D3:2:4选A2假设=1,2,2是平面的一个法向量,那么以下向量能作为平面法向量的是A1,2,0B0,2,2C2,4,4D2,4,4选C3平面的法向量为
8、=2,2,4,=3,1,2,点A不在内,那么直线AB与平面的位置关系为AABBABCAB与相交不垂直DAB选:D4假设平面、的法向量分别为=2,3,5,=3,1,4,那么ABC、相交但不垂直D以上均不正确选;C5平面的法向量为1,0,1,平面的法向量为0,1,1,那么平面与平面所成二面角的大小为或解:设平面的法向量为=1,0,1,平面的法向量为=0,1,1,那么cos,=,=平面与平面所成的角与,相等或互补,与所成的角为或6如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACAB,AB=2AA1,M是AB的中点,A1MC1是等腰三角形,D为CC1的中点,E为BC上一点1假设DE平面A1MC1,求;2求直线
9、BC和平面A1MC1所成角的余弦值解:1取BC中点N,连结MN,C1N,1分M,N分别为AB,CB中点MNACA1C1,A1,M,N,C1四点共面,且平面BCC1B1平面A1MNC1=C1N,又DE平面BCC1B1,且DE平面A1MC1,DEC1N,D为CC1的中点,E是的中点,2连结B1M,因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱,AA1平面ABC,AA1AB,即四边形ABB1A1为矩形,且AB=2AA1,M是AB的中点,B1MA1M,又A1C1平面ABB1A1,A1C1B1M,从而B1M平面A1MC1,MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影,B1C1与平面A1MC1所成的角为B1C1M,又
10、B1C1BC,直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角10分设AB=2AA1=2,且三角形A1MC1是等腰三角形,那么MC1=2,cos=,直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为12分7在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且COABB1A1平面1证明:BCAB1;2假设OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值【解答】I证明:由题意,因为ABB1A1是矩形,D为AA1中点,AB=2,AA1=2,AD=,所以在直角三角形ABB1中,tanAB1B=,在直角三角形ABD中,tanAB
11、D=,所以AB1B=ABD,又BAB1+AB1B=90,BAB1+ABD=90,所以在直角三角形ABO中,故BOA=90,即BDAB1,又因为CO侧面ABB1A1,AB1侧面ABB1A1,所以COAB1所以,AB1面BCD,因为BC面BCD,所以BCAB1解:如图,分别以OD,OB1,OC所在的直线为x,y,z轴,以O为原点,建立空间直角坐标系,那么A0,0,B,0,0,C0,0,B10,0,D,0,0,又因为=2,所以所以=,0,=0,=,=,0,设平面ABC的法向量为=x,y,z,那么根据可得=1,是平面ABC的一个法向量,设直线CD与平面ABC所成角为,那么sin=,所以直线CD与平面A
12、BC所成角的正弦值为12分8如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,ABC=90,AB=4,AA1=6,点M时BB1中点1求证;平面A1MC平面AA1C1C;2求点A到平面A1MC的距离【解答】证明:1以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系,由题意A10,4,6,M0,0,3,C4,0,0,A0,4,0,=0,4,3,=4,0,3,=0,0,6,=4,4,0,设平面A1MC的法向量为=x,y,z,那么,取x=3,得=3,3,4,设平面AA1C1C的法向量=a,b,c,那么,取a=1,得=1,1,0,=0,平面A1MC平面AA1C1C解:2
13、=0,0,6,平面A1MC的法向量=3,3,4,点A到平面A1MC的距离:d=9如图,四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABCD,BAD=,AB=1,CD=3,M为PC上一点,MC=2PM证明:BM平面PAD;假设AD=2,PD=3,求点D到平面PBC的距离【解答】证明:1过M作MOCD,交CD于O,连结BO,四棱锥PABCD中,PD底面ABCD,ABCD,BAD=,AB=1,CD=3,M为PC上一点,MC=2PM,MOPD,OD=,ODAB,ADBO,ADPD=D,BOMO=O,AD、PD平面ADP,BO、MO平面BOM,平面ADP平面BOM,BM平面BOM,BM平面PAD解:2AD=2
14、,PD=3,ABCD,BAD=,AB=1,CD=3,BD=,BD2+AB2=AD2,以D为原点,DB为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,B,1,0,P0,0,3,C0,3,0,D0,0,0,=,=,=0,3,3,设平面PBC的法向量=x,y,z,那么,取x=2,得=2,3,3,点D到平面PBC的距离d=10图,平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面,且PA=AB=AC求证:PA平面QBC;PQ平面QBC,求二面角QPBA的余弦值解:I证明:过点Q作QDBC于点D,平面QBC平面ABC,QD平面ABC,又PA平面ABC,QDPA,又QD平面QBC,PA平面QBC,PA平面
15、QBC方法一:PQ平面QBC,PQB=PQC=90,又PB=PC,PQ=PQ,PQBPQC,BQ=CQ点D是BC的中点,连接AD,那么ADBC,AD平面QBC,PQAD,ADQD,四边形PADQ是矩形设PA=2a,PB=2a,过Q作QRPB于点R,QR=,=,取PB中点M,连接AM,取PA的中点N,连接RN,PR=,MARNPA=AB,AMPB,RNPBQRN为二面角QPBA的平面角连接QN,那么QN=又,cosQRN=即二面角QPBA的余弦值为方法二:PQ平面QBC,PQB=PQC=90,又PB=PC,PQ=PQ,PQBPQC,BQ=CQ点D是BC的中点,连AD,那么ADBCAD平面QBC,
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